高中数学《立体几何》单元教学微型专题

夏吉鑫

共点三垂直法

空间几何体中若过一点有三条棱两两垂直，即可简单称其为“共点三垂直”。此时可将此多面体补成一个长方体，此多面体的外接球即长方体的外接球。

例1： 如下图，在三棱锥中，且，试求三棱錐外接球的表面面积。

分析：因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，由此可得过三棱锥的一个顶点有三条棱两两垂直（称为“共点三垂直”），此时可将此三棱锥补成一个正方体，此三棱锥的外接球即正方体的外接球。

解：如上图把三棱锥补成一个正方体，其棱长为，由此正方体的外接球就是三棱锥的外接球。

设其外接球的半径为；

则有。∴。

故其表面积。

小结： 一般地，若三棱锥在同一顶点处的三条侧棱两两垂直（既出现共点三垂直），且其长度分别为a、b、c，则可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径。设其外接球的半径为，则有。

首尾三垂直法

空间几何体中若有三条棱两两垂直，且端点首尾相连，即可简单称其为“首尾三垂直”，此时可将此多面体补成一个长方体，此多面体的外接球即长方体的外接球。

例2：如图所示四面体中，，，求四面体外接球的体积。

分析：四面体中，三条侧棱da、ab、bc两两垂直端点首尾相连，称其为“首尾三垂直”，此时四面体的外接球可以视作以此三条棱分别为长宽高的正方体的外接球。

解：四面体中，

又

三条侧棱da、ab、bc两两垂直

四面体的外接球即以da、ab、bc三条棱分别为长宽高的正方体的外接球。

正方体的棱长为，正方体的体对角线为。

外接球半径 外接球体积。

小结 ：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且端点首尾相连（即出现首尾三垂直），且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径。设其外接球的半径为，则有。

异面三垂直法

正四面体中，三对侧棱互为异面直线，且三对侧棱之间两两垂直，称其为“异面三垂直”，此时正四面体的外接球可以视作以正四面体棱为面对角线的正方体的外接球。

例3：求棱长为的正四面体的外接球的表面积。

分析：正四面体中，三对侧棱、、 “异面三垂直”，此时四面体的外接球可以视作如图所示的正方体的外接球。

解：如图将正四面体放到正方体中，则正四面体的外接球既长方体的外接球。

正四面体边长为 正方体的棱长为，正方体的体对角线为。

外接球半径

外接球表面积

基金项目：甘肃省教育科学“十三五”规划2017年度课题“高中数学新课程单元教学与微型探究教学有效整合的实践研究”研究成果（项目编号：GS[2017]GHB3343）