一道解析几何恒成立问题的探究

四川省名山中学 高继浩 （邮编：625100）

1 试题呈现

题目（2021 年8 月重庆八中高三入学测试）已知椭圆的离心率为长轴端点和短轴端点的距离为

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P为椭圆C上异于椭圆C端点的任意一点，过点Q( )0，－2 ，且平行于OP的直线l与椭圆C相交于A、B两点（点O为坐标原点），是否存 在 实 数λ，使 得成 立？若 存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

2 解法探究

易得第（1）问椭圆C的方程为下面解答第（2）问.

视角一利用直线的普通方程

由题可知直线l的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y=kx－2，与椭圆方程联立消去y，得( 1+4k2)x2－16kx+12=0，则

直线OP的方程为y=kx，与椭圆方程联立消去y得( 1+4k2)x2=4，故

解法2（借助弦长公式）由弦长公式知

下同解法1，即得λ=3.

视角二利用直线的参数方程

视角三利用椭圆的参数方程

3 推广引申

将试题中椭圆方程和点Q的坐标一般化，探究得到：

若点Q不在坐标轴上，结果又如何？于是探究得到：

受文[1]启发，将命题3 引申到双曲线中得到：

命题5 的证明过程与命题3 类似，略.