“四能”培养与数学教学适切性探讨——以等宽曲线教学设计为例

刘学民 龙海芹

一、问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称新课标）把原来课标的“五种能力”（空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理）升级为“六个数学核心素养”（数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算，数据分析），并提出“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）和“四能”（从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力）。其中“四基”是数学学习的载体，“四能”是发展六个数学核心素养的抓手。孔凡哲教授在《“四能”及其培养》一文中，对“四能”进行了详细解释。

“发现问题的能力”是指学生在学习或探究中有困惑，并在显而易见中发现“问题”的能力，其核心是经过多方面、多层次、多角度的数学思维，从看似无关的表面现象中找到空间形式或数量关系方面的某些矛盾或联系。“提出问题的能力”是把找到的矛盾或联系以数学问题的形态，用数学语言表达出来，简称“提出问题”。“分析与解决问题的能力”是指能理解问题的陈述材料，综合应用所学内容（包括数学的知识技能、思想方法、观念意识等）解决相应问题的能力。这里的问题不仅包括数学问题，还包括相关学科和社会中的一些现实问题。发现与提出问题的能力、分析与解决问题的能力，即运算能力、推理能力、直观想象能力等多种数学基本能力的综合体现。[1]

“四能”围绕的核心是“问题”，从发现问题到提出问题再到分析解决问题，步步推进，层层升华。知识为能力提供基础和支撑，能力是知识的反思、感悟、内化，能力的孵化和迭代升级即核心素养，它在知识与素养两个层面间起到承上启下、内化于心的作用。

培养学生的“四能”，对提升核心素养，全面落实课程目标起着举足轻重的作用。本研究探讨在教学中怎样做到有针对性地培养学生发现问题、提出问题的能力，以及分析和解决相关学科及社会现实问题的能力，提升数学教学活动与“四能”培养的适切性。

二、基于“四能”的教学活动及研究中存在的问题

（一）对发现问题和提出问题重视不足

一是表现在教材上。课程标准提出“四能”，提倡在课程和教学过程中设计更多问题，并为学生问题的提出创造情境的能力，而2020年新修订的教材中，包括北师大版、人教版、苏教版、湘教版，增强了趣味性、情境性、实践性、与信息技术结合性，但鲜有创设情境，让学生提出问题的教学活动和教学任务。二是表现在教学设计上。核心素养的提出使更多教师重视培养学生解决实际问题的能力，他们采用建构式教学法，或问题驱动法开展教学，尽可能调动学生积极性，培养其数学思维能力。但美中不足的是，问题都由教师提出并解释，很少让学生自己去发现、提出。目前只有极个别学校，如江苏洋思中学，实施“先学后教”，让学生学会发现问题，形成问题意识，带着问题进课堂。

（二）相关研究不足

目前国内针对核心素养培养的研究成果非常丰富，但针对“四能”培养的研究相对较少，2021年6月27日，知网上以“四能”为关键词进行检索，相关论文144篇，学位论文17篇。以“四能”为主题的论文数为0，以“核心素养”为主题的论文则有9409篇，可见“四能”培养还未得到广大教育工作者的重视。

（三）相关教学理念教学思想探索不足

目前国内教学理念探究的焦点集中在教师与学生谁是教学活动的主体，从“以师为本”与“以生为本”思想的交锋发展为较为折中的“以生为本，以师为根”到“师生同为主体”及“一体两面”等。这些教学理念越来越重视“四能”中分析问题和解决问题的能力，对前两个能力的培养或者视而不见或者不够重视。

三、提升“四能”与数学教学活动适切性的策略

（一）改革教学方式

针对“四能”培养的教学方式，主要有问题探究式、任务驱动法、自主学习法等，虽然形式不一，但本质都是基于核心素养，应用建构理论，提升学生“四能”。其教学过程为：联系实际，情境引入→提出问题，凝练问题→引导分析，解决问题→举一反三，实践应用→课后反思，教学评价。

