“角”教学设计

王昕昕

（辽宁省鞍山市高新区实验学校）

一、内容和内容解析

1.内容

人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册（以下统称“教材”）“4.3.1角”.

本节课具体内容如图1所示，即角的定义、角的表示方法、角的度量工具和单位，以及角的画法.

图1

2.内容解析

“几何图形初步”一章的学习是“图形与几何”学习的开端，主要学习了基本图形概念的形成，图形的表示，画图，作图，对几何语言的学习、运用等，这些都是几何学习的基础，而概念的抽象是这一章学习的难点.能用准确的数学语言表达出抽象的概念是学生在初学几何时的一大障碍，“角”这节课的教学恰恰是由简单向复杂学习几何图形概念的起点.

在学习本节课之前，学生在小学阶段对角的概念、角的表示、角的度量直观上已经有了较为粗浅的认识，但对从理性推理的角度再认识角缺乏经验，后续学习的重点则是理解角的动态、静态概念.本节课学习下定义的方法并用如图2所示的方法给角下定义，既符合几何图形的研究体系，又符合推理能力素养.

图2

利用几何图形构成的元素和元素之间的位置关系，以及运用描述运动过程的方式给角下定义，对学生来说较为困难.因此，本节课采用探究式教学，通过实际生活情境、抽象几何图形、发现本质特征、描述概念、概念辨析等步骤，借用学生概念学习的经验，在探究过程中让学生自主发现静态角的共性特征和动态角的射线运动方式给角下定义，并逐步认同它是几何图形下定义的方式.

基于以上分析，确定本节课教学重点为角的概念.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）在现实情境中，认识角是一种基本的几何图形，理解角的概念，体会用运动的观点理解角、平角、周角的概念.

（2）学会角的表示方法，认识角的度量单位——度、分、秒，会进行简单的换算和角度计算.

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：学生经历类比线段的研究思路得到角的研究思路的过程，能初步认识到数学知识内部之间的联系；建立研究几何图形的一般路径；学生经历实际背景、数学抽象、概括本质特征、下定义、概念辨析的过程，通过独立思考、小组合作的学习方式，从静态和动态两个角度理解角的概念，并初步形成给几何图形下定义的思路，发展学生的理性思维，积累数学研究的活动经验.

达成目标（2）的标志是：会用恰当的方式表示一个角；能独立阅读教材，会从材料中提炼知识，认识角的常用度量单位（度、分、秒），并进行简单的换算，了解角的画法中使用的工具，提高自主学习意识.

三、学生学情分析

以往的教学更多的是关注概念的记忆和运用，对于概念抽象的过程，以及概念内涵与外延的理解，学生由于缺乏过程体验，只是机械地记忆与背诵，所以在运用概念的过程中容易出现混乱.基于以上原因，在笔者所在学校七年级其他几个班级（共182名学生）刚刚学习完“角”这节课之后，笔者选择对他们进行目标检测（如图3），设计的第一组试题考查的是概念的运用，第二组试题考查的是概念的数学语言表达.

图3

发现第一组方法操作层面的考查明显好于第二组用数学语言准确描述几何图形.从表1中的目标检测数据我们也看到了这一点.

表1：目标检测数据统计

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：正确理解角的概念.

四、教学策略分析

1.整体把握

在从静态和动态两个角度探究角的概念的过程中，学生经历了图形抽象、抓取一类图形的共同特征、用精准的数学语言表述图形的过程，体验了怎样给几何图形下定义.从角的组成到形成的过程给角下定义的两种角度逐次递进的过程中，学生对角的结构的认识也逐步深入和清晰.

2.活动显性化

在小组活动中，教师将学生的活动经验通过活动卡片进行收集并展示，使学生的思维显性化，学生在辨析中逐步理解角的概念，并明确使用简洁、准确的数学语言表达角的定义.

