数学核心素养在初中阶段的主要表现之二：运算能力

鲍建生，章建跃

（华东师范大学；人民教育出版社 课程教材研究所）

运算是数学研究的基本对象，也是解决数学问题的基本工具.从小学开始，学生就运用四则运算解决各种问题；初中阶段，代数式的变形、方程的等价变换、函数表达式的构建与赋值等都离不开数学运算.随着计算机的发展，各种算法已经成为科学、技术、工程领域解决问题的基本工具，而运算的对象也从具体的数、字母、符号扩展到向量、矩阵，从数值计算推广到图象计算，从数学对象拓展到逻辑对象，从精确计算演化到模糊计算.在大数据处理、人工智能研究中，运算（算法设计）更是主角.可以说，运算是数学的“半壁江山”.

在我国传统的数学课程中，“运算能力”一直受到足够的重视，并把它作为“三大能力”之一.因此，在几乎所有的国际数学教育比较研究中，中国学生的数学运算能力始终具有绝对优势.不过，在为成绩感到自豪的同时，也应该看到我们的问题，特别是在对运算的内涵、育人功能的理解上有些偏狭.我们看到，为了适应信息化社会和人工智能时代的要求，世界各国的中小学数学课程纷纷调整数学运算的侧重点，把运算对象和意义的理解及算法思想的培养作为重中之重，而把一些比较繁杂的运算交由计算机完成，并把基于计算机软件的数学运算作为一种数学探究的工具.

为了顺应时代潮流，我国《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对“数学运算”的要求从核心素养的角度进行了重新界定，明确提出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.通过运算能力的提高，可以促进数学思维的发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度.以此为参照，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）将“运算能力”作为义务教育阶段数学核心素养的行为表现，并提出了统一的要求：

“运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力.能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展.运算能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度.”

因为不同学段在数学运算的对象、方法、目的等方面均有差异，所以运算能力的层次和行为表现必然存在差异.下面结合初中阶段的课程内容，讨论运算能力的行为指标，并给出相应的教学建议.

一、初中阶段运算能力的主要表现形式

义务教育阶段的运算能力主要涉及三个基本问题.

（1）如何算？即对算法与运算程序的运用，表现为运算的正确性.

（2）为什么可以这样算？即对算理的理解，表现为运算的合理性.

（3）怎样算得更好？即对算法的优化，表现为运算的灵活性.

义务教育阶段的数学运算主要包括数的运算与式的运算.数的运算是小学算术的核心内容，式的运算则是初中代数的基本活动.初中阶段的运算内容既有实数的运算，又有代数式的化简与变形、对代数式的结构与意义的探讨、列方程与不等式，以及研究函数的性质等，其目的也不仅仅是求得运算结果，还要对运算结果的意义进行解释.因此，与小学阶段相比，初中阶段数学运算的内涵得到了极大地拓展.

初中阶段的运算能力主要表现在以下几个方面.

1.理解运算对象、运算律和运算规则的关系，进一步感悟运算的一致性

在初中阶段，数学运算的一个显著发展是运算对象的拓展，从自然数、分数、小数的运算拓展到有理数和实数的运算，从数的运算拓展到代数式的运算.因此，运算能力首先表现在对运算对象、规则和意义的理解上.具体表现为如下几个方面.

（1）理解有理数的意义和运算法则.从两个角度感悟将正有理数拓展到全体有理数的意义：一是现实生活的角度，源自具有相反意义的量；二是数学的角度，目的是加法的对称化，使得减法运算封闭.通过有理数的扩张过程，感悟数系扩张过程中运算的一致性：一方面，已有的运算律在有理数范围内仍然成立；另一方面，在算法上，依据运算律可以把未知的运算转化为已知的运算.

（2）理解无理数的存在性和开方运算的意义.通过数学史，了解无理数的产生过程，初步感悟无理数的文化价值.理解乘方运算与开方运算的关系，能够用运算律解释整数指数幂的运算法则.

（3）理解近似值与近似计算的意义.知道数的精确值与其近似值的区别，如，π都是无理数精确值的表示，在解决实际问题时可以根据需要取它们的近似值进行计算.知道近似计算与估算的区别，初步了解运算过程对运算结果的精确度的影响.

（4）理解数轴的意义及其与运算的关系，初步感悟数形结合的思想方法.知道数轴是实数的基本模型，在数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系；利用绝对值可以确定实数所对应的点到原点的距离，进而确定点在数轴上的位置；可以利用数轴上点的位置关系研究实数的大小关系.

