“补偿法”解“结构缺陷”高中物理“场”问题

陈卫国

高中物理中，库仑定律表述为：真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量q1、q2的乘积成正比，与它们的距离r的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上.

其适用条件为“真空、静止、点电荷”，现实当中，电荷均匀分布的电荷球或电荷球壳、电荷环等均可数学处理后适用.

万有引力定律表述为：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m，、m：的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比.

其适用条件为：两个物体视作质点，如果是质量均匀分布的球体、球壳，距离r指球心间距离.

我们发现：电荷间的作用力表达式与万有引力表达式具有相似性，都遵循平方反比规律.

形式的统一反映了内部本质上的某种一致，这种一致正是物理学家一直梦想并为之奋斗的“大统一”理论.

运用微积分，可以计算任何形状带电体之间的静电力作用、任何形状的物体之间的万有引力作用.但高中学生由于受数学能力的限制，对于万有引力与静电力问题，只能解决质量或电荷量均匀分布的球形或环形问题，然而，有一类题目，在质量或电荷量均匀分布的规则几何体上出现结构性的缺陷，求解由此而导致的问题，看似超越了学生的物理数學水平，但仔细观察，用“补偿法”即可迎刃而解.

一、概念界定

1.正质量

物体所含物质的多少，永远为“+”，正质量物体之间有万有引力.

2.负质量

一个只具有数学意义的假设质量，负质量物体对正质量物体的“万有引力”永远为斥力，等量正、负质量的质量和为0.类似于“质量湮灭”.

3.补偿法

用与原材质相同、相反物质对“结构缺陷”部分进行补偿，一方面使之成为一个相同原材料物质构成的完整理想模型，针对问题用物理规律求解：另一方面对补偿的“相反物质”，针对问题用物理规律求解，最后将两种求解进行物理数学处理，得到正确结论.“补偿法”体现了等效思想.

二、“补偿法”解万有引力中“结构缺陷”问题

物理原型如图1所示，一个质量M，半径R，密度均匀的大球体O，从中挖去一个半径r，对应质量m，球心O，的小球体，试确定剩余部分在距离球心x处的不难看出，小孩甲运动轨道，相当于斜面的倾角逐渐变小，因此其加速度逐渐变小.同理，而小孩乙的加速度逐渐变大，分别做出甲、乙两个小孩运动的”-t图像，如图11所示，由图像不难看出B和D正确，A和C是错误的.

故应选BD.

当解物理题遇到困难时，要开动脑筋，多想想办法，办法总比困难多，千万不要一条道走到黑，题是死的，人是活的：几何图形是死的，观察角度是活的：规律是死的，解题方法是活的，有时换个角度去解决问题可能就会海阔天空：换种解题方法去求解可能就会柳暗花明.有时改变思路，就能改变出路.转换角度看问题，就是改变思路的具体做法.学会转换角度解物理题这种思维方法，能够培养学生灵活处理问题的能力，能够提升学生的思维品质，能够提高学生的科学素养，使学生能够在今后的工作中具有改革意识和富有创新精神，对培养学生的综合素质是大有裨益的，

解析用正质量m，负质量-m的原材质材料补偿挖去的空腔，于是原球便被完整的大球与位于空腔部分的质量-m、半径r的小球替代，

完整的质量为M的球体在A点引力场强等效为以O点为圆心，以x为半径球体在A点引力场强.x为半径球体质量

解析将挖去的小球体用等量的“正、负原材料”补全，整个完整正质量大球对m万有引力即为图中虚线圆球体对m引力，虚线圆质量为

三、“补偿法”解静电场中“结构缺陷”问题

物理原型如图4所示，一个呈负电性、电荷量Q、半径R、电荷均匀分布的大球体O，从中挖去一个半径r、对应电荷量q、球心O1的小球体，试确定剩余部分在距离球心x处的场强.

1.如果x>R，如图4所示，球外A点处的场强（已知|d0.A|=l，O1.A与OA夹角为θ）.

解析等量正、负电荷量为q的原材质材料补

解析 等量正、负电荷量为q的原材质材料补偿挖去的空腔，于是原球便被完整的大球与位于空腔部分的正电荷量q、半径r的小球体替代，

整个完整的电荷量为Q的负电荷球体在A点电场强度等效为以o点为圆心，以x为半径球体在A点电场强度.x为半径球体电荷量

练习2 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场.如图6所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心0的轴线，在轴线上有M、N两点，OM= ON =2R.已知M点的场强大小为E，试确定Ⅳ点的场强大小，

解析 在直径AOB右侧同时补上一个电荷量为+q的右半球壳和一个电荷量为-q的右半球壳，这等效于还是只有原来的“左半+q的球壳”，此时，，v点场强等效为+2q球壳和“右半-q半球壳”共同产生的.得：

四、走向高考

例1 （2009年全国2卷）如图7所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为p;石油密度远小于p，可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向;当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离，重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”.为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.

（1）设球形空腔体积为V.球心深度为d（远小于地球半径），|PQ| =x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常;

（2）若在水平地面上半径为L的范围内发现：重力加速度反常值在δ与Kδ（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.

解析（1）将密度分别为p和-p的与岩石材质相同材料补偿进球形空腔，则密度为p的完整岩石材质在Q点产生引力场大小为g，方向竖直向下;密度为-p、体积为V的球形岩石材质在Q点产生“斥力”，如图8所示.

总结补偿法是将“导致不对称的部分”用与原材料同材质的“两个正、负部分”叠加，其中一部分与原来的其余部分组合形成对称分布，构成完整的理想模型.而补偿的正、负二部分代数和为0，效果上等效于没有补偿.

“补偿法”体现了等效思想，是一种创造性地解决“结构缺陷”物理问题的方法，它有效体现高中学生的物理能力的高低.正因为如此，在高考提倡能力立意的背景下，“结构缺陷”物理问题往往作为热门考点而获得出题者的青睐.（收稿日期：2022 - 02 - 12）63CDA36A-17A8-40E7-AB3D-4DDFBB54C27A