数学启蒙教育的偏与正：基于和人教育理论的思考

李方红

“学好数理化，走遍天下都不怕”的说法对数学的价值虽有夸大，但在培养学生抽象概括、逻辑推理、模型建构、系统思维、质疑批判、实践创新等方面有着不可替代的作用。针对各级招生评价指标的导向和对数学启蒙教育的过度重视与不当方法，有必要深度剖析，诊断是非，厘清数学启蒙教育的正途。

一、数学启蒙教育之“偏”

（一）玩游戏培养兴趣

很多家长深知兴趣对孩子成长的重要性，积木、拼图、数独、魔方、九连环、华容道……成了孩子数学启蒙的工具。这些操作性与思维性结合的游戏对培养孩子的协调性、专注力、记忆力、推理能力等大有裨益，但认为孩子玩好这些游戏就是数学启蒙则有失偏颇。数学教育有培养人力、传承文化、服务生活的三重价值，[1]仅靠玩游戏培养学习力的做法，缺乏习惯引导、方法启迪、精神涵养、性格润育等，难以落实立德树人的根本任务，也不能全面培养学生的数学素养。

（二）自然式放养

少数家长认为最好的教育就是基于自然主义的“放养教育”，孩子入学前，只要吃好、玩好、睡好、身体好就行。这样可能会错过孩子数感培养的关键期（3岁左右），[2]失掉为孩子后续正式学习打基础的机会。自然主义并非不管不问、不导不引、不育不润，而是指遵循儿童身心成长的自然规律。

（三）兴趣班越早越好

很多家长担心孩子输在起跑线，在没有厘清培养思路时，病急乱投医，跟着大众走，把孩子交给各种培训机构。社会上多数兴趣班都是超前或超纲学习，且仅教知识，忽略学习方法、习惯的培养，漠视精神和兴趣情感的熏陶，抹杀孩子的好奇心与求知欲。

（四）数学启蒙就是教计算

很多家长认为孩子会20以内加减运算，数学启蒙教育就做好了。数学是研究数量关系与空间形式的学科，运算仅是其中一部分，运算的前置知识应是数和数量的关系，单纯教计算，忽视前置知识基础的孕育和计算的生长根基，无异于揠苗助长。

玩游戏、自然放养、早上兴趣班、只教计算等走进了以偏概全、不明规律、揠苗助长、流于表面的误区，其本质是家长对教育教学规律和数学启蒙基本方法的不明就里，所以亟待纠偏归正。

二、和人教育理念下的数学启蒙教育解构

和人教育的核心理念是“和乎人性，和而不同，和美生活”，[3]强调一切教育教学活动都需遵循人成长的规律而展开，做到因材施教、因地制宜、因人而异、因时而变，将统一性与差异性、集体性与个性化有机整合，让每个学生都成为最优秀的自己，享受和美的幸福生活。这需要教育做到由表及里的追问与把捉，做到由此及彼的统一，拥有由近及远的全局设计与终身发展的长远视野。

学科育人价值不仅传承文化，也要培养人力与服务生活，沟通数学与生活的联系，让学生体悟数学的应用价值，真正激发其学习内驱力。学科育人科学规律、儿童身心发展规律、学生人力培养规律、数学学科发展规律构成了数学启蒙教育的理论根基。基于四大规律展开的教育设计与实施是启蒙教育的基本原则，学科育人要回应人力培养、文化传承、服务生活的综合育人价值；身心发展规律是回答孩子身心发展的特点，启蒙教育的方式方法呈现的是采取怎样的策略与措施问题；人力培养规律回应怎样让学生从学会到想学、会学、学好的学习生发性问题，即怎样才能学好数学，数学学习需要哪方面的关键能力与核心品格。如果把学科发展比作菜肴，学习机制就是做菜的基本功与方法，学科发展规律厘清了数学学科最核心的内容、它们之间的关系，又如何在启蒙教育阶段予以适切渗透等问题。

学科育人是价值论探讨，身心发展是启蒙教育的实践观依据，促进学生养成良好的学习习惯，有序学习，实现儿童更好成长（单位时间内更好地成长）；人力培养是学习的方法论阐释；学科发展是学科成长的本体论解读。四者相互生成，相互促进，共同为学生更好成长奠基。

从和人教育理论视野切入，基于数学启蒙教育现实问题与归正方向分析，数学启蒙教育的总体归正涉及以下四个方面。见图1。

图1 数学启蒙教育的偏与正

三、数学启蒙教育之“正”

（一）价值论：助力学生和美生活

数学启蒙应从关注外显结果的“偏”走向由外向内，由表及里的生发性、根基性、内隐性的启蒙“正”途，应从外在驱动的兴趣培养走向关注内在生发的需求。让学生感受数学的广泛应用，感受其价值，激发探究数学的本源初心，让学习变得真实而有趣。

