带跳混合高斯模型下的交换期权定价

涂晓玲

(南京财经大学 应用数学学院, 江苏 南京 210023)

0 引言

交换期权是一种奇异期权,期权持有者有权在到期日T时以一种资产换取另一种资产,交换期权在本质上是一种合约,在基金、国际贸易等领域有着广泛应用.通过对经典的Black-Scholes定价模型[1]的研究,很多学者发现金融资产价格通常具有“尖峰厚尾”、长相依性和自相似性等特征.为了更好地刻画标的资产的这些特征,很多学者开始考虑用分数布朗运动[2]和次分数布朗运动[3]等修正的几何布朗运动来描述标的资产价格的变化行为.次分数布朗运动的性质类似于分数布朗运动,但是其收敛速度比分数布朗运动更快,它简化了期权定价问题.杨月等人[4]研究了带跳次分数布朗运动中亚式期权的定价,将跳-扩散过程引入到次分数布朗运动中,得到了几何亚式期权在次分数跳-扩散模型下的定价公式.郭精军等人[5]介绍了亚式期权幂在混合高斯和带跳模型下的定价公式,运用风险中性原理和自融资的理论得到了在带跳混合高斯模型下几何亚式幂期权的定价公式.徐峰等人[6]研究了混合次分数布朗运动中交换期权的定价,通过偏微分方程的方法和随机分析的理论,建立了金融市场模型,得到了交换期权在混合次分数布朗运动中的定价公式.为了体现金融资产的长记忆性,本文用混合高斯模型来刻画金融资产的价格,考虑到股票等金融资产价格有时会出现“跳跃”等异常波动,所以将泊松过程加入到期权定价模型,即运用带跳混合高斯模型描述标的资产价格过程,得到了带跳混合高斯模型下交换期权满足的Black-Scholes偏微分方程,求解该公式后,给出了交换期权的定价公式.

1 预备知识

下面介绍混合高斯模型及其基本性质、无风险资产和风险资产的价格公式.

定义1 假设(Ω,F,Ρ)是一个完备的概率空间,则可用Wt来表示混合高斯模型

Wt=Wt(a,b)=mBH(t)+nB(t),∀t≥0.

其中m,n是常数,H是Hurst指数,H∈(0,1).BH(t)为次分数布朗运动,B(t)为标准布朗运动且BH(t),B(t)相互独立.

混合高斯模型Wt,∀t≥0具有以下性质[5]

1)Wt是一个中心高斯过程;

2) 当t=0时,W0=mBH(0)+nB(0)=0;

3) ∀s∈R+,∀t∈R+,Wt与Ws的协方差函数是

下面给出无风险资产和有风险资产的价格公式.

定义2 假设金融市场里有三种证券,一种是无风险资产,比如债券,其价格满足

(1)

另外两种是有风险的资产,比如股票,第i种风险资产价格满足

dSi(t)=μiSi(t)dt+σiSi(t)(midBH(t)+nidB(t)+dQt)

(2)

在式(1)和式(2)中,r,ui,σi,mi,ni(i=1,2)是常数,B(t)是布朗运动,BH(t)是次分数布朗运动,Qt=Nt-λt表示补偿泊松过程,用Nt表示强度是λ的泊松过程,并且BH(t),B(t),Nt相互独立.

2 带跳混合高斯模型下交换期权的定价模型

定理1 假设Xt=Wt+Qt为带跳混合高斯过程,Wt=mBH(t)+nB(t),f(t,x)具有连续的一阶偏导和二阶偏导,则有

(3)

在[0,t)内,当f跳跃的次数服从泊松过程时,考虑所有的跳跃次数,则有

(4)

又因为Xt=mBH(t)+nB(t)+Nt-λt,那么

(5)

将式(5)带入式(4)的表达式中,得到

证毕.

根据定理1，可以得到以下推论.

推论1 随机微分方程(2)的解是

证明下面,对S1(t)进行证明,S2(t)可以类似得到.

则dS1(t)=d(f,m1BH(t)+n1B(t)+Q1),再结合定理1可以证得结论成立.

定理2 假设用F(.,.,.)∈C1,2,1(R+×R×R→R)表示未定权益的价值过程,设F=F(t,S1(t),S2(t)),则带跳混合高斯模型下的Black-Scholes偏微分方程是

证明

(6)

由定理1和推论1,可以得到.

由式(1)和式(2)，可得

dF(t)=(θt0rC(t)+θt1μ1S1+θt2μ2S2)dt+θt1S1σ1(m1dBH(t)+n1dB(t)+dQ1) +

θt2S2σ2(m2dBH(t)+n2dB(t)+dQ2)

(7)

比较式(5)和式(6)得

(8)

(9)

根据式(7)和式(8),即

化简后可以得到定理2的表达式,从而定理2得证.

3 求解模型

交换期权可以被视为在T时刻到期的未定权益F=[S2(T)-S1(T)]+,下面，给出带跳混合高斯模型下交换期权定价公式.

定理3 假设股票的价格满足式(2),那么交换期权U(t,S1,S2)在到期日为T,任意时刻t的价格为

U(t,S1,S2)=S2Φ(d2)-S1Φ(d1),

其中

证明由定理2可知,交换期权U(t,S1,S2)满足下列偏微分方程

(10)

初始条件为

U(t,S1,S2)=[S2(T)-S1(T)]+,

采用下列变量替换,令

则有

将上面的变换代入到式(10)中,整理得

(11)

(12)

再使用变量替换,令

V(Y,t)=v(η,τ),η=x+α(t),τ=ω(t).

则可以得到

将上面的变换代入式(12)中，得

(13)

假设

则有

则可得

ω(t)=-α(t).

且式(13)可化简为

(14)

式(14)中边界条件为

v(η,0)=(eη-1)+.

由热传导方程的经典解理论可知,上述方程(14)存在唯一的强解

通过进一步的计算,可以得到

(15)

将η=x+α(t),τ=ω(t)代入式(15)中,得到

U(t,S1,S2)=S2Φ(d2)-S1Φ(d1).

其中

定理3得证.

推论2 当未定权益F=[S1(T)-S2(T)]+,则可以推得交换期权U(t,S1,S2)在到期日为T,任意时刻t的价格为

U(t,S1,S2)=S1Φ(d2)-S2Φ(d1),

其中

注1 当Xt=mBH(t)+nB(t)时,定理3的结果即是文[6]中定理4的结果.

注2 当Xt=mBH(t)+nB(t)+N(t)-λt中的m=1,n=0时,定理3和推论2的结果即是文[7]中定理2和推论1的结果.

4 结论

本文采用带跳混合高斯模型来刻画股票价格的变化,研究了带跳混合高斯模型下交换期权定价模型,利用变量替换法求解了偏微分方程,得到了该方程的显式解,也就是在该模型下交换期权的定价公式.文中的模型也可以用于其他期权的研究,如重置期权、利差期权等.