透过现象看本质 拓展思维提素养

杨勇

正交分解主要用来求解复杂的物理问题，是高中阶段求解物理问题的好方法，对于矢量分解通常分为两类：一是根据作用效果分解，如力的作用效果、运动的分解等;二是根据应用或者目的进行分解，如正交分解，目的是为了化繁为简，斜分解，目的是为了让过程更体现矢量的运算本质.而效果分解在复杂问题中会变得模糊不清，比如力的效果分解，当物体受到多个力时，很难找到每一个力的实际效果，则往往正交分解在高中物理问题的求解中变得尤为重要.从正交分解的应用来看，似乎感觉正交分解在质上没有实际意义，只是一种处理问题的方法，但是这种方法在处理复杂问题时显得比较简单，同时会彰显其处理问题的简便性、有效性，所以掌握正交分解的应用技巧和条件，在处理较为难的问题时得到意想不到的效果，下面将结合高中阶段运动的分解、力的分解、电场强度的分解、动量的分解等重难点知识的问题进行分析，总结正交分解的应用，以期能给各位读者提供一定的帮助和参考.

一、正交分解求解运动问题

高中阶段的运动分解是平抛（类平抛）运动，把速度分解成x和y两个相互垂直的方法，这样分解的目的主要是根据力与运动的关系进行分解，

例1如图1所示一质点以初速度为v0从斜面顶端水平抛出，斜面的倾斜角为θ，求质点落在斜面上的时间？

评价 本题的求解方法是正交分解法，首先这样分解的目的是：一从运动的角度来看，物体在发生实际运动的过程中参与了水平方向和竖直方向的分运动;从受力与运动变化的关系来看，水平方向不受力，则物体做匀速直线运动，竖直方向物体只受重力且初速度为零，则做自由落体运动.这两种运动是学生很熟悉的直线运动规律，因此这样分解的目的使復杂问题变得简单，同时各分运动也是学生能够理解的规律.

拓展分析一 在例1的条件下，求质点离斜面最远时，质点运动的时间？

解析 建立直角坐标系如图2所示，把质点的重力分别分解到x和y坐标上，则在x上质点做匀加速直线运动，y轴上质点做先做匀减速直线运动后做匀加速直线运动，由各方向的运动分析可知，当y，方向的速度为零时，质点离斜面最远，所以在y轴上，ma，=mgcosθ，则ay=gcosθ，由于vy=vo sinθ，所以vy，=a，t，所以当质点离斜面最大时时间为t=v0gtanθ.

评价 从上述的两个例题的分析来看，运动分解和力的正交分解在运动学中主要为了能够使问题变得简单的一种方法.一个运动模型，根据不同的物理问题的需要可以分解成不同方向的两个分量，但是分解的一个原则不变，必须围绕力与运动关系进行分解，也就是说正交分解后的各分力与分运动必须在同一直线上，要不然问题会变得更加的复杂.按道理运动学的正交分解应该可以是随意性，但必须为解题服务、为教学服务.

二、正交分解求解平面匀强电场问题

1.正交分解处理平面匀强电场问题的实例分析

例2如图3所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为（

）.

A.200V/m

B.200√3V/m

C.100V/m

D.100√3V/m

分析根据电场强度与电势差的关系E=U/d，所以只要不在同一等势面上，电势差与距离是均匀变化的，而电场强度的矢量，可以进行分解与合成，很多学生会根据类似于力的合成与分解方式计算任意方向的电场强度，按照正交分解计算即可，同时有很多资料书也提到应用正交分解求解电场强度，这样很快就得到结果，但是方法是否妥当.

从以上的分析及几个力的分解很多学生得到启示，利用正交分解可以求解匀强电场的大小，也就是知道任意两个方向的电场强度的的大小及方向，按照力的正交分解方式求解，但是有时候得不到正确

