问题驱动探究 自主构建结论

张东年

[摘  要] 问题驱动教学有助于在课堂教学中将培养学生的思维、提高能力、提升素养等目标落到实处. 如何用问题驱动探究，研究者以“相似三角形的性质”教学为例，得出问题驱动课堂教学的原则：（1）依据教学目标，增强问题设计的有效性;（2）注重相机引导，实现问题设计的导向性;（3）关注最近发展区，彰显问题设计的主体性;（4）重视问题开放性，巩固问题设计的支撑性;（5）内化数学思想方法，体现问题设计的目的性.

[关键词] 相似三角形;问题驱动;自主建构;教学思考

问题提出

波利亚说：数学教学的目的在于培养学生的思维品质和思维能力. 那么，如何在数学教学中培养学生思维？亚里士多德已给出答案：思维从问题开始[1]. 借助数学问题驱动教学的关键是对问题的设计，教师在教学实践中应多视角关注数学问题设计，如注重数学基础知识与基本技能的培养，深挖数学知识的内在关联性，追本溯源、揭示数学的本质，实现数学知识的自主建构，积累数学活动经验，学会用数学语言表述事实和数学思维思考世界等，这些也是培养学生数学学科核心素养所要求的. 目前，在数学教学中的问题设计过于简单而丧失探究价值，学生的数学思维得不到训练，或者问题设计过于复杂，导致探究无法进行，探究过程被直接“灌输”取代，学生失去主动建构知识的过程. 如何用问题驱动探究，让结论自主建构，使学生经历知识的发生发展过程？笔者以“相似三角形的性质”一课的教学为例，对几点教学思考进行探讨.

教学过程

（一）提出问题，引入新课

问题1：相似三角形的定义是什么？

生：若两个三角形形状完全相同，则这两个三角形为相似三角形.

师：若两个三角形的形状完全相同，则构成三角形的基本要素（角和边）之间存在特殊关系，从形状相同的两个三角形抽象出它们构成要素之间的这个关系就是相似三角形的定义.

设计说明  判定两个三角形是否相似，最原始的方法是相似三角形的定义. 反之，若已知三角形相似，则利用定义能得出两个三角形构成要素之间的特殊关系（对应角相等、对应边成比例），因此，这就成为相似三角形的基本性质. 在研究几何图形时，应该从特殊图形或关系中抽象出定义，而定义具有双层意义，即它是最原始的判定定理，也是基本性质. 然后借助定义可以推导出其他判定定理与性质定理（如图1）.

（二）还原认知，探究新知

问题2：相似三角形的基本性质来自哪里？出发点是什么？

生：来自相似三角形的定义.

问题3：相似三角形的基本性质如何用文字语言、图形语言和数学语言表述？

生：学生归纳总结（如表1）.

问题4：研究三角形的基本构成要素（顶点、边和角）之外，还研究过哪些几何量呢？今天研究从相似三角形基本性质出发推导其他性质. 那么，研究从哪里入手呢？

生：三角形的高线、角平分线和中线这三条主要线段.

师：若三角形相似，则三角形对应边上的高就是对应高，对应边上的中线就是对应中线，三角形中这些线段是否存在一般表示的规律？同学们如何研究？

1. 探究相似三角形对应边上的高的比

问题5：相似三角形对应边上的高的比值是多少？你能大胆猜测这个比值吗？

生：对应高的比等于相似比.

问题6：这个命题是否正确呢？这个命题的条件与结论分别是什么？

生：不确定. 条件是两个三角形相似，对应高，结论是对应高的比等于相似比.

师：遇到文字命题，首先，要阅读、分析与理解;其次，分清楚它的条件和结论;再次，将它翻译成图形语言、符号语言和数学语言;最后，推理该命题是否正确（如图2）.

生：命题的条件和表述如表2.

问题7：通过什么途径证明该命题？请同学们独立思考后，再分小组讨论交流.

生：通过证明△ABD∽△A′B′D′.