在角的度量和画法环节采用了自学研读的学习方式，通过自学提纲的引领，教师对学生研读进行学法指导，学生独立提炼知识，逐渐归纳完成知识的建构，并在自学反馈中理解角度的换算.

五、教学过程设计

教学流程示意图如图4所示.

图4

环节1：确定角的研究内容

现实生活中，多姿多彩的几何图形丰富了我们的生活空间.为了更好地了解它们，在教学中我们往往从简单的几何图形开始研究.学生在之前的学习过程中学过了点、直线、射线、线段，而本节课教师与学生要研究一个在小学阶段就认识的图形——角.

【设计意图】先让学生感受几何图形来自现实生活，了解研究几何图形的必要性.

问题1：联想线段的研究过程，本节课将如何研究角呢？

师生活动：学生回忆在线段的研究中所学的内容，教师进行归纳、总结.

教师关注：学生对所学线段内容的整体认识，及“几何模型—图形—文字—符号”的学习过程.

【设计意图】通过回忆与本节课内容密切相关的引导性材料，使学生对学习进程心中有数，帮助学生掌握研究问题的方法.

追问：类比线段的研究思路，结合小学阶段对角的内容的研究，本节课将学习角的哪些内容呢？

师生活动：学生小组讨论解决问题的方法，学生代表展示交流.展示后教师进行提问.

问题2：类比线段的中点的研究过程，应该研究角的哪个方面呢？

师生活动：教师在学生展示交流的基础上，板书教学内容，归纳角的研究思路.

追问：小学阶段大家对角已经有了直观的认识，进入初中后，将要从理性的角度进一步对角展开探究.应该从哪方面开始研究呢？

师生活动：确定研究内容——角的定义.

【设计意图】注重学生数学一般观念的形成，体会类比的思想方法.用类比的方法构建研究几何图形的框架，为课堂顺利开展打下坚实的基础.

环节2：概念教学

1.角的静态定义

（1）实际情境.

首先研究角的定义.教师让学生观看大屏幕（如图5），钟面上的时针和分针、棱锥相交的两条棱、三角尺相交的两条边线都给学生以角的印象，让学生感受角，并画出其感受到的角.

图5

（2）数学抽象——抽象几何图形.

师生活动：学生在学案上画出感受到的角（略）.

教师关注：学生画角的规范性.

【设计意图】培养学生的观察能力，实现从实物到图形的抽象过程，培养学生的抽象能力.

（3）找出共同特征，形成概念.

学生分组观察，交流各自感受到的角，其中有锐角、直角、钝角，教师顺势提出问题3.

问题3：这些角有哪些共同特征？能否根据这些共同特征给角下一个定义？

师生活动：让学生独立思考后，完成学案“数学活动1”（如图6）.然后进行组内交流，把各自的想法汇总到一张卡片上.

图6

【设计意图】给角下定义是学生以往没有体验过的数学活动，有一定的困难.通过分层的学案设计形式，针对元素和元素之间的关系设置了两个小问题，降低了活动的难度，让每名学生都能有研究的方向.引导学生观察，找到几何图形的共同特征，培养学生的归纳概括能力和合作意识.

（4）逐次递进，使学生的思维显性化.

教师展示学生在下定义的过程中呈现的各种写法.

问题4：大家是否认同这些写法？能否阐述自己的想法？

师生活动：教师多媒体投影展示四个小组讨论后在卡片上总结的定义.

卡片1：两条射线组成的图形叫做角.（元素位置表述不清.）

卡片2：两条相交的射线组成的图形叫做角.（元素位置表述错误.）

卡片3：一个点引出的两条射线组成的图形叫做角.（小学阶段直观形象的表述.）

卡片4：端点重合的两条射线组成的图形叫做角.（说清元素及元素的位置关系.）

师生活动：学生思考后，认为卡片1和卡片2叙述错误，教师让学生在黑板上画图举出反例，以说明错误的原因.