1.联系实际，情境引入。其目的有三个：一是从学生熟悉、感兴趣的事物入手，吸引他们的注意力，有利于其主动探索；二是让学生了解数学知识来源于生活，又应用于生活；三是让学生通过情境发现隐藏在生活实践中的数量关系或几何关系，引导其养成用数学眼光看待世界、用数学思维思考世界的习惯。

2.提出问题，凝练问题。引入情境后，多数教师会在接下来的教学活动中对情境进行分析，提出问题，并引导学生思考解决。这种方式是由教师抢先提出问题，学生只能被动接受，失去主动发现问题的锻炼机会，弱化了相关能力的培养。正确做法是：引入情境，教师鼓励并要求学生针对情境提出问题，且越多越好，越古怪越新奇越支持，把这些问题汇总、归纳、升级，使其精准化、数字化。布鲁纳认为，“教学过程是一种提出问题、解决问题持续不断的过程”。[2]更深层次的说，提出问题、凝练问题也是推动数学甚至科学发展的强大动力，有时提出问题甚至比解决问题更为重要，解决问题，或者是一个数学上、实验上的技能，或者是一个有具体目标的探索研究，而能提出新的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。数学的发展，很大程度上都是由问题的提出实现的，某些问题的提出，能引发数学革命，造成科学界的大地震。例如，古希腊数学家希帕索斯提出边长为1的正方形，其对角线长度是多少？这个问题激起了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”，直至两千多年后数学家们建立的实数理论才消除它。又如著名的哥尼斯堡七桥问题的提出引发数学产生一门新的分支——图论与几何拓扑。“四色问题”的提出引发了人们对图论问题的研究，推动了航空班机日程表、计算机的编码程序有效设计的发展。

3.引导分析，解决问题。教师以问题为导向，引导学生抓住其本质，确定解决思路，探讨解决方案，促进他们对知识的深度理解，提高其分析问题、解决问题的能力。很多教师只重视问题是否得到解决，不重视引导学生多方法、多角度、多渠道思考问题。应引导学生用多种方法解决问题，提高他们思维的广度和深度，提高其综合应用知识的能力。

4.举一反三，实践应用。大型国际教育测量项目PISA 在测试核心素养时，将在现实情境中解决问题的能力作为核心素养的重要参考指标。国内外学校关注到现实情境与数学核心素养的关系，认为数学核心素养要借助特定的情境潜移默化方能习得。[3]知识和能力只有应用于实践才能升华为核心素养，把从教师创设情境中学到的知识再应用于现实情境，才能真正发展学生核心素养，“死记硬背”“纸上谈兵”不是教育的最终目的，教学一定要重视知识的实践应用。

5.课后反思，教学评价。教学活动结束后，教师应就本次教学对学生进行调查或测试，并采用数据分析软件进行精准、细致分析，了解教学效果。专业数据分析软件有SPASS、SAS、Clementine、R、Rapidminer等。也可采用Excel进行分析，根据分析结果，大致了解教学效果。教学是否“有效”看学生，教学能否“有效”在教师，真实的课堂是基础，是过程；有效的评价是目的，是结果。唯有反思和评价，才能促使教师不断进步。

（二）合理利用教学资源和课程材料

新版教材更重视“四能”培养，以《2019 新人教A 版高中数学必修第一册》为例，旧版教材的教学内容只设置了“思考”栏目，而新版教材增加了“观察”“思考”“探究”“归纳”四个栏目。其中“观察”栏目提供一些数、式、形方面的资料，让学生发现其中的关系；“思考”栏目列出容易混淆出错的概念让学生甄别，或者提出的问题是概念或定理的延伸，其目标是让学生抓住概念的本质特点；“探究”栏目中提出的问题更富难度、深度和广度，这些问题基本都是公式、定理的推广和应用；“归纳”栏目是总结和形成固化经验。新版教材这四个栏目的增设体现了对“四能”培养的重视。

教师可以对现有的教学资源进行二次开发，如对教材相关例题、习题进行分析，通过删除某些条件或结论，让学生创建问题，或者对一些问题情境进行提炼，让他们针对情境提问，这样更能全面完整地培养“四能”。

