巧用中线解周长与面积

王炳力

【摘要】三角形的中线把三角形某个顶点的对边平均分成了两份.这一几何特征，在解答有关三角的面积与周长的问题有着不可替代的作用.

【关键词】中线;平分;面积与周长

三角形的中线就是连接三角形的顶点与对边中点的线段，是三角形中的主要线段之一，它的特征就是把三角形某个顶点的对边平均分成了两份.利用这一特征，我们可以解决某些有关三角的面积与周长的问题，下面举例说明.

1利用三角形的中线解决周长问题

例1如图1，AD为△ABC的中线，AB=13cm，AC=10cm.若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为________.

分析根据三角形的中线的概念得到BD=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案.

解因为AD为△ABC的中线，

所以BD=DC，

因为△ACD的周长28cm，

所以AC+AD+CD=28（cm），

因为AC=10cm，

所以AD+CD=18（cm），

即AD+BD=18（cm），

因为AB=13cm，

所以△ABD的周长=AB+AD+BD=31（cm）.

注本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.

例2如图2，在△ABC中，AB=10cm，AC=6cm，D是BC的中点，E点在边AB上.

（1）若△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长.

（2）若△ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，求线段AE的长.

分析（1）根据三角形和四边形的周长相等列出等式，代入已知量即可得AE的长.

（2）需分两种情况讨论求解.

解（1）由图可知△BDE的周长=BE+BD+DE，

四边形ACDE的周长=AE+AC+DC+DE，又△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，

所以BD=DC，

BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE，

即BE=AE+AC，

因为AB=10cm，AC=6cm，

所以10-AE=AE+6，

所以AE=2cm.

（2）由△ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程

BE=AE+AC+2，①

或BE=AE+AC-2.②

解①得AE=1cm，

解②得AE=3cm.

故AE長为1cm或3cm.

注本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题.

2利用三角形的中线解决面积问题

例3如图3，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△AEF的面积为3，则△ABC的面积是（）

（A）9.（B）10.

（C）11.（D）12.

分析根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可.

解因为F是CE的中点，△AEF的面积为3，

所以S_△ACE=2S_△AEF=6cm²，

因为E是BD的中点，

所以S_△ADE=S_△ABE，

S_△CDE=S△_BCE，

所以S_△ACE=S_△ADE+S_△CDE

=S_△ABE+S_△BCE

所以△ABC的面积=12.

故选（D）.

注本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等.

例4如图4，点D，E分别是△ABC边BC，AC上的点，BD=2CD，AE=CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S_△BDF-S_△AEF等于（）

分析由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得.

=18，

=18，

同理：因为BD=2CD，

BD+CD=BC，

即S_△BDF+S_△ABF=12，②

①-②得S_△BDF-S_△AEF

=（S_△BDF+S_△ABF）-（S_△AEF+S_△ABF）

=12-9=3，

故选（A）.

注本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换.