一类平面几何最值探秘（续）
2022-07-06黄建栋张淼
黄建栋 张淼
《一类平面几何最值探秘》（发表于《数理天地》（初中版）2022年5月上）已就a+kb类平面几何最值问题中k=0的情况作了探究，本文继续探求当k=1，0
1.当k=1时，为a+b型，及由此推广的a+b+…型，是求一点到两点（或多于两点）距离之和的最值问题.这类问题往往要通过变换（较多的是轴对称变换，也有旋转变换）转化为两点之间线段最短.
例1如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（0，5），B（3，0），过点B作直线/∥y轴，点P（3，b）是直线l上的一个动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ=90°.当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动.当b为何值时，AQ+BQ有最小值，并求出最小值.
分析由题意，点P在直线x=3上运动，所以点Q也必在某一直线上运动.显然此直线过点（3，8）和点（6，5），即点Q在直线y=-x+11上.由此，只要作点B关于直线y=-x+11的对称点B′，连接AB′，它与直线y=-x+11的交点即为AQ+BQ最小时的点Q的位置.
例2已知，如图4，边长为a的正方形ABCD，E是AD上一点.
（1）求作正方形的内接平行四边形EFGH，使点F，G，H分别在AB，BC，CD上，且它的周长最小;
（2）求此最小周长，它是何种平行四边形？
分析（1）本题表面上看，是求4条线段之和的最值，但实际上，由于平行四边形对边相等，故只须它的一组邻边之和取最值即可，故为a+b型.又由于正方形与其内接平行四边形组成中心对称图形.所以由点E位置的确定，BC上一点G的位置也随之确定，即在AB上求点F，使EF+FG最小.如此，只要作点E关于AB所在直线的轴对称点E′，问题就迎刃而解了;
显然，此时△FEE′是等腰直角三角形，从而平行四边形EFGH是矩形.
例3如图5，△ABC中，∠A=60°，BC=5，△ABC的面积为10，试作出它的内接△EFG，使点E，F，G分别在BC，CA，AB上，且使其周长最小，并求最小周长.
分析本例为a+b+c型，涉及三个动点，但最终仍要归结为两点间线段最短.当a，b，c三线段呈封闭状时，应通过轴对称变换拆封闭线段成首尾顺连的一条折线段.为此，不妨假设点E已定，则点E关于AB和AC所在直线的对称点E′，E″也定，连接E′E″，分别交AB，AC于G，F，连接EF，EG，则△EFG的周长即为E′E″.故要使周长最小，只须E′E″最小.
在△AE′E″中，
∠E′AE″=120°，
AE′=AE″=AE，
则当AE最小时，E′E″最小，
分析类似于例2.假设点P已定，则E，F易求，问题转化为求AP的最值，显然连接AO交弧BC于一点，即为所求之点P，
例5如图7，已知△ABC，其中∠A、∠B、∠C均小于120°，求作点P，使PA+PB+PC最小.
分析本题亦为a+b+c型.当a，b，c三线段共点呈放射形时，应利用旋转变换拆放射三线段成首尾顺连的一条折线段.据此，假设点P已作出，连接PA，PB，PC.不妨令BP不动，延长BP，并在其上取PP′=PA，P′B′=PC.连接AB′，若此时AP′=PA（从而△APP′是正三角形），AB′=AC（只须△ACB′是正三角形），则有△APC≌△AP′B′，从而有∠APC=∠AP′B′=120°.
这说明所求点P是对BC，CA的张角都是120°的圆弧的交点.（显然，这时点P也在对AB的张角为120°弧上，这三圆弧共点）.其实，点P还可通过以下方法作出：在△ABC外作正三角形A′CB和正三角形ACB′，連接AA′，BB′，交点即为所求点P;或者只作正三角形A′CB，连接AA′，它和对BC张角为120°的圆弧的交点亦可.
本题实为求作费马点.本例所作费马点位于三角形内，这是因为此三角形的三内角中的最大角小于120。，若大于或等于120°，则费马点位于这个最大角的顶点.
2.当0 分析千万不要误认为 3.当k>1时，这类最值问题的求解，往往要利用位似（相似）变换转化为两点之间线段最短. 例8如图10，已知⊙O的半径为2，AB为直径，过AO的中点。作CD⊥AB，CD交⊙O于点D，作直径DE，点P为⊙O上的一个动点，求PE+2PC的最小值. 4.当k<0时，这在平面几何最值中较少出现，并且通常也只有k=-1的问题，这时的动点与两定点距离之差的最值，又分动点在定直线和在定圆上两种情况： （1）当动点在定直线上时，①两定点在定直线同侧时，过两定点的直线与定直线的交点即是取最值时动点的位置，其最值即为两定点间线段的长. ②两定点在定直线两侧时，要通过轴对称变换把异侧两定点转化成同侧两定点，再按①的情况解决; （2）当动点在定圆上时，则需借助相似三角形，转化为求二次函数的最值. 例10如图12，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.求PA-PB的最大值. 分析本题属于情况（2），须通过相似，转化为二次函数求之.作直径AC，连接CP，则∠CPA=90°， 因为AB是切线， 所以CA⊥AB，又PB⊥l， 所以AC∥PB， 所以∠CAP=∠APB， 所以△APC∽△PBA， 设PA=x，PB=y. 因为⊙O半径为4， 当x=4时，所以x-y有最大值是2，即PA-PB的最大值是2.