四、教学案例

教学课题：等宽曲线

教学目标：使学生掌握等宽曲线的概念、构造方法及应用。

（一）引出问题，激发思考

师：马路上和校园里有很多下水道的出入口，我们来看看这些下水道的盖子，同学们能发现什么规律，想到什么问题？

教师展示各种井盖图片

（图片链接https://www.sohu.com/a/247352018_100130419）

生1：这些井盖从形状看都是圆形，为什么都是圆形？

师：这名同学看出了规律，问题也提的非常好，请大家想想，为什么井盖都是圆形的？

生2：制作简单方便，节约成本，便于运输、安装。

生3：因为下水管道是圆形的。

生4：不对，盖子如果做出正方形，制作也简单，成本也不高，而且有些下水管道只有出入口是圆形，里面却是方形。

师（提示）：如果从安全角度来看，我们会发现什么？

生5：圆形的盖子不会掉进井里，椭圆形、方形的盖子都能掉进井里。

生一致觉得这个理由很有说服力。

师：为什么圆形盖子不会掉下去，而正方形的、椭圆形的会掉下去？分组讨论。

生6：圆形的直径都相等，无论怎样旋转，盖子都比下水道井口大，能卡住不会掉下去。而椭圆形短轴比长轴短，正方形边比对角线短，在某个角度都能掉下去。

师：生活中还有这方面的例子吗？

生7：长方体的饼干盒，开一个圆形口，盖子是圆形的。

生8：茶杯和茶盖。

教师指导学生分别使用关键词“长方形饼干盒”“茶具”在网上查找相关图片。

【教学意图】从生活中下水管道的井盖出发，通过颜色和图案不同的井盖吸引学生注意力，引导他们观察得出井盖的共性——都是圆形，启发其对观察得到的共性提出问题：为什么井盖都是圆形，培养学生的观察能力和从数学角度提出问题的能力。这是一个与生活相关的问题，此类问题并没有一个绝对正确的回答，且影响问题答案的因素很多，通过学生的分析、讨论，得到最贴切、最让人信服的答案。用这种方式培养学生分析问题、解决问题的能力，提高他们观察问题的全面性，看待问题的多角度性。

（二）脱离事物，得出概念

师：如果不想让盖子掉下去，必须满足什么条件？

生9：这个盖子不管怎么旋转宽度都一样。

师：可以用更准确的语言来描述吗？

生10：这个盖子图形各个方向的宽度都相等。

师：图形各个方向的宽度都相等是个非常准确的判断，数学把这样的图形叫等宽曲线。正三角形、正五边行、正六边形等正多边形是等宽曲线吗？

生回答不一，各执一词。

师：实践是检验真理的唯一标准，我们来验证，请同学们设计一个简单易行的验证方案。

生11：用纸片剪成正三角形的形状，用两个直尺平行夹住正三角形，转动它，如果两个平行直尺之间的距离发生变化，说明正三角形各个方向的宽度不一致。

为了节约课堂时间，教师事先准备好正三角形、正四边形、正五边形硬纸片和两把直尺，安排三组同学上讲台在黑板验证，两名同学分别压住两把直尺平行夹住正多边形，另一名同学旋转正多边形，其他同学观察两把直尺之间的距离有无变化。

通过实验发现正三角形、正四边形、正五边形都不是等宽曲线。

【教学意图】从井盖不会掉下去这个现象得出等宽曲线的概念，把发现的结论用数学语言或数学符号表达出来，这个脱离具体，抽象得出概念的过程是整个数学研究很重要的一环，它把实际问题抽象为数学问题。这个抽象的过程须透过现象看本质，学生要排除各种不相关的因素干扰，抓住事物的内在特征和本质，可以培养其思考力和判断力。