在初中阶段，数的运算已经逐渐变成一种形式化符号运算，因此，对运算对象和运算规则的理解尤为重要.通过培养代数运算能力，可以帮助学生形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度.

2.理解和掌握代数式的运算和意义，能利用乘法公式与运算规则对代数式进行化简与变形

代数式运算的形式主要是符号操作，运算的目的主要是化简与求值.熟练运用运算律、运算法则和乘法公式是提高代数运算效率和精确性的基础.从数到字母、符号，再到代数式，运算的抽象程度在逐步提高，对运算能力的要求也相应提高.具体表现在如下几个方面.

（1）理解代数式的意义与运算法则.知道代数式不仅是数字、字母和符号的运算结果，其本身也是代数运算的基本对象；知道无论代数式的形式如何复杂，其本质仍然是数，因此代数式的运算满足数的运算律；知道许多代数式都有具体的意义，其中包括几何意义，在现实情境中构建的代数式都具有实际意义.

（2）能够利用运算律、运算法则和乘法公式进行代数式的运算.

（3）理解代数式及其运算的一般性.知道由于字母可以表示任意数，因此代数式及其运算过程和结果都具有一般性.在运算过程中能够关注一些特殊情况，如在分式的分母乘以一个代数式时，这个代数式的取值不能是0，否则会使分式失去意义；在需要时能够根据字母的取值范围进行分类讨论，如在化简时，能按字母a的正负性分类表示，感悟分类讨论的思想方法.

代数运算能力是数学的基本功，但由于其形式化的程度比较高，因此要注意适当把握好运算的复杂程度与技巧性，在强调理解运算对象和运算过程的基础上，重点是通过运算解决问题.

3.理解方程、不等式、函数中的运算问题，初步感悟算法思想

初中阶段的代数运算主要为处理方程、不等式、函数问题做准备，因此可以结合这些课程内容进一步发展学生的运算能力.具体表现在如下几个方面.

（1）理解等式基本性质和不等式基本性质的意义.能够基于这些性质对代数恒等式、方程与不等式进行等价变换；明确等价变换的目的，其中包括化简、变不熟悉的形式为熟悉的形式、凸显表达式的意义等.

（2）能按照一定的程序解方程与不等式，理解其中每一个步骤的意义与合理性，能根据方程和不等式的结构特点灵活运用程序，求得结果.例如，知道解二元一次方程组的本质是通过消元转化为一元一次方程；如果在方程两边同乘以或除以一个代数式就可能产生增根或者失根.

（3）理解变量与函数的意义，能通过运算获得函数的表达式，建立自变量与函数值的对应关系，发现与刻画函数的性质.理解函数表达式中常量的意义，并能通过对表达式的等价变换凸显这些意义.例如，在一次函数y=kx+b（k≠0）中，k的符号决定函数的增减性，k的绝对值决定y随x变化的快慢（变化率）；二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的形状由a的绝对值大小确定，开口方向由a的符号确定，可以通过配方法对表达式进行变形，从而得到抛物线的顶点坐标与对称轴方程等.

（4）能够在实际情境中发现数量关系与规律，构建方程、不等式和函数模型，通过运算解决实际问题，并根据问题的现实背景对运算对象、过程与结果给出合理的解释与评价.

（5）初步感悟算法思想在数学和问题解决中的意义.知道算法是通过有限的步骤解决数学与实际问题的程序，这种程序通常都可以利用计算机软件实现.

问题解决过程中的数学运算具有较高的综合性，除了可以发展数学运算能力外，还有助于数学模型观念和应用意识的培养.

二、理解算理和运算的一致性是提高运算教学效率的关键

运算作为数学的一种基本功，是义务教育阶段的核心内容，提高运算能力是一个基本目标，注重运算技能训练是非常必要的，但如果训练量过大，对运算速度、准确率的要求过高，反而不利于学生对运算（包括运算对象、算法、算理及其关系等）的理解，也不利于数学核心素养的发展.因此，提高运算教学的有效性与效率是课堂教学应追求的一个重要目标.

要提高运算教学的有效性，除了提倡精致化练习外，理解算理和运算的一致性是关键.

首先，通过计数活动，在直觉经验的基础上帮助学生形成自然数的运算律.

按照F.克莱因的观点，一切初等运算都依赖于如表1所示的自然数的11条运算律.

表1：自然数的11条运算律

因此，在小学的基础上，应该通过具体的计数活动，借助日常经验帮助学生进一步理解这些运算律.这里的日常经验主要是皮亚杰所说的三个一般观念：分类、顺序与守恒.皮亚杰认为，学龄前儿童就可以初步具备这些观念.

