圆的特殊弦——切线

赵平

【摘要】切线可以看作是圆的特殊弦，这样我们研究一些定理、解决一些问题便会轻松简洁起来.

【关键词】圆的特殊弦;圆的切线;两个定理达成一致

我们熟知圆的特殊弦是直径，笔者研究发现，事实上切线也可以看成是圆的一条特殊弦，有了这条特殊弦之后，可以使不同的定理达成一致.

1认识特殊弦

如图1，AB是⊙O的弦，我们把AB向下方平移，随着平移则点A，B之间的距离逐渐缩小，当A，B之间的距离缩小到0时，AB变成了⊙O的切线，如图2，此时切点事实上是弦的两个端点重合了，即图2中的切点不但是点A同时也是点B.

2运用特殊弦使垂径定理的推论与切线的性质定理得到统一

垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，如图3，D是弦AB的中点，则OD⊥AB，當弦AB向下平移成为圆的切线时如图4，显然点A，D，B均重合于。点，所以连接OD，即为OA，如图4，则OA⊥AM，这即为切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径.

3运用特殊弦使圆内接四边形的性质和弦切角定理得到统一

圆内接四边形的性质圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，如图5，有∠MCD=∠A，我们把图5中的弦BC向下平移，使其成为圆的切线，如图6，此时点B，C重合，仍然有∠MCD=∠A，即弦切角定理，弦切角等于所夹弧所对的圆周角.事实上在图5中，∠A为弧BCD所对的圆周角，而在图6中仍然为弧BCD所对的圆周角，虽然角的大小发生了改变，但是∠MCD=∠A这一关系没有改变，即圆内接四边形的性质和弦切角定理达到了高度统一.

4运用特殊弦使垂径定理的推论得到推广

5使一类问题得到统一

例1如图9，⊙O₁与⊙O₂相交于点A，B，过点A，B的两直线分别与⊙O₁，⊙O₂相交点C，E，D，F，则CE∥DF.

方法1由圆内接四边形的性质得

∠DAB=∠E，∠DAB+∠F=180°，

即∠E+∠F=180°

所以CE∥DF.

我们把直线CD，EF绕点A，B旋转，使得弦DF逐渐缩短为一点D（F），如图10，此时我们过点D作⊙O₂的切线DM，如图10，仍然有CE∥DM.

方法2根据弦切角定理有∠MDA=∠ABD，根据圆内接四边形的性质有∠ABD=∠C，

所以∠MDA=∠C，

所以CE∥DM.

例2（1）如图11，⊙O₁与⊙O₂相内切于点A，大圆的弦BC与小圆相切于点D，连接AB，AD，AC分别交小圆于点E，F.求证：∠BAD=∠CAD.

解如图11，作两圆的公切线AM，连接DE，则∠MAE=∠ADE=∠C，由BC与小圆相切于点D得∠ADC=∠AED，

所以△AED∽△ADC，

所以∠BAD=∠CAD.

（2）当BC向小圆的方向移动，由相切变为相交时，如图12，交点分别为D₁，D₂，则此时仍然有∠BAD₁=∠CAD₂.

解作两圆的公切线AM，连接D，E，则∠MAE=∠AD₁E=∠C，由四边形AED₁D₂是小圆的内接四边形得∠AD₂C=∠AED₁，

所以△AED₁∽△AD₂C，

所以∠BAD₁=∠CAD₂.