师：为什么想到证明△ABD∽△A′B′D′？同学们以前解决过类似的问题吗？

设计说明  以前学习全等三角形时，已证明过“全等三角形对应边的高相等”，思路是将高这两条线段放在两个三角形中，然后证明这两个小三角形全等. 然而，全等是特殊的相似，由全等推广到相似，全等三角形的相似比是1，相似的时候相似比一定是1吗？相似比由1推广到相似比为正实数. 这就是学习经验，很自然地将以前学过的知识迁移到现在解决问题的过程中，这样就可以将这两条高放在两个小三角形中证明相似.

设计说明  学生经过猜想得到对应高的比等于相似比. 教学中经过有理有据的推理得出结論，说明这个命题是真命题.

师：如图3，相似三角形三条边上的对应高的比都等于相似比吗？那么，AC，A′C′上的对应高=？此时，应证明哪两个三角形相似？

生：对应高的比等于相似比，通过证明△ABE与△A′B′E′相似求证结论.

师：类似的，能不能证明=相似比？这时的值等于哪两个边的比值？

生：可以，的值等于的比值，也等于的比值.

师：每条对应边上的高的比都等于k，三条对应边上的高的比相等吗？那么，同学们能得出一个什么结论呢？

生：相等. 相似三角形对应边上的高的比等于相似比.

师：相似三角形对应高的比等于相似比. 我们现在只研究了一种几何量——高，能不能进一步扩展研究其他几何量，那接下来我们需要研究什么呢？

生：角平分线、中线.

师：相似三角形对应中线的比等于什么？对应角平分线的比等于什么？

设计说明  学生利用已经证明得出的“相似三角形一组对应边的高线等于相似比”，类比推理，得出最后的结论. 同时，再次启发学生得出下一步研究对象和研究思路. （如表3）DB8C42CB-EB13-4F29-8E56-BCEFD14046BF

2. 探究相似三角形对应边上的中线、对应角平分线的比

问题8：能借助探索“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”的研究方法来获取研究“相似三角形对应边的中线”的研究思路吗？请小组讨论.

师：请同学们大胆猜测“相似三角形对应边的中线的比等于什么”？

生：相似三角形对应边的中线的比等于相似比.

师：猜测的这个结论一定正确吗？同学们能将该命题表述为其他形式吗？

生：不确定，需要证明. 可以用图形语言和数学语言描述（如表4）.

师：能说出证明思路吗？以及判定依据是什么？

生：判定两个小三角形相似. 相似三角形的性质，AD，A′D′为对应边上的中线，得到BD=BC，B′D′=B′C′. 判定两个小三角形相似的依据是，=，∠B=∠B′.

师：正确吗？有没有同学补充？

生：应该是=，∠B=∠B′.

师：应该在要证明相似的两个三角形内找条件. 这个判定三角形相似的定理是什么？

生：对应两边成比例，夹角相等的两个三角形相似.

师：同理能不能证明出三条对应边上的中线的比等于什么？请说明思路.

生：学生回答思路.

师：那么，我们可以得出一个什么结论？

生：相似三角形对应中线的比等于相似比.

问题9：是否借助探索“相似三角形对应边上的高、中线的比等于相似比”的研究方法，获取研究“相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比”的研究思路？请小组讨论.

生：猜测结论，分析命题中的条件和结论，将命题用图形和数学语言表述，结合前面探究的方法和思路解决问题，得出结论“相似三角形对应角平分线的比等于相似比”.

师：综合前面所得结论，如何用文字语言表述这些结论？

生：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

（三）扩展探究，深化理解

1. 探究相似三角形对应线段的比

问题10：同学们能想到其他的对应线段吗？

生：相似三角形的对应角的三等分线，对应边的三等分点，它们也是对应线段，它们的比等于相似比.

问题11：以上结论是否正确？同学们会证明吗？证明的途径是什么？

生：通过证明小三角形相似来证明. 且陈述证明小三角形相似的过程与理由.

