整体取势、直观明道、推理优术，凸显数学育人价值——“平行线的性质”教学评析

周远方，胡 华

（湖北省教育科学研究院；湖北省襄阳市教育科学研究院）

高原老师（以下统称“执教教师”）执教的“平行线的性质”展示课例，是“第十二届初中青年数学教师课例展示活动”的八个指定课题之一.该课例从E组脱颖而出，得到了本组学术委员和观摩教师的一致好评，被评为本次展示活动的最优展示课例.本文从课题背景、总体评价、亮点扫描和改进建议等四个方面对优课展开评析，以期与大家分享、品赏和交流.

一、课题背景

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）和人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册（以下统称“教材”）对“平行线的性质”的教学都提出了明确的要求和建议.

1.课题要求

“平行线的性质”是一节典型的几何命题课，指定课题对其内容要求和教学提示如下.

（1）内容要求.

①掌握平行线的性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.了解定理的证明.

②探索并证明平行线的性质定理2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.

③探索并证明平行线的性质定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.

（2）教学提示.

要以单元整体教学思想为指导，引导学生在学习平行线的判定的基础上，通过性质与判定的逻辑关系，猜想平行线的性质，通过演绎推理证明平行线的性质定理.教学中要尽量放手让学生开展自主探究活动，加大教学的开放性，使学生在获得性质定理的过程中经历几何命题发现和证明的过程，感悟归纳推理过程和演绎推理过程的传递性，培养推理能力.

2.《标准》要求

对“平行线的性质”的要求，主要从内容、教学和方法三个方面给出了相应的定位.

（1）内容定位.

“相交线与平行线”是初中数学“图形与几何”领域的基本内容，而“平行线的判定与性质”则是学生学会一些简单的、基本的推理语言的起始内容，也是学生体会通过“推理”获得数学结论的方法，培养言之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力，从而完成从实验几何向论证几何过渡的重要内容.

（2）教学定位.

图形的性质的教学，需要引导学生理解欧几里得平面几何的基本思想，感悟几何体系的一般观念——通过定义确定论证的对象，通过公理确定论证的起点，通过证明确定论证的逻辑，通过命题确定论证的结果.因此，要强调研究几何图形的基本套路：实验探究—直观发现—推理论证.在用几何直观理解基本事实的基础上，从基本事实出发推导图形的几何性质和定理，培养学生初步的推理能力，形成“摆事实、讲道理”的科学精神.

（3）方法定位.

平行线性质定理的证明需要用反证法.因此，《标准》将其以“了解定理的证明”的要求定位，并作为“感悟反证法”的案例在附录中给出了如下证明过程.

证明平行线性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.

例如图1，设两条平行线分别为AB和CD，被第三条直线EF所截，且直线AB被直线EF截于点O，我们要证明：如果AB∥CD，那么∠1=∠2.

图1

证明：假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠2.根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD.这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与平行公理“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.这说明假设∠1≠∠2不正确，从而得出∠1=∠2.

【说明】反证法是一种重要的数学证明方法，平行线性质定理的证明将是学生第一次接触到反证法的证明，因此非常重要.在教学过程中，让学生感知反证法的作用的同时，要力争让学生感悟反证法的逻辑和论证流程，感知矛盾律和排中律，形成初步的推理能力.

3.教材要求

学习本节课的内容时，要注意观察实物、模型和图形，通过观察、测量、实验、归纳、对比、类比等来寻找图形中的位置关系和数量关系，从而发现图形的性质；还要注意体会通过“推理”获得数学结论的方法，培养言之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力.同时，教材根据《标准》要求，结合教学实际，按照循序渐进的原则，将反证法的学习安排在九年级上学期“点和圆的位置关系”之中，在用反证法证明“不共线的三点确定一个圆”之后，给出了上述证明.

二、总体评价

平面几何是理性思维的典范，逻辑推理是理性思维的完美体现，“借助图形建立直观，通过推理予以表达”是逻辑推理的精髓.图形的性质与判定是几何研究的核心问题，而图形的性质主要研究图形组成元素之间的相互关系.平行线的性质既是研究角的相等或互补关系的理论依据，又是研究几何图形位置关系和数量关系的知识基础，也是学生系统学习图形性质的开路先锋.因此，在“平行线的性质”的教学中，如何使几何直观、逻辑推理综合地发挥作用，就成为发展学生几何直观和推理能力素养的关键举措.

