巧用向量法处理几何体外接球问题

赵泽民

简单几何体的外接球问题是立体几何中的难点和重点，解题过程中需借助几何直观理解问题，运用空间想象认识问题，通过逻辑推理分析问题，此类问题对培养学生的直观想象与逻辑推理素养有积极作用.笔者针对我校一道高三模拟考试题，从综合法和向量法两个角度分析问题并给出相应的解题策略，然后通过对一些模拟试题的研究，侧重拓展向量法解决与几何体的外接球有关的弦长、表面积、体积问题，以期抛砖引玉.

例1 在三棱锥A -BCD中.AB⊥平面BCD，BC上CD.AB =BC=1，BD=√2，三棱锥A- BCD的所有顶点都在同一球O的表面上，若点M，N分别为△BCD与△ABD的重心，直线MN与球O的表面相交于Q、G两点，则|QG|：|MN|=（    ）.

评析 把三棱锥补成正方体或长方体解决外接球问题是常用方法，本例借助几何图形中的几何关系及数量关系证明线线平行、垂直，进而将空间问题转化为平面问题，这也是解决与球的切、接有关问题的基本思路.运用公理化的方法处理此类问题对学生能力有一定要求，但有利于培养了学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养.垂直关系的几何体作为载体的立体几何问题，可以优先考虑向量法，这种方法的优点在于抛开了繁杂的推理论证，仅通过计算即可获得一些平行、垂直的关系以及空间距离和角.尤其是本例中重心特征明显，用坐标更容易表达，且线段MN、ON的长度和垂直关系更容易得到，从而降低了思维要求，优化了解题过程：同时也培养了学生依托空间向量建立几何体的外接球问题中图与形的想象能力.下面借石攻玉，触类旁通，巧用向量法处理一些几何体外接球问题.

例2 三棱錐p - ABC中，平面PAC上平面ABC，AB⊥AC，PA =PC =AC =2，AB =4.则三棱锥P -ABC的外接球的表面积为（  ）.

利用向量法解决与几何体的外接球有关的弦长、表面积、体积问题能刺激学生对此类问题产生神秘感，引发学生探究问题的兴趣，促使学生在主动钻研问题的基础上形成数学解题能力.教师不只是强化综合法解决几何体的外接球问题，而且提供向量法解决此类问题的思路，有利于学生数学活动经验的积累，能促使学生形成系统、科学的数学思维方式.利用向量法解决几何体的外接球问题既体现了知识和方法的创新，拓宽了对高考的认知，又提升了学生的解题能力，扩大了高考备考的视野.1DED2D5E-61F9-4C09-9C08-B4D7D867A388