设计说明  如果两个角相等，那么它们的三分之一是相等的，它们的二分之一、三分之二也是相等的;如果两条线段相等，那么它们的三分之一是相等的，它们的二分之一、三分之二也是相等的. 因此，可以将这个“对应线段”再一次推广，“对应线段”可以是角的几等分线，也可以是边的几等分点. 总之，如果这条线段的端点是对应点，那么这条线段就是对应线段. 只要两个三角形相似，它们对应线段的比就等于相似比.

2. 探究相似三角形的周长比与面积比

问题12：我们已研究了三角形的高、中线、角平分线这些几何量，我们在学习三角形时还计算过三角形的哪些量？接下来我们应该研究什么？

生：三角形的周长和面积.

问题13：请大胆猜测，两个三角相似，它们的周长比、面积比和相似比k有没有关系？

生：相似三角形的周长比等于k，面积比等于k的平方.

师：同学们如何知道的？能说明理由吗？

生：陈述证明思路.

师：先给出“相似三角形的周长比等于k”的证明思路，类比得出“相似三角形的面积比等于k的平方”的证明思路（如表5），根据思路图书写推理过程.

（四）反思总结，归纳提炼

师：从相似三角形的定义出发，利用过去学习全等三角形的经验，将知识经验进行迁移，再加上有理有据的推理证明，得到相似三角形的性质. 那么，得到相似三角形的哪些性质？

生：自己思考总结（学生口述）.

师：简单地说，就是对应线段、周长和面积，这三条性质，它们共同的前提是什么？

生：两个三角形相似.

师：两个三角形相似是前提，它们构成要素（重要的线段、有关的角）之间存在特殊关系. 再想想这些性质定理证明时，最主要的依据是什么？

生：相似三角形的判定.

师：证明相似三角形的这些条件来自哪里？

生：相似三角形的基本性质.

师：相似三角形的基本性质是什么？

生：对应角相等，对应边成比例.

师：两个图形具备相似这个特征，就是图形形状完全相同，大小不一样. 因此，组成图形的元素（边、角）就具有特殊的关系，就是“对应角相等，对应边的比是相等的”. 那么，这个基本性质来自哪里呢？

生：相似三角形的定义.

师：下面是概括总结，如图4.

教學思考

中学生保持着对数学问题的好奇心，课堂教学的关键是如何让学生主动探索，实践证明：不同的问题所引起的学生思维参与程度是不一样的，其对学生理解和掌握知识的作用也不相同[2]. 教师应认真研究学生已有的知识基础、认知结构、学习新知识的心理准备和知识储备等，并在此基础上设计有效问题，用问题驱动学生探究，通过解决问题来实现自主构建[3].

（一）依据教学目标，增强问题设计的有效性

数学课堂教学目标在问题驱动式教学实施过程中处于核心地位，在进行教学设计时，要将确立的教学目标具体化，由目标生成具体的数学问题，进而立体整合成一个或多个教学活动[4]. 教师只有深入理解教材编写的意图和研读课程标准的具体要求，才能准确把握目标，将目标融入数学问题，增强问题设计的有效性，确保学生探究活动的开展与知识的自主建构沿正确方向进行. 如本课教学依据教学目标进行学材再建构，将相似三角形的性质集中于一课时讲解，猜测、推理得出“相似三角形对应边上高的比等于相似比”是本节课的重点，该结论的探究过程为后继相似三角形性质的探究提供一般性方法，是后面学习能力的基础与学习方法的指导，也为后续深入学习四边形、圆的内容积累具有借鉴意义的研究方法.DB8C42CB-EB13-4F29-8E56-BCEFD14046BF

（二）注重相机引导，实现问题设计的导向性

教学过程中教师发挥主导作用，注重引导语的设计和思考问题途径的引导，启发思维、点拨疑难、指点方法，促使学生自己学会、会学;让学生的心理活动积极有效进行和健康发展. 因此，合理的问题设计应具有引导性，教学意图、思想方法、知识技能等要渗透在问题中，教师要通过问题来引导学生完成课堂教学. 如本课中引导学生利用已经证明得出的“相似三角形一组对应边的高的比等于相似比”，类比推理，得出“相似三角形对应线段的比等于相似比”，同时启发学生得出进一步探究活动的研究方法和思路.