数学的价值体现在趣、美、用三方面。[5]启蒙阶段，要让幼儿走出家门、走出纸笔世界、走出社区、走进生活、走进社会，去感受数学的广泛存在，体悟数学无处不在，随处可用。基于幼儿的认知能力与身心特点进行浸润式启发，基于浸入性、泛在性、启发性、探索性等教育原则，即不刻意出示与营造，不讲授解说，让孩子去感受、体验、探索、体悟。例如，1 岁时，父母把孩子带到儿童乐园，他看到很多花、很多人……回到家，对比身边人，爸妈可尝试与孩子一起对话，今天儿童乐园人真多，家里人真少。在孩子充分感受后，家长可进行大小比较关系的启蒙，是数学学科价值的原始启蒙。

（二）实践观：实现儿童更好成长

孩子产生原始探究欲后，接下来应在浸润基础上积极引导，使其养成有序学习、科学学习的良好行为习惯。从行为主义分析，学习即行为程式的不断优化，包括各器官的协调参与，看、听、思、做、说等行为的参与，不断完善生理器官的机能，累积更优的行为程式，实现自身成长。从认知建构主义探析，学习是“情境-内化-顺应-平衡-外化”的认知建构过程，关注情境的表象依附，强调新旧认知的联系，注重让学生不断表达输出等。从社会学视野检视，学习包含系列社会化过程，教育学领域建立目标-课程-学习-评价-研究的系统学习结构。金字塔及艾宾浩斯遗忘曲线等理论，指出复述表达、实践、复习总结等习惯有利于学习效率与质量的提升。

基于以上理论，让幼儿建立纵向有序、横向有质的优质学习行为程式，预、学、结、练、用、创、展、评八环学习习惯就是对此的回应。[6]八环是学习过程的完整生态描述，是学生多种器官的协同参与，更切合高质学习的基本程式。预，即学习的驱动、计划、准备；学，即通过多元路径、多种方式、多样形式展开，如自主与合作、课内与课外、发现与接受、意义与无意义、正式与非正式、线上与线下、主题与随性学习等；结，即及时总结与梳理、自省与复述、实现过渡学习、建立系统认知网络；用，即及时以用致学、以学致用、在做中学、在做中提升；创，即实践研究与创新探索；展，即多参加各种展示自己的活动，在活动中交流互生，在活动中历练成长。评，即最后的成长反馈与未来发展预见与建议咨询。八环融合了一切做事行为的基本程式和良好习惯，即“预-规划，学-思考，用-实践与持恒，笃行与超越，结-总结”，八环也关注了对学生计划、执行、坚持与反思习惯的培养。

例如，幼儿3 岁左右，可与他们一起制作一本充满童趣的学习册，用来记录其学到的知识与解决问题的方法，记录他们数学学习的一些快乐瞬间，累积积极情感。[7]还可以在家里开一个我来讲数学的小型宣讲会，各个成员每周分享自己的学习收获，与孩子一起制定详细的奖励制度，可采取代币制鼓励孩子的点滴发现与进步。

（三）方法论：优化学生生长基因

学生在有序学习的基础上，应追求高质量学习，这需要把握数学的规律，为学生植入数学学习的优质基因。基于规律，探明“原点”与“根基”，播下良好的学习种子，这个种子就是数学学科发展，数学学习背后的科学精神、研究方法、数学思想（普适性的思考方法）、学习方法、解题方法等。掌握科学研究方法，如实验法，用“猜想、实验、结论、验证、应用”可以探索很多数学规律，建立数学模型。小学阶段，常见的研究方法包括调查、实验、文献、个案、实践等。有求真创新的精神，便有探索的韧劲。

数学思想是建构新知、问题解决、做题解题、生活实践等的普适性思考方法，是对思考行为与方法的高度概括。如，转化的思想，即把未知转化成已知，通过已知解决未知，这个思考方法在学习平行四边形面积、人类解决能源不足问题、对百分数的理解上都能用到。例如，今年收入比去年提高10%，即去年收入与今年收入的比是10：11，把百分数转化成比。小学数学思想依据思想产生根源与适用范畴分成三类，本质性思想、认识论思想、数学内容板块具化的方法论思想。模型思想、符号化思想属于本质性数学思想；认知论有操作、数形结合、推理、转化与化归、代数、变换、整体、类比、分类讨论、枚举、假设、极限、优化、演绎推理等数学思想；函数、方程、集合、周期、概率统计等是各板块具化的方法论思想。

数学学习方法，指基于学科特性，基于学习本质规律，高质学习机制的系列学习方法。解题方法聚焦具体的解题程式，小学阶段可按思维分层，看得见、推得出、想得明三类。操作、尝试、画图、举例、枚举、代入、假设、感觉、生活经验等让数学解题更直观、看得见的方法；推理、对比、排除、正反推、公式是等较为抽象的方法，通过对信息的深度解构深究数理本质的解题方法是最抽象的方法。