从以上的分析来看，当两个分量不垂直时，把这两个分量按照力的正交分解方式处理显然是不恰当的.也就是说只有两分量相互垂直时利用正交分解计算才与找等势面的计算方法得到相同的结果，所以按照上述分析来看，利用某个方向的电势差与距离关系来计算这个方向的电场强度，在利用这些分量按照矢量合成来计算总电场强度，则两个分量一定相互垂，如果不垂时按照力的正交分解方式来计算是不正确的.如图7所示，电场强度为E可以分解为两个相互垂直的Ex和Ey，若已知一个分量为E1，那要构成正交分解的方式，则另外一个分量必为E2，且它们相互垂直.从图7满足的条件来看，如果已知某电场强度E，可以把该电场分解成为两个相互垂直的Ex和Ey，若根据某个方向上的电势差与距离关系计算出该方向的电场强度，比如E2，则E2与该平面内电场的一个分量Ey的夹角为θ、与Ex的夹角为a如图8所示，根据几何关系可以求得E2=E，cosθ+Excosa.把E2转换为电场E的两个分量在利用勾股定理计算即可.这样可以充分利用正交分解的方式进行求解平面匀强电场的大小，使复杂问题得到简单化处理，

例3如图9所示，菱形ABCD平面与匀强电场平行，LA =60°，边长为1m，A、B、D三点的电势分别为3V、OV、-1 V，求该匀强电场的电场强度大小？

评价 从以上的分析来看，平面电场强度的大小完全可以用正交分解方式进行求解，只不过正交分解的方式与力的正交分解和运动的正交分解不一样，如果根据电场中某个方向的电势差和距离关系算出的两个分量相互垂直，可以直接应用正交分解即可，但是当两个分量不垂直时，直接应用正交分解得到的结果是不对的，所以当计算出两个方向的电场强度不垂直时，假设某一个分量为该平面内电场的分量，建立直角坐标系，假设出另外一个分量，按照例3的解析方法即可计算出该平面内匀强电场的大小.

2.平面内匀强电场分量的本质分析

从力的正交分解和运动的正交分解来看，力和运动的正交分解具有任意性，只要结合力与运动之间的关系，无论往哪个方向分解得到的结果都是一样的，我们知道，对于合力与分力的关系为等效替代法，只要找到某两个力产生的效果与一个力的作用效果相同，则这两个力可以用一个力来代替，则把这一个力看成为其两个力的合力.反之，从定义上来说，当明确知道一个力的作用效果时，可以确定这个力的两个分力的方向，按照平行四边形计算即可，然而力的正交分解是利用数学方法把复杂的力分解再求解合力的方法，知识借助数学来求解复杂物理问题的一种方法，也就是说力的正交分解时两个分力是虚假，并没有实际意义，所以力的分解怎么分解都可以，分力与合力同样满足平行四边形关系.对于电场，如果在已知某电场强度E，如果不考虑其实际意义，也可以分解成无数组平行四边形，但是如果先通过某个方向的电势差与距离关系算出来，则对于平面内一个方向只有一个确定的值，因此某一方向的电场具有实际的意义，并不是虚假的分量，则如果利用电势差与距离算出的分量不能直接应用力的正交分解一样求解合电场，应该利用例3分析的方式才能应用正交分解求解.

三、正交分解在动量定理的应用

在高中阶段动量定理应用常见的是恒力下直线运动，变力或曲线运动相对减少.力的冲量则是力与时间的积累，这个积累等于物体动量的变化，则分析和理解这个累加的意义，对处理变力作用下的一些复杂问题具有意想不到的效果，

如图11所示，一质点以速度为v半径为R做匀速圆周匀速圆周运动，某时刻质点的速度与水平方

从两个方向的分析来看，对于匀速圆周运动竖直方向的位移分量由水平方向的速度变化来贡献.

例4（2021年全国甲卷第25题）如图12所示.长度均为Z的两块挡板竖直相对放置，间距也为f.两挡板上边缘尸和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E;两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞，已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力.

（l）求粒子发射位置到P点的距离;

（2）求磁感应强度大小的取值范围;

（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离， 解析这里只讨论正交分解法在匀速圆周运动的应用，第（1）问的参考答案为

，带电粒

总结根据对以上的问题分析和正交分解的应用，可以看到正交分解的应用非常广泛，同时也能看到正交分解法应用的简捷性、解题的高效性.但是从上述的分析结果看，除了运动的分解和力的分解可以任意方向分解外，像电场等的正交分解法都有一定本质上的意义.所以备考复习中，在抓住问题本质的前提下，充分利用正交分解求解相应的物理题，不仅可以拓展学生分析和认识问题的视野，还可以提高解题的效率，提升学生的物理学科素养.

（收稿日期：2022 - 02 - 10）4369D54D-E4F7-4C8C-9335-FCC8753EEB2A