（三）关注最近发展区，彰显问题设计的主体性

维果斯基的最近發展区理论中指出受教育者的发展水平有两种：一是受教育者现有发展水平，二是受教育者在成长或学习过程中可能达到的发展水平. 前者与后者之间存在的可成长区间即为最近发展区[5]. 据此，问题设计应关注学生的最近发展区，以学生现有发展水平为基础，设计出的问题经学生认真思考后就能回答，此类问题既有挑战性，引导学生积极思考，又能激发学生继续学习的兴趣. 教师在教学中应当通过难易适中的问题启发与引导学生思考，并在思考后有收获. 如本课中研究相似三角形性质定理的过程设计，先降低难度，从回顾相似三角形的定义出发，得出基本性质，再得到“相似三角形对应高的比等于相似比”，最后得出一般结论“相似三角形对应线段的比等于相似比”，以及“相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方”，实现了本节课重要结论的自主建构.

（四）重视问题开放性，巩固问题设计的支撑性

涂荣豹指出：启发探究最重要的就是要在教学中尽可能多采用一些元认知问题，少采用一些认知性问题，即要通过提高问题的开放性来激发学生探究的积极性[6]. 设计问题要重视问题具有一定的开放性，能给予学生独立思考和主动探究的空间. 学生在探究开放性问题的过程中对问题提出种种假想，如果是条件开放问题，则引导学生逆推使结论成立的条件，需要提出若干假设;如果是结论开放题，则要推出可以成立结论[7]. 开放性问题的解题思路、途径、结论往往是多维的，有时预设和生成也不一样，正因如此，才有利于教师捕捉学生的认知冲突点，有助于学生建构知识. 如教学中“相似三角形对应边上的高的比值是多少？你能大胆猜测这个比值吗”“我们现在只研究了一种几何量——高，能不能进一步扩展研究其他几何量，那接下来我们需要研究什么呢”等问题，在将学生探究活动引入深处的同时，也为学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的培养提供机会.

（五）内化数学思想方法，体现问题设计的目的性

只有把数学思想方法嵌入日常的教学中，成为教师备课的有机组成部分，“四基”数学教学才能真正落到实处[8]. 而“数学思想和方法”的教学要以数学知识和活动为载体，由知识向思维过渡，即通过适当的问题，将学生的注意力由具体知识引向背后的数学思想方法[9]. 在问题设计中教师要挖掘知识背后所蕴含的数学思想方法，然后把它融入探究活动中，让学生经历知识的发生发展过程、在过程中感悟思想，从而加深学生对数学知识的理解，提高学生的数学学习能力和思维品质，促进数学思想方法的内化. 如教学中学生对相似三角形性质定理的探究层层深入，在达到对结论本质的自主建构的同时，也使特殊到一般、特殊到特殊、一般到特殊、数形结合、类比猜测等数学思想方法得到渗透.

参考文献：

[1]毛浙东. 基于思维培养的课堂“引导式”提问的若干原则[J]. 数学通报，2019，58（02）：26-29.

[2]许兴震. 设计有价值的问题 促进学生自主构建[J]. 数学通报，2019，58（01）：36-40.

[3][6]杨勇. 用问题驱动探究 让结论自主建构——以“导数在研究函数单调性中的应用”为例[J]. 数学通报，2019，58（04）：46-53.

[4]储冬生. 问题驱动教学 探究生活智慧[J]. 小学数学教师，2017（03）：9-14.

[5]陈姝颐. 解释学思想阐释维果斯基“最近发展区”[J]. 当代教育理论与实践，2018，10（05）：27-30.

[7]喻平. 数学问题解决认知模式及教学理论研究[D]. 南京师范大学博士论文，2002.

[8]张奠宙，郑振初. “四基”数学模块教学的建构——兼谈数学思想方法的教学[J]. 数学教育学报，2011，20（05）：16-19.

[9]郑毓信. 数学教学中的“问题引领”与“问题驱动”[J]. 小学数学教师，2018（03）：4-8.DB8C42CB-EB13-4F29-8E56-BCEFD14046BF