幼儿启蒙教育时，家长要对方法论有系统的认识，但不可直接告知，要采取润的方式让孩子在具体的情境、学习中体悟。

（四）本体论：夯实数学发展基础

数学启蒙教育的载体与外化成果集中表现为对数学认知与知识结构的探究与掌握，是过程与结果的统一，即研究数学规律，学会相关知识，了解相关文化，体悟相关方法，学会相关应用等。数学启蒙还能让学生研究与掌握数学学科内容“原生性”的根基知识。

小学数学分成四大板块，即数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。数与代数是基础与前置知识，是数学启蒙教育的核心内容，包括“数、代数式、数量关系、数的运算”四部分，小学阶段将这些内容在每册书中呈螺旋上升安排，即按“整数、分数、小数、代数、百分数、负数”有序递升编排，数量关系按“大小比较关系、和的关系、差的关系、倍数关系、相除关系”有序呈现，数的运算按“加法、减法、乘法、除法、混合运算”渐进设计，且将其在每册中分步呈现。运算是数量关系的符号表征（如3 与2 和的关系，合起来是多少，用加法符号及运算过程来表征）。其中数的认识要注意“基数与序数、数量与分率（百分数）、正数与负数、整数与分数小数、数与字母代数、有理数与无理数”等的关系与区别，只有理解数的含义，才能理解数量关系与数的运算。启蒙阶段，在学科知识内容、学科发展基础方面，应重点关注幼儿的数感、数量关系与基本运算的表象建立，即理解数表示什么意思，关系与运算是什么意思，是怎么有序产生的。

幼儿阶段重在启蒙，不是习得系统的知识。实践操作中，要注重润化、表象、思考、表达，循序渐进、点到为止。数有两种基本含义，一是基数，二是序数。基数表示数量多少，序数表示顺序。序数是数量集合后的一种顺序表示，如第一名，第二名，第三名。生活中数量多少与对应数字组成对应关系的建立就是最初的数感，数的观念与表象建立的过程经历情境——操作——替物——图示——符号——抽象（概念）——应用的基本过程。

生活中有计数的需要，最初用石子一一对应计数，但不便捷，后来发展到结绳、记号或画圈，最后发明了用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字表示对应的数量。10个阿拉伯数字就是一种符号抽象，再进一步到概念抽象。0～9 这10 个阿拉伯数字比作英语里的基本字母，到了10，这个数量异常关键，若继续发明其他数字来表示无限的数量显然太麻烦，这个发明的过程不要直接讲解，让孩子去探索、尝试。或者与数学家达成共识，顺势引导；或者偏离，适时启发。原来到了10，数学家发明了十位，即新的计数单位“十”。数位就像更高级别的座位一样，数字0～9 坐在那里，升级了，就表示0 个10、2 个10 等。数位与计数单位之间的进率要通过形象的比喻，以及丰富的表象让学生慢慢建立。数位比作座位，计数单位比作赋予这个座位的不同权力。国王坐在皇位上，可号令天下，臣子坐在对应座位，只能执行决定，出谋划策等。个位是最低级的座位，上面的权力是数字几就表示几个1，十位比个位高一个级别，权力是数字几就表示几个10，且随着个位上臣子的功绩提升，若满10，即10 个1，就向上十位进一，变成一到十位。这样用10 就表示了10个，同样的12表示1个10和2个1，表示12，依此类推。

“数字是数的组成基础，包括0～9这10个数字；数位是数字的座位，计数单位是对应座位上数字的权力，个位上，表示几个1，十位上，表示几个10；下一数位上的数字若满10，则升级到上一数位上用数字1表示。”即把“数位、计数单位、满10 进1”这样的一套十进位值制记数法转化成学生可借助生活经验联系的形象化认知，依托不同的数及对应数量物体的反复感知，让学生真正建立清晰的表征理解。

家长只需在生活中找各种数量（先认识10以内的量）的物体，让孩子直观感受量，再一一对应画圈，用对应的数表示数量，让其慢慢体会数可以表示多物的量，一物多量用多数表示。数量关系包括大小比较、和、差、乘、除等。这些关系的内容（结果）计算产生了数的运算。启蒙一定要加强对四则运算及各运算表示含义的理解和体验。通过操作、画图、符号、表达、应用，从形象到抽象渐进过度，从理解到计算慢慢衍生，从计算到解决问题逐步推进，从数学到生活适切融入，切不可急功近利，囫囵吞枣，拔苗助长。