（三）概念拓展，探寻规律

师：除了圆还有没有其他等宽曲线？

学生思考讨论。

师：已经验证了正三角形不是等宽曲线，现在以它为基础，稍作变化，得到一个完全不同的图形。

教师利用数学作图软件，作出一个正三角形，再分别以此正三角形的一个顶点为圆心，边长为半径，作出过另外两个顶点的劣弧，如图1所示。

图1

师：同学们见过这样三段圆弧围成的图形吗？

多数学生表示没见过，有爱好音乐的同学说：像吉他拨片；有个父母是裁缝的同学说：像裁缝在衣服上划线的彩色划片。

教师指导学生搜索吉他拨片和彩色划片的图片并展示。

师：这些同学观察很仔细。我们再看看这个图形的宽度是不是都相等？

生12：我感觉都是相等的，从作图中发现这个图形的宽度等于此正三角形的边长。

师：实践出真知，我们用这种方法做一个道具来测量各个方向的宽度。

教师拿出硬纸片，让学生用直尺和圆规在硬纸片作出此图形，并剪下它。用两直尺平行夹住，再旋转此图片，发现无论怎么旋转，此图形的宽度相等，如图2所示。

图2

师：这个像三角形的图形是除了圆之外我们发现的第一个等宽曲线，说明等宽曲线不止圆一种。这个图形是由德国机械工程专家勒洛(1829～1905)首先发现的，以他的名字命名叫勒洛三角形。

教师播放勒洛三角形滚动视频。

师：我们还可以通过另一种实践验证。用这样的勒洛三角形做了三个小轮胎，用一个小板在小轮胎滚动，观看滚动的效果。

学生上台验证，表示滚动毫无障碍。

【教学意图】通过寻找等宽曲线，让学生自己发现和作出勒洛三角形。但在教学中发现，学生目前的认知是等宽曲线只局限于圆，他们自行发现勒洛三角形不太可能。因此，教师通过先作出勒洛三角形图形，再让学生思考此图形的性质和特点，并通过实践进行验证。这是一个理论上证明、实践中验证的过程，在培养学生数学思维能力的同时，还培养其严谨的科学态度。

（四）习题讲练，提升应用

教师展示问题：

如图3，将一个“凸轮”放置于直角坐标系x轴上方，其“底端”落在原点0处，一个顶点及中心M 在y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，边长为半径的三段等弧组成，如图3。

图3

使“凸轮”沿x轴正向滚动前进，滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，在“凸轮”滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”形成的图形上、下放置，应为哪幅图？（2011年高考江西卷文科第10题）如图4所示。

图4

生13：“最高点”的轨迹应是一条水平线，可排除B，D。再由中心M 的位置运动时会先变高，可排除C，所以选A。

师：这说明勒洛三角形滚动时，最高点虽然是水平的，但是中心点会上下起伏，这是它与圆的最大区别。

【教学意图】通过高考试题，继续深化对等宽曲线的探索，让学生通过分析得到勒洛三角形滚动时最高点和中心点的相应轨迹，培养学生分析问题、解决问题的能力。

（五）继续深钻，挖掘共性

师：通过正三角形构造等宽曲线，能不能采用类似方法构造正五边形等宽曲线？

学生分组讨论，教师指导他们利用数学作图，如图5所示。

图5

师：为什么这个图形是等宽曲线？宽度是多少？

生14：从作图过程可知，这个图形不管怎样旋转，宽度都是正五边形的对角线长度。

师：在这个作图过程中，同学们能想到什么问题？

生15：可不可以按这样的作图方法，以各种正多边形为基础，作相应的等宽曲线？

师：这个同学提得很好，我们来作以正四边形、正六边形、正七边形、正八边形、正九边形为基础的等宽曲线。

教师出示相关正多边形，学生分组讨论。

学生均表示，很容易作出以正七边形、正九边形为基础的等宽曲线，但不能作出以正四边形、正六边形、正八边形为基础的等宽曲线。

师：数学家已经证明，如果是奇数边的正多边形，很容易作出相关的等宽曲线；如果是偶数边的正多边形，不能作出相关的等宽曲线。如果同学们有兴趣，可以课后去查找相关资料。

【教学意图】引导学生由勒洛三角形的作法提出问题，进而推广所有以奇数边正多边形为基础等宽曲线的作法，验证无法完成以偶数边正多边形为基础作等宽曲线。学生通过总结、归纳、推广、验证或证明等系列活动，提升追本溯源、举一反三的能力，同时提升实践操作能力。