后面这两种说法都是正确的：“一个点引出的两条射线组成的图形叫做角”是小学阶段对角的直观形象的认识；初中阶段根据角的组成元素（两条射线）及它们的位置关系重新定义了角，这里只是把有公共端点说成端点重合.教师提示学生在以后学习几何图形的过程中，很多概念都是通过组成元素和元素之间的位置关系来下定义的.

【设计意图】将学生产生的活动经验通过活动卡片进行收集并展示，使学生的思维显性化，学生在辨析中逐步理解角的概念，并明确使用简洁、准确的数学语言表达角的定义.让学生参与到知识的产生与发展过程中，角的静态描述自然而然地得到，从而突出教学重点.

（5）角的概念辨析.

教师让学生观看大屏幕展示的图形（如图7）.

图7

问题5：这些图形中哪些是角？理由是什么？

师生活动：学生思考后回答，阐述观点，并说明理由.

教师关注：学生的表述是否准确.

【设计意图】学生通过概念辨析，在识别角的过程中加深对角的定义的理解.

2.角的表示方法

教师在黑板上画了两个角.

问题6：为了区分它们，需要研究如何表示角，小学阶段我们是怎样表示角的？

师生活动：明确接下来要研究的内容——角的表示方法.教师介绍角的几种表示方法，同时对学生进行提问.

追问：图8中一共有几个角？如何表示每个角？

图8

【设计意图】此处采用讲授式的教学方式，使学生会用恰当的方式表示角，设置习题巩固对角的表示方法的认识，培养学生数学符号的应用意识，引导学生注重表示的严谨性，以免产生歧义.

3.角的动态定义

（1）观察角的动态演示过程.

教师在几何画板软件中画出一条射线（如图9），让学生借助这条射线画出90°角，以及任意角.

图9

师生活动：学生到讲台上演示旋转的过程.教师通过几何画板软件展示旋转90°角及任意角的过程（如图10）.

图10

【设计意图】利用几何画板软件动态演示，先由特殊的90°角引入角的形成过程，再让学生思考还可以产生哪些角，然后到任意角，这个由特殊到一般的变化过程清晰地展现角的形成过程，便于学生理解，能加深学生对角的动态定义的理解.

（2）从形成的角度归纳概括，形成概念.

学生观察射线的运动过程.让学生从角的形成的角度，再给角下一个定义.让学生完成学案“数学活动2”（如图11）.

图11

师生活动：学生独立思考.完成学案后组内交流，把想法汇总到一张卡片上.

【设计意图】培养学生的合作意识，通过交流，对形成角的过程进行归纳、描述，让学生从动态演示中再一次体会如何给角下定义，并培养学生的归纳概括能力.

问题7：在下定义的过程中，给出了不同的角的概念，概念的阐述是否合理？

师生活动：教师多媒体投影展示以下内容.

（1）角可以看作一条射线绕着端点旋转而成的图形.

（2）角可以看作一条射线旋转而成的图形.

学生思考后回答自己的观点，并在黑板上画图，阐述理由.

【设计意图】进一步理解角的概念的内涵.学生用数学语言描述角的形成过程，并不断精致数学概念，在这一过程中感受数学的严谨性.

在教学过程中，从角的形成定义了角，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.起始位置的射线称为始边，终止位置的射线称为终边.（教师板书角的定义.）

问题8：从形成的角度来看，从始边出发，旋转到终边形成角这个图形，是否包含两条射线之间的部分呢？

师生活动：学生思考后回答自己的观点，并阐述理由.教师用几何画板软件演示追踪射线（如图12），再让学生回答观点，阐述理由.

图12

【设计意图】上述问题的目的是让学生全面理解角的概念，需要学生不断深入思考，逐步领悟.

角不仅仅可以看作有公共端点的两条射线，还应该包含两条射线所夹的平面区域，它也是角的组成部分.教师在教学时需要向学生说明，初中阶段研究的角都是小于180°的角.

