强调“三重联系” 发展“四基”“四能”

王仁龙+章勤琼

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了数学教学要注意“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间联系”的“三重联系”，还提出要发展学生的“四基”与“四能”，相比实验稿课标，着重强调了数学基本思想与基本活动经验，以及提出问题和发现问题能力的重要性。在“三重联系”的观点下，在数学课堂中发展学生的“四基”与“四能”，主要可以着眼于以下三点：探究数学知识之间的联系以获得基本思想;探索数学与生活之间的联系以获得基本活动经验;探知数学与其他学科之间的联系以培养提出问题和发现问题的能力。

【关键词】三重联系;四基;四能

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）26-0018-03

【作者简介】1.王仁龙，浙江师范大学（浙江金华，321004）教育硕士，浙江泰顺教师发展中心研训员;            2.章勤琼，温州大学数学与信息科学学院（浙江温州，325035）教育学博士，南京师范大学教育科学学院博士后。

一、探究数学知识之间的联系以获得基本思想

数学知识的发生发展有着千丝万缕的关系，本着联系是客观存在的唯物主义观点，我们平时设计问题时要注重数学知识之间的联系。课堂教学要注重知识的联系性，注重知识螺旋上升的同时考虑学生的“最近发展区”，让学生在学习中经历“跳一跳”的过程。

案例一 探索最短路线问题。

引例：教材原题：（浙教版《数学》七年级下册第196页）如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？

图1 图2

这个问题联系了几个知识点：两点之间线段最短、轴对称图形性质等。为此，引导学生进行讨论，设街道上一点为P，求PA+PB最小，要进行转化，如何转化呢？就是合二为一，将两条线段转化到一条线段上去，为此想到轴对称中“轴两侧的图形关于对称轴对称”。引导学生作A（或B）关于l的对称点A（或B′），连接BA′交l于点P，P即为所求。这个问题就是著名的我国古代“将军饮马问题”。问题的求解依赖原有知识联系，将问题进行转化。

学生通过学习数学知识之间的联系，获得转化的思想后，我们将问题深入。

应用和延伸：

1.如图3，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。

将问题变式，联系上一题，引导学生找“两点一线”，不难找到E关于BD的对称点E′，连接CE′，与BD相交，得到交点Q，如图4。

图3      图4      图5

2.如图5，在河湾处M点有一个观察站，观察员要从M点出发，先到AB岸，再到CD岸然后返回M点，请画出该船应该走的最短路线。

此题增加了复杂程度，由前面的两条线段增加为三条线段，但本质没有变化。在第一题的基础上，学生容易看到问题本质，即不论是多少条线段，要求最短距离，都需要将这些线段“搬到一起”。问题设置落在学生最近发展区上，让孩子“跳一跳”就能够得着，给孩子以思考的空间，联系轴对称和两点之间线段最短等相关知识，顺利将问题转化为“合三为一”，在感受前后知识的联系中水到渠成获得转化思想。

二、探索数学与生活之间的联系以获得基本活动经验

数学来源于生活，数学学习归根结底是“数学化”的学习，即需要学会用数学的眼睛去认识世界。因此，在数学教学中，若能更多地运用数学与学生生活的联系，则可以帮助他们更好地理解数学。

案例二：婚宴上的数学。

这是一个来源于现实生活的问题，经过适当加工，可以在数学课堂教学中很好地应用。有一天在婚宴上，我们在等候客人期间，上来一盘糖果，其中有11颗大白兔奶糖，当时有人提出了一个问题，若这些大白兔奶糖全部送给你，每天至少吃一颗，请问有几种吃法？

在提出这个问题后，学生首先提出了一个一个数的方法，但很快他们就发现由于每天吃糖的颗数可以从1到11，又分别可以产生不同的组合，情况太多，用数的方法难以解决。进而教师进行引导，之所以数的难度大，是因为糖的数量太多，因此，可以将糖的数量“退”到最少，即从一颗开始。学生很快就明白可以将糖进行排列，一起吃的就连在一起，隔开吃的就分开排，具体如表1所示。

表1：不同数量糖果的不同吃法（其中“-”表示合起来一天吃掉）

通过列表，学生发现，当糖果数量是1、2、3、4时，不同的吃法分别是1、2、4、8。此时，有学生提出猜想，当糖果数量是5的时候，吃法总数应该就是16，因为规律都是“乘以2”。

至此，学生已通过观察发现了其中的规律，接下来可以进一步引导学生思考，为什么当糖果数量增加1时，吃法总数会在前面的基础上乘以2呢？  经过了长时间的探索、思考之后，学生终于发现了规律：每增加一颗糖果，都是在原来每一种吃法的基础上去加，加上的这一颗要么和最后一颗一起吃，要么分开吃，也就是说在原来吃法的基础上又可以分为两种情况，所以要乘以2。

在学生通过列表这一“操作性”的数学活动解决了这一问题后，还可以进一步引导学生思考，进行“反思性”的数学活动。之后有学生提出另一种想法，我们将11颗糖果排成一行，然后往中间插空格，11颗糖果，10个空格，每个空格可以选或不选，有两种方法，那么就有210种，这样还可以得到一般的情形，有n颗糖果，就有2n-1种不同的方法。如果对这一问题进一步深入，就可以转化成排列组合问题。因为插入的空格数目可以是0到10，那么就有C0n+C1n+C2n+…+Crn+…+C1010=210。这与之前通过列表得到的结果是一样的，不过，学生分别经历了“操作性”与“反思性”两种基本活动经验。在这个例子中，通过生活中学生熟悉的例子，引导探究操作，发展学生思维，学会抓住问题难点，获得解决问题的基本活动经验，让学生都获得了不同层次的思维锻炼。