（六）理论指导，回归实践

师：同学们看到这些等宽图形，觉得这个图形有些什么用途？

生15：这种图形是否也可以用来做车轮？如果自行车的车轮是这个形状，是不是特别显眼拉风？

师：估计很多人都这样想过，既然这个图形能滚动，能不能做车轮？还真有人这样做过（展示用勒洛三角形作车轮的自行车图片）。

师：这样的自行车独树一帜，很有特色，我们在生活中似乎没有见到，大家想想为什么这种自行车没有推广？

生16：勒洛三角形的旋转中心高度不固定，上下波动，车会处于颠簸状态。

师：分析很正确。如果采用这种轮子，要加上很多的防震装置，否则会有在月球骑车的感觉。

教师播放视频（视频链接https://haokan. baidu. com/v? vid=2759120784574280672&pd=bjh&fr=bjhauthor&type=video）

师：等宽曲线在生活中还有很多用途（展示相关图片）。例如，美国加州旧金山的一些窨井盖就是勒洛三角形，英国二十便士的硬币形状是一个以正七边形为基础构建的等宽曲线。工业上，等宽曲线也有独特的应用，如马自达公司利用勒洛三角形状的钻头可钻出近似正方形孔的原理，制作功能强大的汽车转子发动机。

【教学意图】理论联系实际，既是我党一贯坚持的正确思想路线，也是基本的教学原则，更是能力升华为素养的必经之路。通过等宽曲线在生活中的一些应用，学生开拓了视野，掌握了知识，提升了“四能”，发展了数学核心素养。

（七）课后延展，培养情操

师：我国当代数学家华罗庚先生在一次对中学生的演讲中，指着讲台上的茶杯问大家：你们想过吗，为什么茶杯盖不会掉到茶杯里面去?讲述的就是数学等宽曲线的原理。在数学家眼中，世界万事万物都蕴涵着数学，他们有一双敏锐的眼睛，善于从生活中发现数学，并从数学的角度观察和解释这个世界。华罗庚先生作为当代自学成才的科学巨匠和誉满中外的著名数学家，一生致力于数学的研究和发展，并以科学家的博大胸怀提携后进和培养人才，以高度的历史责任感投身科普和应用数学的推广，为数学科学事业的发展作出了重大贡献，为祖国现代化建设付出了毕生精力。他非常重视青少年数学教育，发表多部适合其阅读的生动有趣的数学科普著作。例如，《数学的培养聪明在于勤奋天才在于积累数学大师华罗庚谈怎样学好数学》《从孙子的神奇妙算谈起数学大师华罗庚献给中学生的礼物》《中国大百科全书——数学》《华罗庚：下棋找高手》《从杨辉三角谈起》《从祖冲之的圆周率谈起》《从孙子的“神奇妙算”谈起》等，希望同学们都能读一读，你会发现，数学世界是多么奇妙和有趣。同学们也会对华罗庚先生有更深的了解，也会感受到，相比于那些演员明星，华罗庚先生才是真正值得我们去崇拜去敬仰去学习的榜样和明星。

【教学意图】情感是教学的三大目标之一，通过华罗庚的故事，让学生体验数学家华罗庚致力于青少年数学教育的情怀，感受他的人格魅力。培养学生正确的人生观、价值观和世界观。

五、教学反思及学生反馈

该教学案例侧重于“四能”培养，教学流程基于建构主义学习理论，牢牢把握“情境”“协作”“会话”“意义建构”四个要素精心设计。创设情境引导学生提出问题，分析问题，解决问题，通过构建模型，重组学生知识体系，使其在获得知识的同时，“四能”得到很好培养，通过实践应用，发展数学核心素养。

课后对学生进行调查，其主要内容有：一是对本次教学涉及的知识是否掌握理解。反馈结果是100%的学生表示理解等宽曲线的含义，85%的学生能说出奇数正多边形构建对应等宽曲线的方法。二是对教学方式的看法。96%的学生表示非常赞同这种教学方式，4%的学生表示赞同。三是提出教学建议。有些学生提出内容比较紧凑，希望教师能给更多的思考时间。四是对于“四能”，自我感觉提升最大的是哪个能力？反馈中，31%的学生表示是从数学角度发现问题的能力，23%的学生认为是提出问题的能力，29%的学生认为是分析问题的能力，17%的学生认为是解决问题的能力。