本节课立足几何命题教学“取势、明道、优术”的三部曲，创新了“平行线的性质”的教学方式，实现了“既见树木，又见森林”的教学效果，充分展现了“用整体教学追求几何直观与逻辑推理融合发展”的教学特色（如图2）.

图2

1.整体取势，确定研究方向

本节课采用单元设计和整体思想导学，承前启后，确定研究方向，让学生明确“为什么学”.通过整体设计体现一般观念，利用“怎样研究一类几何图形的性质”的大观念引领，整体规划研究思路，充分展现了实验几何到论证几何的演绎之路，有效发展了学生的几何直观、抽象能力和推理能力素养.

2.直观明道，确定研究路径

本节课采用类比学习和几何直观教学，以旧启新，确定研究路径，让学生明确“学什么”.通过直观类比构建学习路径，利用直观类比平行线判定的研究内容、过程、方法、顺序等来研究平行线的性质，遵循几何教学的基本套路（背景—定义—判定—性质—应用），构建了研究平行线的性质的单元学习路径.

3.推理优术，确定研究方法

本节课采用合情推理和演绎推理悟学，起承转合，确定研究方法，让学生明确“怎样学”.通过逻辑推理演绎学习方法，利用观察、实验、猜想、验证、推理等思维活动，重在让学生经历命题学习的完整过程（发现命题—提出命题—证明命题—运用命题），学会研究一个几何对象的基本思路（直观感知—操作确认—推理论证—度量计算），积累研究几何图形的基本活动经验.

总之，本节课通过“在直观中感知、在实验中探索、在归纳中猜想、在动态中验证、在演绎中推理、在交流中表征、在应用中解释”等系列化的教学活动，师生共同合作，为我们展示了一节凸显数学育人价值的优秀课例.

三、亮点扫描

本节课无论是教学设计、教学课件和教学板书，还是教学视频、教学反思和教学点评，都体现着执教教师的独具匠心，堪称展示课的优秀范本，其突出的“三精”亮点具体表现如下.

1.思想融合，教学设计精致

眼界决定格局，思想决定高度.本节课将单元整体设计思想、数学公理化思想、化归与转化思想和分类与整合思想融为一体，充分展现了“大概念，小单元；大问题，小延伸；大任务，小融合”的教学特色.通过充分挖掘教材，整合与“平行线的性质”有关的内容作为研究素材，在基于单元整体设计的同时，为后续的平移、三角形、四边形等几何图形的学习提供了数量关系的理论支撑、思想方法的研究范式和几何学习的基本套路.

本节课突出三条设计线索.以平行线的性质的探索、证明和应用为明线，以多种思想方法的融合为暗线，以多幅结构框图的精心设计、多元教学素材的有效嵌入、多样学习方式的综合运用和系列化的研学活动为主线，呈现了一份丰富多彩、新颖别致和画面感极强的教学设计.

2.过程融合，教学环节精当

只有重视过程，才能深刻领悟教学.本节课借鉴由一般到特殊研究相交线的习得经验，结合将平行线判定的条件和结论反过来的逆向思维，基于“类比判定学性质”的认知方法，通过融合思维过程和认知过程来确定平行线的性质的研究过程，形成几何研究的一般观念.整个教学过程以“唤醒经验，梳理思路—类比判定，问题驱动—开放探究，提出猜想—归纳推理，演绎论证—性质应用，问题解决”的顺序展开，各个教学环节层层推进，环环相扣，逻辑结构清晰，教学流程合理，教学过程自然流畅，教学环节精当（如图3）.

图3

特别是面对学生的质疑过程：性质2和性质3都是通过严格推理证明得到，但为什么性质1却只是通过实验探索得到？教师及时引导学生明确：性质1将在以后的学习中利用反证法加以证明，现阶段我们把性质1作为基本事实，运用公理化思想就可以利用基本事实来推理性质2和性质3.这一质疑互动的真实过程，真正体现了课堂教学的生成机智，不仅解答了学生的疑惑，而且诠释了教材的编写意图——遵循几何学习循序渐进和螺旋上升的原则，同时展现了教师具有较高的理解《标准》、理解教材和理解教学的专业功底和数学素养.