此外，在数学课堂教学中，运用学生熟悉的生活情境，有利于教学活动的开展。譬如，在教学三角形时，如果考虑学生的生活经验与兴趣点，准备意大利面，让孩子将面条折成三段，然后构造出三角形。这个活动易操作，且符合学生的生活经验，就可以更好地调动学生的主动性。而在折面条的过程中，部分学生因为没有考虑三边关系，没法构造出三角形。学生自己在课堂上操作，产生冲突，主动思考原因，最后自然地给出了三角形的定义以及三边长度的关系。

三、探知数学与其他学科之间的联系以培养提出问题和发现问题的能力

发掘学科之间的关联，能经常带给学生新鲜感，数学作为科学研究的工具，我们要注重培养学生建立数学有用的意识。注重联系数学与其他学科的教学设计，不断引导学生提出问题、发现问题，常能得到意想不到的效果。

案例三：物理运动下的图形问题。

图6是一个街区的平面图。如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BA匀速向点A运动，设它运动的时间为t秒，你能提出什么问题？

学生设计了如下一些问题：

问题一：连接P、D点，t为何值时，△PDB是等腰三角形？

问题二：以点P为圆心、BP为半径画圆，t为何值时，⊙P与AD相切？

问题三：t为何值时，S△PDB=S△ABC？

在学生小组合作快速解决以上问题后，教师在第一题一个动点的基础上增加一个动点，不断补充条件，不断加深难度，引导学生循序渐进地对动点问题进行探讨。

变式一：如图7，另一动点Q同时以1cm/s的速度从点C出发，沿DB匀速向点B运动，过点Q作QF⊥BC交AC于点F，连接PF、PQ，其中一个动点到达端点时，另一动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒。

在条件增加的情况下，再让学生提问题，学生提出如下问题。

问题四：点t为何值时，S△PDQ最大？

问题五：点t为何值时，△PFQ为直角三角形？

以上基于物理学科物体匀速直线运动的背景，根据路程、速度和时间关系探究动点问题，有效整合学科间联系，将问题设置成开放题，在培养学生解决问题和分析问题的能力的前提下，很好地为学生搭建了提出问题和发现问题的平台，培养学生的创新精神。

在数学教学中，若能注意数学与其他学科的联系，还能培养学生提出问题和发现问题的能力。譬如，讲到《黄金分割》这个章节时，教师展示了美术作品《蒙娜丽莎的微笑》，蒙娜丽莎脸上的微笑神秘莫测且令人倾倒，蒙娜丽莎之所以给人以美的感受，是很好地运用了“黄金分割”定律。因为画中很多地方都隐含了“黄金分割”：脸部长宽比例是0.618，眼睛到额头与到下巴也是这个比例等。而且，很多植物两片叶子所成的夹角是137°28'，这个夹角把圆周分成1：0.618的两个角，据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。由于巧妙运用这一发现，美国少年艾丹·德怀尔被授予2011年度“年轻自然学家奖”。这样的关联，让学生体验到在大自然与其他学科中，数学的身影无处不在。

此外，还可以通过各种丰富多彩的方式来进行数学教学，譬如，可以利用剪纸折纸来教学三角形以及角平分线等基本线的概念与特征，以及彼此之间的联系。在这样的教学过程中，学生不仅用数学的眼睛看到了美术作品与大自然中独特的美，更重要的是，通过学科之间的联系，在设计中注重“问题意识”的培养，课堂中要时刻注意给学生“发现问题”的机会，如用开放题给孩子机会，多问“为什么？”“你是怎么想的？”“还有其他想法吗？”学生的问题意识增强了，学习效率就会提高，思维品质也就逐步完善。这也是学生创新精神培养和能力提升的基础。

对于基础知识与基本技能的落实是我国数学教育的特点，而传统数学课堂教学的设计主要是注重学生分析问题和解决问题能力的培养，在教学中往往对数学基本思想与基本活动经验不够重视，忽视了学生提出问题与发现问题能力的培养。这种教学虽然扎实，却有所缺失，不利于学生创新精神的养成。在“三重联系”的观点下，在数学教学中若能够加强数学与前后知识、与学生生活以及与其他学科的联系，则有利于学生数学思想数学活动经验的获得，并能更好地给他们创建平台，培养提出问题、发现问题的意识与能力。

【参考文献】

[1]郑毓信.数学课程标准（2011）的“另类解读” [J].数学教育学报，2013，（01）.

[2]徐文彬.如何认识《义务教育数学课程标准》中的三重联系[J].江苏教育：小学教学，2013（02）.

[3]徐文彬.基于“三重联系”的课堂教学设计——以《一元二次方程》单元复习为例[J].江苏教育：中学教学，2013（05）.

[4]方岩.从“双基”到“四基”，从“两能”到“四能”[J].教学月刊：中学版，2012（09）.