关于一道向量复习题的思考

张桂腾

摘 要： 在新课程改革实施多年之后的今天，课堂教学逐步回归到学生的学习上，如何通过课堂学习提高学生自身能力成为课堂的主题.数学课堂上，如何引入新课，设置什么样的例题，如何讲解，布置作业，以及教会学生如何做好课后反思小结这些环节中每个都是至关重要的，从细节入手，关注学生能力的提高.作为高三学生，我们更应该全方位思考，从一道题目中获取多种求解的方法，尽可能地发展自己的思维能力.

关键词： 向量 一题多解 高三复习教学

由于笔者今年担任高三数学教学工作，在总复习阶段，也接触了比较多的题目，有参考书中的，也有各地交流卷中的.下面笔者就2013年厦门质检卷中一道向量题提出自己的看法.

这个方法，用了向量比较好的一个工具——建立平面直角坐标系，但是用此方法时，学生往往没办法想到如何建立适当的坐标系，原点应该放在哪里？这道题由于BC是确定的长度，也就是理解BC可为定点，而我们建系往往取两定点中点作为原点，定点所在直线作为坐标轴（此法定BC中点D为原点，BC方向为x轴），此时难点在于如何确认△ABC外接圆圆心O，其实我们发现三角形的外接圆圆心是各边中垂线的交点.按之前的建系原则，圆心O应该落在y轴上，具体应该是y轴的什么位置呢？我们注意到，还有一个条件是∠A=45°，而∠A所对的是BC弧的圆周角，所以BC弧的圆心角为直角，也就是圆心O到BC的距离为1，所以圆心O位置也就确定了，而半径也就随之确定为，也就可以写出外接圆的方程，题目也就转换成直角坐标求解，而求解过程中又由于条件中要求的B为锐角而使得A的位置有所限制，而这个也是易错点，学生往往会做错.因此笔者认为此类方法并不适合数学基础不是非常扎实的同学做，当然可以作为锻炼思维的一种方法.

法二：由法一知R

法三虽然看似步骤较法一繁琐，但是思路较趋于常规化，一开始利用了题目条件（外心O落在BC中垂线上，取BC中点D）把题目要求的转换成，而与垂直，于是变为也就比较自然地转换为渐渐变成学生平时常做的题型了，在书写上也更有信心了，当然这种方法也涉及了较繁琐的计算，而且需要对解三角形和三角函数恒等变换有比较扎实的运算功底.

法四：

由平面几何知识可知，

（以下同法三）

此法是在法三下的改进，因为在学生接触的向量题中经常遇到需要把不共起点向量化为共起点向量后再进行求解，而进行这样的尝试后，发现结合题目条件给出来的三角形的对边和对角求出的外接圆半径与向量数量积的公式，很快就可以转成“法三”中需要的三角函数形式从而得解，在笔者讲的这么多方法中，学生比较能接受的也正是法四.

所以，笔者认为，在日常教学中，特别是高三复习教学中，不一定要按计划要讲多少内容，有时讲评题目时，可能这道题会有许多解法，每种解法都可能有学生提到，或者学生提出了自己的思考方向，觉得正确却又不能写完整，等等；此时，我们可以就这道题一起具体分析各种解法，并让学生从中体会每种解法的要点，结合自己平时已经复习掌握的知识点和方法，消化一种自己比较能接受的方法，从而让数学学习过程更充实，体会到学习的乐趣.