问题9：我们从两个角度给角下了定义，它们有什么不同？

师生活动：学生思考后回答问题.

教师可以在此处向学生渗透，在后续学习的几何图形的定义中，也有一部分是从动态角度研究的.

【设计意图】让学生感受可以从不同角度给几何图形下定义.

环节3：自学研读

教师通过对学生的学法指导让学生提炼知识，从而逐渐归纳完成知识的建构.

教师多媒体展示阅读提纲（如图13），让学生阅读教材第133页的内容，自学研读后，概括提炼相关知识.

图13

师生活动：学生参考教师给出的阅读提纲，阅读教材，提炼知识.学生到讲台前展示教材第133页的内容，指出重点，并概括知识，完成自学反馈.

【设计意图】培养学生自主学习的能力.通过阅读提纲的引领，教师对学生阅读进行学法指导，学生独立提炼知识，逐渐归纳完成知识的建构，并在自学反馈中理解角度的换算.

环节4：小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，总结本节课收获的知识与方法，并让学生思考.

问题10：本节课中，在知识方面学习了什么？在方法方面学到了什么？在自学研读过程中有哪些方法的收获？在小组活动中有哪些收获？

【设计意图】通过教师与学生一起梳理知识、数学思想方法、数学活动经验积累等方面的收获，关注学生的个体差异，在尊重个体差异的基础上帮助学生形成自我评价的意识.

环节5：布置作业

作业任务单如表2所示.

表2：“角”作业任务单

【设计意图】作业设计注重提高学生自主学习的意识，发展学生自主学习的能力，使学生走向深度学习.完成好基础作业就是做到知识迁移，从单一知识到综合运用，避免学生知识的碎片化.基于上述理念设计此开放式作业任务单.

环节6：课堂目标检测

目标检测内容如图3所示.

【设计意图】考查学生对角的表示方法及度、分、秒换算的掌握情况.同时，考查学生对几何图形下定义方法及研究几何图形的框架的理解.

六、教学反思

“几何图形初步”是教材七年级上册的最后一章，这一章主要学习了基本图形概念的形成、图形的表示、作图，对几何语言的学习、运用等，这些都是几何学习的基础.而概念的形成是这一节课学习的重点也是难点，用准确的数学语言表达抽象的概念是学生在初学几何时的一大障碍.因此，笔者设计了探究的教学形式对角的定义展开研究.

在小学阶段学生已经能够熟练地从实际生活中抽象出角的形象.因此，在教学设计中没有做过多解释，而是把重点放到了对角的本质特征的归纳、下定义、概念的辨析、概念的精致及运用上.在这些环节，通过仔细观察角的本质特征，独立思考后加以提取，再通过小组合作交流，完善表达方式，使学生感受到应从哪些方面着手给几何图形下定义.通过展示个别学生用不规范、不严谨的语言表述角，引发学生思考.学生能从多角度辨析角的构成要素，在不断否定、质疑的过程中逐渐加深对角的认识，形成角的概念的雏形.再在逐步纠正的过程中，不断精致自己的数学语言，以便使概念达到准确、简练.

在教学设计中也存在着一些不足，本章是几何部分的起始阶段，虽然学生在小学阶段已有了一些几何经验，但还仅停留在表面，比较粗浅，也没有对几何图形在语言表述上做过训练，因此在给角下定义时，学生出现了许多教师没有预料到的状况.为了在短暂的课堂上让学生能够用数学语言描述出角的特征和由来，还要阐述角和相关对象之间的区别和联系，教师没有对学生所出现的问题进行一一分析、研究，只在数学活动环节选取具有代表性的几类在课堂上进行展示分析.

反思本节课，从备课、授课到说课的过程中，笔者深深体会到了教学过程中教与学的挑战与乐趣.无论是知识整体结构，还是教学方法的选择，乃至信息技术的应用，都是笔者未来教学工作中不断追求的目标.