1.加法运算。加法是求两个数和的关系而诞生的一种运算。正确的引导方法是让孩子经历“合起来需要——合起来是多少的问题解决——合起来符号表示——加法含义”这样形象到抽象渐进的过程。例如，今天妈妈买了3 个苹果，奶奶又带来5 个，一共多少个？孩子想的办法一般是动手操作，把3 个苹果和5 个苹果合起来，数一数，妈妈可以追问，如果不合起来，你能解决吗（最近发展区不断激发孩子思维进阶）？小朋友冥思苦想，通常会想到画圈代替合起来。如果不画圈呢？用数和符号来表示，3在这里表示3个苹果，5表示5个苹果，加号表示合起来，等号表示得多少，8表示结果，孩子在经历这个过程建立丰富的表象后，便能将实际合起来的过程与加法算式符号抽象建立对应联结。小学阶段只有四则运算，解决问题难度的提升主要体现在三个方面：一是数的变化。六年级还会有加法运算的解决问题，变成了分数、小数之间的运算；二是多种运算的融合。表现为多步运算，习题设计中要利用“你想要的偏不给”的策略，需要先通过其他运算求中间条件。例如，一年级的一道解决问题：男生22人，女生20人，一共多少人。此题在三年级变化为男生22人，女生比男生少2人，班级一共多少人。求总数，先要知道女生人数，偏不给，那就先求女生人数。这样由一步变成了两步；三是情境的复杂性。一年级都是花草，六年级便是家国天下。

2.减法运算。减法是加法的逆运算，表示从总数中去掉一部分，求剩下多少。包括典型的去掉求剩下问题，求一个数比另一个数多（少）多少。例如，妈妈今天煮了10个汤圆，爸爸吃了4个，碗里剩下几个。孩子通过动手操作、画图，用10表示总数，“-”表示去掉，4表示4个，“=”表示得，6表示剩下6个。减法算式仅是一种符号表征，让学生知道“-”表示去掉，“=”表示得数是多少。学生开始只能通过“操作、画图、扳手指”等形象化的计算来理解运算，最后总结哪两个数组合得10，并背诵凑10的数对。“一九一九好朋友，二八二八手拉手，三七三七一起走……”这是形象到抽象的思维升级过程，也是“操作——图示——符号表征——理解符号含义——多法计算——口诀记忆”的过程，切不可拔苗助长，不经历探索与表征理解，直接让孩子背口诀。

3.乘法运算。乘法是几个相同加数相加的简便计算，即特殊加法的简便计算。7×3=表示3 个7 的和是多少，7 个3 的和是多少。包括典型的求几个几的问题，以及求一个数的几倍（实际上也是几个几），六年级是求一个数的几分之几。

4.除法运算。除法是乘法的逆运算。2×6=12 12÷2=（），人教版小学数学教材安排二年级上册学习除法，12÷2=（）的生活原型是共有12 个蛋糕，平均分成2 份，求每份是多少？或12 个蛋糕，每2 个为1 份，能平均分成几份？除法运算本质是表示平均分。两种分法，一是平均分成几份，求每份多少。二是每多少个为1份，能平均分成几份。如何理解除法是乘法的逆运算，可以通过实物合与分的直观例子来理解。如每盘5 个饺子，有3 盘，一共多少个？求3 个5，5×3=15（个）。反过来，一共有15 个，平均分成3 盘，每盘多少个？15÷3=5。（除法的计算基础是乘法，即用积除以其中一个因数。）

综上，四则运算之间的关系如图2。

图2 小学阶段数学四则运算关系

5.四则混合运算。二年级开始四则混合运算，四年级学习运算定律。混合运算要注意“运算顺序、运算定律、运算规范”。顺序是基础，定律是为了简算，简算是运用运算定律进行变式凑整。

数感与数的运算是小学数学四大板块内容的根基石，也是数学认知结构与知识结构的原生点，是数学学科自身发展的逻辑基础，也渗透着数学研究的方法论基本原理，是数学启蒙教育的内容载体，数学启蒙的外显结果。

价值论基于立体育人的内驱力激发与行为发起，实践观基于幼儿身心特点的行为纵向组织，方法论基于学习机制与数学学科生发机制的行为横向优化向高质学习，本体论基于学科发展的原生点而展开学习过程的认知载体与数学学习成长与否的外显结果，是学好与成长的外显指标。四者有序回应了想学、在学、会学、学好更好成长的深度学习问题，对应的价值论、实践观、方法论、本体论全生态地展露了数学学习的全生长链条。链接“趣美用价值体悟；八环有序学习习惯；精神、研究方法、数学思想、数学学法、解题方法等内隐学力；数感与数运算的原点认知结构”恰是数学学科自身发展与学生学习由内及外的生长态。数学启蒙将真正实现以生活为情境，在有序行动中润化精神、思想与方法，夯实人力基础与学科发展基础，助力学生更好成长。