关于一个条件对称不等式的研讨

安徽师范大学数学与统计学院 于洪翔 卢 尧 郭要红 （邮编：241000）

1 引言

《数学通报》2021 年第5 期问题2604 是一个条件对称不等式问题.

问题2604[1]已知a、b、c＞0，且abc=1.

对该问题进行研讨，我们得到以下结论.

命题 已知a、b、c＞0，且abc=1，若0 ＜λ≤8 . 则有

等号当且仅当a=b=c=1 时成立.

2 主要结论的证明

运用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数：

其中k为拉格朗日乘数.

对L求偏导数，并令它们都等于0，则有

④由①、②、④得

若a－b=0，b－c=0，c－a=0 都 不 成立，即a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0，由⑤、⑥、⑦得a－b=0，b－c=0，c－a=0，矛盾.

若a－b=0，b－c=0，c－a=0 有 且 仅 有一个成立，不妨设b－c=0，a－b≠0，由⑤式知，

方程⑧的根的判别式Δ=(4－λ)2－4×4=λ2－8λ.

（Ⅰ）当0 ＜λ＜8 时，则Δ=λ2－8λ＜0，方程⑧无解，所以L(a，b，c，k)只有唯一一个稳定点

等号当且仅当a=b=c=1 时成立.

命题得证.

3 讨论

3.1 文［2］另一个结论的否定

由上述证明过程知，L(a，b，c，k)的稳定点的三个坐标a、b、c不可能两两不等，所以，文[2]中的另一个结论“当λ＞9 时，不等式

L(a，b，c，k) 的7 个 稳 定 点 处，哪 一 个 是f(a，b，c)的 最 小 值 点，f(a，b，c)的 最 小 值 是 多少？是一个计算量颇大、值得继续研究的问题.我们将此问题作为擂题（141），期待能获得解决.