3.手段融合，教学生成精彩

数学课堂教学因巧妙设计而精致，因动态生成而精彩，因理性思维而深刻.本节课从精选课堂教学手段和板书精心设计入手，依托整体设计和动态生成的结构图（如图3），提高了课堂教学的实效性；借助几何画板软件动态验证平行线的几何特征，体现了信息技术的优越性；通过作业分层设计的结构图（如图4），体现了“双减”政策背景下的作业设计理念；等等.这一系列手段的合理运用，既有效体现了教材的编写意图，又将教学预设和课堂生成有机融为一体，也为数学探究学习提供了值得借鉴的教学案例.

图4

学生的精彩表现也给了我们意外惊喜.无论是教材内容的类比学习和分组学习的合作交流，还是课堂小结的相互质疑和作业布置的分层设计，都呈现了研究性学习的核心要素，既符合学生的认知水平，又激发了学生的学习潜能，培养了学生的创新意识，凸显了学生的主体作用.

四、改进建议

教学是一门遗憾的艺术，也是不断完善中的艺术.尽管本节课亮点频现，但仍存在“三过”现象：学生探索过程过于流畅，推理论证过程操之过急，课堂小结过程过于单一.基于此，本节课仍可以从优化“三观”上进一步完善.

1.研究线索的整体观可以进一步优化

一是可以进一步通过整体性提升问题质量.数学家哈尔莫斯说，问题是数学的心脏.在基于“三线八角”回顾两条平行直线判定方法的基础上，可以提出如下更具有整体结构的正反两个方面的问题.

问题1：“图形的判定”讨论的是确定某种图形需要什么条件，那么“图形的性质”需要研究什么问题？（研究这类图形有怎样的共同特性.）

问题2：根据平行线的判定方法，怎样判断两条直线平行？怎样判断两条直线不平行？（隐含着利用逆否命题转换视角，导出平行线的性质.）

二是可以进一步通过可视化呈现研究过程.在利用整体设计呈现知识结构（如图3）的同时，还可以通过聚焦学生的认知过程和思维过程可视化呈现平行线的研究路径和学生数学核心素养的发展状况.例如，可以用图5表示平行线判定的研究思路（以角定线），用图6表示平行线性质的研究思路（以线定角），最终整合成如图7所示的“平行线判定与性质”的整体研究思路，既可以更直观地总结研究过程，又可以更系统地呈现知识结构体系.

图5

图6

图7

2.教学过程的育人观可以进一步优化

一是可以进一步突出研究过程的起承转合.“平行线”是平面几何图形的重要基础.在此，学生将初次进入几何图形系统研究的领域.此行，有着启蒙、奠基与示范的作用.从相交线到平行线的类比思维，从判定到性质的逆向思维，思维的迁移和发散，在此处闪耀着理性的光芒.所谓见树木，更见森林；见贝壳，更见大海；见平行线，更见几何图形，更见数学的神奇与美妙，更见数学思想方法的深邃与悠远.同时，还可以将“三会”目标具体落实到平行线的学习之中——会用数学眼光观察几何问题，会用数学思维思考几何问题，会用数学语言表达几何问题.在这种一般观念指引下进行几何图形性质研究，更有利于学生发现问题和提出问题，更有利于培养学生的应用意识和创新意识.

二是可以进一步展现研究起点的以退为进.“三线八角”模型特例应该是垂直截线的情形，因此探究的起点可以退到这种模型特例开始，这样更符合从特殊到一般的自然切入，可惜的是本节课居然没有这样做.事实上，把问题回归到原始状态，可让学生学到以退为进、逐步调整的方法和策略，养成良好的数学素养.

3.训练系统的价值观可以进一步优化

数学的内在力量，正在于其思想方法、训练价值和育人功能的一脉相承.落实“四基”，提高“四能”，发展素养，是数学训练系统（即对数学的例题、练习题、思考题、检测题和作业题等的统称）必须遵循的价值取向.尽管本节课的教学训练系统设计比较精细，但仍存在个别题目的表述不够严谨之处（如不能仅用图示完全代替题干的条件描述）.因此，只有充分挖掘教材训练系统的内在价值，把教学训练系统设计成基于“四基”“四能”的探究性学习活动，才能更好地凸显“双减”政策背景下的作业设计质量，才能更好地发挥数学训练系统的育人功能.

总之，真正高效的几何课堂应该达到思想方法、几何直观和逻辑推理的高度融合，让思想之光、直观之魅和理性之美闪烁于教学的全过程，实现数学教学之独特的育人价值.