实例分析辅助圆在初中数学解题中的应用

郭宝山

【摘要】在初中数学解题中经常会遇到解题过程十分复杂的难题，如果依然采用传统的解题思路，不仅需要耗费大量时间和精力，也极易出现解题错误的情况，为此，本文通过辅助圆解题思路在数学解题中的运用分析，引导学生灵活运用辅助圆解决各类数学问题，提高学生数学思维能力，促进初中生的全面发展。

【关键词】辅助圆;初中数学;解题思路

“圆”作为初中阶段重要的教学内容，其自身具备的特殊性在许多解题中都具有良好的运用效果。如果能够学会运用辅助圆来解决其它问题，则能够大大简化解题难度，同时也能够帮助学生理清解题思路，更好地理解数学问题，将抽象数学题转化成具象图形进行求解，从而提高初中生的数学解题能力，对初中生未来学习与发展具有重要意义。

一、利用辅助圆构建，求解直线方程问题

直线方程问题是初中数学科目中的重点内容，也是一直困扰学生的一种题型，虽然初中直线方程问题没有像高中直角坐标系求解二元一次方程图形那么难，但是对于初中生的学习来说，也经常需要耗费大量精力与时间，严重影响初中生对数学的学习积极性。为此，当学生在遇到直线方程这类问题求解时，教师可以引导学生运用辅助圆的构建来解决直线方程问题，将原本复杂的问题简单化，从而培养学生良好的解题能力。

例题1：已知圆C外一点P坐标为（2，4），圆C为（x-1）2+（y-1）2=1，做PA、PB两条切线分别交予圆外P点，连接切点A和B，求解AB直线方程。

例题解析：通过题目可知，想要解决AB直线方程，如果从AB点的切点坐标进行求解，那么需要较大的运算量，而且在求解过程中极易出错。为此，在这道题目的求解时可以利用辅助圆的构建，使两个圆形方程相减，这样就能够直接获取直线AB方程。如图1所示，通过PA线段为半径构建辅助圆，P点作为圆的圆心，确保辅助圆与圆心C点、A点和B点相交，因为PA与CA垂直，所以可以得到PC=，由此可知：

故圆P的方程为（x-2）2+

（y-4）2=9  （1）

由于AB点和B点分别处于C圆中，结合已知条件C圆方程为（x-1）2+（y-1）2=1，进行两圆相减就得到了AB直线方程，最终结果为：

AB：x+3y-5=0             （2）

图1

二、利用辅助圆求解线段长度

在初中数学几何题目中，求解线段长度也是一种常见题型，而通过构建辅助圆的方式求解直线方程中线段长度，也能够简化解题步骤，降低解题难度，让学生更容易理解与作答，而通过辅助圆求解线段长度的原理主要是通过圆内共同端点的线段都相等这一特显，以端点为圆心进行画圆，并且以相同线段长度为半径，画出辅助圆，随后便可以结合圆的性质，轻松求解线段长度。

例题2：由图2中的四边形ABCD可知，线段AB与CD平行，同时在长度上线段AB、AD和AC均为5，线段BC长度为，求解线段BD长度。

例题解析：从本道题目的已知条件可知，四边形中AB线段和CD平行，同时AB=AD=AC，通过辅助圆进行解答时，首先以A为圆点画圆，而由于A点到B、C、D点均相等，所以三点均处于圆上，AB、AD、AC也均为圆的半径，其次通过AB线段反向延长至E点，同时AE也为圆的半径，将D点与E点连接，由题目中已知条件获悉AB与CD平行，所以圆周角对应的弧相等，由此可得BC和DE弧线同样相等，因此线段ED与线段BC长度相等，结合辅助圆可以判断EB为圆的直径，所以∠EDB为指数，线段BE等于2AB为10，由此可以求解线段BD的长度：

（3）

图2

三、利用圆内角和外角构建辅助圆，求解圆周角关系

圆周角的定义而言，在圆周上其中的某个定点中与二边都和圆存在交集，然而由于这几个交点所组成的即为圆周角。因为在圆周上，所以每个弧长所对应的圆周角都是对应直角圆周角的一半。然而，由于圆周角度数和自身对应弧度也相当，所以在求解圆周角度数问题时，就相当于弧线所对应度数的二分之一了。而从圆周角与圆角概念出发，在圆周外定点和圆相交，在这种距离同时也与二边交点，即叫做圆外角，而同时在圆周内又存在着一定点，两边也与圆周存在交点，就叫做圆角。

例题3：在圆O上存在一点C，圆内存在一点P，同时P点与O点处于圆形弧AB的同侧，线段BP与线段AP同交于点P，而线段BC与线段AC交于点C，试求证∠APB大于∠ACB。

例题解析：在求解这道题目时，可以通过辅助圆构建，将线段BP延长至圆心位置，并交于点D，连接线段AD。由于同弧所对应的角度都相等，同时∠ACB与∠ADB属于同一侧，所以对应的圆弧都为AB，因此这两个角相等。又因为∠APB为三角形外角，同时∠APB=∠ADB+∠DAP。故∠APB=∠ACB+∠DAP，因此∠APB大于∠ACB。

通過上述求解可以得出，在一个圆周内，同一圆弧所对应的圆周角都要等于同一圆弧所相应的圆内角度。因此，统一圆弧对应的圆周角也要等于同一圆弧所相应的圆周外角度。

综上所述，初中数学作为学生中考及未来数学知识学习的重要学科，在实际教学中占据重要地位，而数学学科本身具有一定抽象性，在实际解题中经常会受到解题思路的限制，导致学生失去解题兴趣，影响学生的学习与发展。为此，必须重视利用辅助圆解题思维的传递，引导初中生掌握辅助圆构建方法，灵活地运用辅助圆圈求解更多数学问题，不仅能够简化数学问题，同时还有助于丰富初中生数学解题思路，对今后的学习起到重要帮助。

参考文献：

[1]钱建龙，秦瑞霞.“无中生有”巧构圆——巧用辅助圆解决有关问题[J].  中小学数学（初中版），2017（Z2）.

[2]吴秀明.一类动态问题中辅助圆的妙用[J].理科考试研究，2017（16）.

[3]王冬青.无中生有巧构圆[J].初中生世界，2017（19）.

[4]邓文忠.巧添辅助圆妙解几何题[J].数学大世界（初中版），2012（12）.

[5]王忠根.初中数学解题策略研究[J].数学学习与研究，2013（22）.

[6]聂慧兰.初中数学解题能力培养探究[J].学园，2017（28）.

[7]陈琦.初中数学解题教学中关注对学生读题的指导[J].中学生数理化（教与学），2015（1）.

责任编辑  吴华娣