从调查结果看出，学生对本次教学持肯定态度，数学内容基本都能掌握，能力也得到一定提升。当然能力的培养不是一朝一夕，不能一蹴而就，需要教师长期不懈的努力和坚持。

六、“四能”培养需注意的两个问题

（一）不拘泥教材

“四能”不仅体现在数学学习上，更在生活实践中。建构主义学习理论认为：教师应注重在实际情境中进行教学。开发围绕现实问题的学习活动，注重让学生解决现实问题，尽可能将学习者嵌入与现实相关的情境中，这样更利于促进学生积极主动建构关于知识、社会、自然的意义。教师在教学活动中，要根据生活实践构建情境，引发学生思考探索。例如，某日，本地有三家商场推出优惠活动，甲商场打出“全场五折”广告，乙商场打出“买二赠一”广告，丙商场打出“买一百送五十”广告。以此为话题设问：遇到这种情况，你们会想到哪些问题？学生说，第一反应就是哪家优惠力度最大？教师进而让学生把此问题数学化，将其提炼为：这三家商场的折扣分别是多少？学生对此问题表现出极大兴趣，纷纷进行分析和计算。“四能”在生活实践中得到体现，升华为数学核心素养。

（二）不拘泥形式

“四能”培养不是一定要采用信息技术设置情境，有时随处可见的小物件、小道具也能成为得力助手。例如，某次课，讲台上有一些A3、A4 纸。笔者突然想到纸张长宽比的“白银”比例，判断学生可能分不清“黄金比例”与“白银比例”，便先放下教材，拿起A3、A4 纸说：这里有两张纸，一张是A3 型号纸，一张是A4型号纸，请同学们观察这两张纸，说出发现的特点和想到的问题。一个学生回答：A3 纸面积是A4 纸的两倍，能想到这些纸的长宽分别是多少毫米，长宽比又是多少？随即很多同学回答：长宽比是黄金比例。教师追问：你们验证过吗？同学们纷纷摇头，让他们量出A3，A4 纸张的长宽，计算比例。得到A4 纸尺寸是210mm×297mm，A3 纸张尺寸为297mm×420mm，长宽比约为1.414:1。笔者说：生活中很多比例并不是我们想象中的黄金比例，同学们从小到大受到黄金比例的很多误导，任何事情必须要亲自求证，不能人云亦云。然后继续引导，你们看到1.414能想到什么？他们纷纷说 2。此时，很多学生自动提出问题：为什么长宽比是 2:1，到底有什么好处？接着引导学生通过折纸并计算，发现这样的纸把长边对折后，得到的新长方形长宽比不变。由此得出结论：这种比例的纸，对折后长宽比例不变，裁剪不会浪费纸张。教师告诉学生，这个比例叫白银比例，在生活中应用也非常广泛。这次教学活动，笔者无心插柳，没有精心准备，只是偶然想到引导学生探讨。整个教学活动，教师所说所作甚少，大部分时间是学生自己提出问题，自己探索答案，既增长了知识，又提升了能力，培养了善于观察、敢于提问、勤于探索的优秀品质。这次教学活动给学生留下深刻印象，几乎全班同学都积极参与探讨，得出结论后，很多同学露出了会心满意的笑容。

发展学生核心素养是我国新一轮深化课程改革的主要方向，也是教学的宗旨和目标，但很多教师感到迷茫，不知道如何去落实。笔者以“四基”为载体、“四能”培养为教学主要目标，把“四能”与社会实践和现实情境相结合，学生的核心素养会自然得到发展。引导学生勤于思考，积极探索，养成多问几个“为什么”的好习惯。教师要提升自己的教学水平和理论水平，做好引路人，精心设计每一堂课，发挥学生主体作用，激发其感悟数学的思想，内化为数学核心素养。