其次，将自然数的运算律推广到有理数、实数及代数式的范围，使学生能利用运算律形成、解释和理解各种算法，感悟运算基础的一致性，懂得运算对象在发展，而算理保持不变.

例如，下列方法都可以得到33×27的运算结果.

算法1：利用分配律，33×27=（30+3）×27=30×27+3×27=810+81=891.

算法2：利用乘法结合律与分配律，33×27=33×（3×9）=（33×3）×9=99×9=（100-1）×9=100×9-1×9=900-9=891.

算法3：利用结合律与交换律，33×27=（3×11）×27=（3×27）×11=81×11，再利用乘以11的特点：取数字8和1，在中间插进它们的和9，就得到所求的结果891.

算法4：利用乘法公式（x-y）（x+y）=x2-y2，33 ×27=（30+3）×（30-3）=302-32=900-9=891.这里，乘法公式的形成也是依据运算律.

这些算法，本质上是在分析算式结构特点的基础上，利用不同的运算律而形成的.教学中引导学生思考不同的算法，并用运算律解释算法，既可以让他们体会运算律的意义和作用，又可以在解释算法合理性的过程中培养初步的推理意识.

最后，帮助学生理解运算单位的意义，知道运算单位是建立在各种运算法则的基础上.例如，学生能够解释为什么可以合并同类项，为什么多项式的乘法可以转化为单项式的乘法，为什么同底数幂的乘法可以转化为指数的加法，等等.

此外，还可以利用各种运算之间的关系来理解运算的一致性.例如，减法是加法的逆运算，减去一个数等于加上这个数的相反数；除法是乘法的逆运算，除以一个数等于乘以这个数的倒数；乘法可以看作是连加一个数的简便计算；乘方可以看作是连乘一个数的简便计算.对运算之间关系的理解有助于学生从不同的角度处理运算问题，提高运算思维的品质.

三、初中代数学习是培养学生符号运算能力的关键

运算是代数结构的本质特征，从数系的扩张，到群、环、域的公理系统，其关键环节是对运算的定义及运算律的归纳.为了使运算对象、运算过程及运算结果具有一般的意义，在韦达、笛卡儿等人的推动下逐步发展出一套形式化的代数符号系统，并在数学中广泛使用.因此，符号运算是中学代数的基本活动，从负数和无理数的运算开始，到代数式的运算，再到方程、不等式的同解变形，函数的表示、性质与求值，都离不开符号运算.小学阶段的数运算可以借助具体实物操作，而初中阶段的符号运算主要是基于规则的形式操作.

在新世纪之前的数学课程中，代数符号运算作为一种数学基本功，一直是初中数学课程与教学的重点，其中对因式分解、乘法公式、多项式、分式、二次根式等都有较高的要求，安排了比较充分的训练、巩固时间，强调在具备了较好的运算基本功后再学习方程、不等式与函数，把后者的重点放在问题解决上.这样的课程设计，代数运算与代数模式（模型）是适度分离的，其好处是使不同内容的教学各有侧重、重点突出，但其弊端是为运算而运算，某种程度上导致了过度的形式化运算训练.进入新世纪后，《标准》特别强调数学与现实世界的联系，强调数学对象的意义，而在形式化的代数运算上降低了要求，把教学的重点放在具有实际应用价值的方程、不等式与函数上，强调数学模型的意义与运用.课程的这种变化顺应了数学课程发展的国际潮流，也与时代发展的要求相符合，但在一定程度上削弱了学生的代数运算能力.为了弥补这一不足，《标准》采取了以下举措.

（1）明确“运算能力”是核心素养在整个义务教育阶段的主要表现之一，对运算能力的行为表现提出了更为系统的要求，特别是在小学阶段，“运算能力”是唯一作为“能力”要求提出的核心素养主要表现.

（2）在小学阶段加强了“符号意识”的要求，目的是使学生在小学阶段就逐步习惯符号的表示与运用，感悟符号所具有的一般意义，从而为初中阶段的符号运算提供感性基础.

（3）强调了算理和运算的一致性，突出了运算律的意义和算法中的通性、通法，使得初中阶段的代数运算可以更好地建立在小学算术运算的基础上.

（4）在初中阶段加强了代数推理的要求，以使学生在符号运算过程中加强对算理的理解，加强逻辑推理的训练，从而在一定程度上弥补运算训练上的不足.

为了落实《标准》的要求，在初中阶段符号运算的相关教学中，还应注意以下几个方面.

