一道解析几何定点问题研究的心路历程

王彩玲

处理有关直线与圆锥曲线交汇中的定点问题时，往往需要灵活运用“设而不求”技巧，该技巧的关键之处就在于获得关于“x1+x2，x1x2”形式的代数式，或者获得关于“y1+ y2，y1y2”形式的代数式，利用根与系数的关系，进一步分析、解决目标问题，但有时不会出现这样显性的代数式，让人举步维艰，这就需要结合题设问题进行大胆地探寻，创新解题思维，有利于获得目标问题的巧思妙解，

思路一 分两种情况进行讨论，特殊情形是直线MN的斜率不存在;一般情形是直线MN的斜率存在，此时可利用直线方程的点斜式设出直线MN的方程，根据“x”的二次方程、根与系数的关系以及直线方程的点斜式加以灵活分析.

思路二将直线MN的方程设为x=my+n的形式，充分根据关于“y”的二次方程、根与系数的关系以及直线方程的点斜式灵活分析，其优点在于可以避免讨论，优化解题过程.

2.解決问题：

由于本题第（2）问是证明题，所以目标结论是肯定的，如此可从考查特例人手，先获得该定点的坐标，然后在一般情形下据此逆推，以便具体考查是否成立.

至此，就可以给出第（2）问的完整解答过程，请读者自行完成，

综上，结合举例剖析可知：处理直线与圆锥曲线交汇中的“有关直线恒过定点问题”时，如果不能直接获得关于“x1+x2，x1x2”形式的代数式，或者获得关于“y1+y2，y1y2：”形式的代数式，那么就可借助“分析法”的思想进行逆推，以便发现隐藏在其中的具有完美形式的恒等式（如思路一中的解决问题），有利于目标问题的顺利解决;亦可借助“特例开路，逆推探寻”的思维进行求解（如思路二中的解决问题）.

一言以蔽之，圆锥曲线中有关“定点”问题的处理，往往具有一定的综合性、技巧性，需要在解题过程中不断积累经验（例如：直线方程的设法技巧，数形结合思想的运用，分类与整合思想的运用），同时需要进一步强化逻辑推理能力（特别是“分析法”思想的灵活运用）以及字母形式的代数运算求解能力，进而提高解题技能，提升数学核心素养.A372DB7D-5E8D-4FE2-B36F-7AA81FC73141