首先，要尽可能帮助学生理解符号运算的必要性和意义.例如，在“合并同类项”的教学中，可以通过实际情境引入算式，在运算过程中体会“先化简、再求值”的意义，使学生感受到合并同类项的必要性，并类比自然数运算中的“同数位相加”、分数运算时的“同分母相加”，理解运算单位在运算中的作用；在“乘法公式”的教学中，可以通过不同数学语言的转换，帮助学生探究与理解公式的代数意义、几何意义，建立数与形之间的联系.

其次，要帮助学生感悟代数运算中的数学思想，包括方程、不等式中的“消元”“降次”思想，绝对值、平方根中的分类讨论思想，数轴、平面直角坐标系中的数形结合思想，等等.在代数运算的教学中，要引导学生领悟这些数学思想在优化运算过程、将未知转化为已知等中的作用.另外，还要注意帮助学生更深入地挖掘数与代数中蕴含的数学思想.例如，对称与变换是非常重要的数学思想，而加、减法的对称性、互为相反数的对称性、函数图象的对称性、一元二次方程根与系数关系中表达式的对称性、型二次根式的对偶性、正弦与余弦的对偶性等内容中都蕴含着这种思想.所以，在这些内容的教学中，可以有意识地渗透对称与变换思想，帮助学生体验这一思想在数学中的意义.

此外，可以适当降低在运算熟练程度和正确率上的要求，要避免那种一分钟内完成多少道运算题的机械训练.计算机（器）的普及已经在很大程度上满足了现实生活中对运算的需求，代数符号运算的教学重点应放在对运算对象的理解、运算意义的探究、算法的优化等数学“含金量”更高的内容上.当然，数学运算不仅是一种基本技能，通过各种运算活动，而且有助于学生形成规范化思考问题的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度，所以适度的训练是需要的.

四、在问题解决过程中感悟算法思想的特点与意义

在信息技术高度普及的今天，算法思想显得越来越重要.因此，许多国家都把算法作为中小学数学课程的必修内容.

虽然算法的狭义理解一般指可以固化的并在计算机上实现的程序，但从广义的观点来看，包括自然数运算的各种运算过程中都蕴含着算法思想.在义务教育阶段的运算教学中，应该注意算法思想的渗透.

首先，在问题解决过程中体会算法的特点与意义.例如，下面是一个常见的实际问题：

用一段长为26m的篱笆围成一个矩形，怎样才能使其面积最大？

假设所围矩形的一条边长为x，那么所求面积为S=x(13-x).在学习了字母表示数后，小学高年级与初中学生都可以写出这个表达式，但要求出精确结果，则需要用到二次函数的知识.在没有这个知识时，可以考虑用算法的思想解决问题.

如果结果只需精确到米，那么可以让x从1开始取到12，得到表2.

表2

从表格中可以直观地看到，当x在6与7之间取值时，所围矩形的面积最大.如果需要更精确的结果，那么可以将x从6，6.1，6.2，…一直取到7，按照刚才的算法再算一次.如此下去，一定可以达到所需要的精确程度，而且这样的算法可以由计算机或者计算器轻易实现.

由此可见，算法可以在一定程度上弥补知识储备的不足，在解决实际问题时是一种简便、实用的方法.

其次，通过不同算法的比较，初步感悟算法的基本要求.例如，一元二次方程的求根公式实际上给出了解一元二次方程的一种通用算法.虽然在解一些特殊的一元二次方程时，因式分解法可能更为简便，但运用求根公式解方程的优点是过程的程序化，可以按部就班地得到运算结果.除此之外，初中阶段的多项式乘法、解方程与不等式，以及统计中求平均数、中位数、对数据排序等都蕴含着算法的思想.通过对各种算法的比较，可以使学生初步感受一个好算法的特征，如可行性、确定性、有穷性、有效性和普遍性等.

最后，需要说明的是，什么时候引入算法，以及如何引入算法等问题，学术界尚有争议.绝大多数人都认同算法的价值，如算法可以有效解决一类问题，当运算涉及多个数字或超出记忆负荷时，一般化的算法就显得特别有用；算法是一种经过压缩的、一般化的解题程序；算法是自动化的，即使在不知道其背后原理的情况下，仍可以掌握和使用；算法是目标指向的，而且是高效率的；算法可以为计算过程提供书面的记录，便于教师和学生发现其中的错误；算法是可教的；对于教师来说，算法易于处理与评价；等等.不过，也有人对过早引入算法可能带来的负面影响表示担忧，如算法的运用会诱使学生放弃他们自己的想法，不利于“原创思想”的培养；算法可能会使学生忽视对概念和意义的理解；算法会使学生盲目接受运算的结果；过分强调算法可能导致学生对算法的死记硬背；等等.