模型构建直观突破，解读反思思维提升——以一道中考几何题为例

曾伟强

（深圳市海湾中学 广东·深圳 518000）

0 引言

《数学课程标准》强调，要求学生结合实际情况寻找数学问题，再根据数学问题建立数学模型，让学生产生模型思想意识，利用系统性的教学提高学生的应用和解决问题的水平。笔者以一道中考几何试题的课堂教学，让学生体验“问题情境—数学模型—验证、使用、延伸”整体学习环节，引导学生加入到解决问题的行列当中，体验解决数学模型的发展过程，形成模型思维，并运用模型提高解决问题的能力，同时体验考试的价值和意义。数学教师应善于分析和研究历届中考试题，对典型问题进行分析寻找富有代表性的模型，适当的进行相应的扩展和演化，引导学生充分探索，研究问题根因，鼓励学生借助自身能力收集和组织信息，进行全面、深入、多角度地思考“如何解决问题，如何学会解决问题”的各个过程，从而提高学生解决问题的能力。在下文中，笔者以一道2020年广东省深圳市中考数学试题为例，主要针对如何建立模型，如何快速提高学生的问题解决能力进行简单的探索。

1 考题呈现

考题（2014威海）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过 A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点。

图1

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数。

2 构建基本模型，感悟解题方法

第一步：仔细审题，了解问题。

了解问题需要理解问题，包括理解已知的数是什么？未知的数是什么？已知的条件是什么？未知的条件是什么？教师在讲解问题的应用性时，应提倡学生多次阅读问题，尽可能把条件的各个部分分别写下来，并能用自己的语言描述题目。比如上面的问题，在组织学生仔细审题之后，学生应该能够完全准确地找到每个问题所对应的内容，经过认真分析后，学生需要初步完成从实际问题到纯数学问题的转变。

考点：二次函数综合题，这一题着重考查学生利用待定系数法对一次函数和二次函数解析式的应用情况，相似三角形的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用等，在解决问题时能够最终得出函数解析式的答案才是重点。

第二步：问题总体分析，制定计划方案。

从认识问题到构思方案再到解决问题，对于大部分学生来说是一个漫长而曲折的过程，因为即使学生理解和认识到了问题，仍然会出现无法找到问题解决突破口的现象。大多数好的想法来自过去的经验和以前的知识，因此引导学生思考：你知道一个与它相关的问题吗？这种相关性不一定是一个问题或题目，还可以是相关的知识，曾经求解过的与当前题目显然相关的内容。当学生回忆起类似的内容，确定大致方向后，回归本题拟定解题计划。

（1）首先，运用待定系数法对解析式进行求解，解决第一问较容易。本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；

（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形，由相似关系求出点E的坐标；

（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，由BC∥AD设BC的解析式为y=kx+b，设AD的解析式为y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出D坐标，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行线的性质就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四边形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出结论。

第三步：实行计划，完成解答。

第四步：总结和反思。

本文是通过精心挑选的一个中考数学题展开的，一系列问题得到解决有利于指引学生创建数学模型，掌握模型的特点，或者让学生在解决问题以后形成相关的模型意识，并反思解决问题的方法。学习最重要的渠道就是自己去发现。解决数学问题需要学生做出一种创造性行为，教师无法把所有的问题全都告知学生，但他们可以引导学生通过学习有限的问题来形成解决无限问题的数学思维。课堂上的任何问题都是可以在数学解题过程中被完全解决的，在解题过程中，教师要引导学生回顾自己的解题活动并进行讨论，并且进行深入的分析和探讨，这点非常关键，这是数学问题解决过程的最后一个阶段，也是增强学生分析和解决问题能力最重要的一个环节。

3 形成模型思想，提升解题能力

运用以上试题可以让学生把常量模型放在不断变化的题目中，引导学生利用迁移类比的方式，形成模型思想，学会举一反三，利用模型的本质特点，找到规律，摆脱题海战术之苦。在教学中，教师需要培养学生灵活解题的能力，深入理解问题的解决方式，灵活的对问题进行解决，增强处理问题的能力。假如学生拥有这种模型意识，他们就可以从一个例子中得出结论，实现思维的升华。因此，教师一定要结合典型模型，对解决问题的方式进行创新，对学生的思维进行启发，努力引导学生形成创新意识，进一步增强学生的数学能力。

4 数学思考

近年来在中考中有很多新定义问题，包含代数概念、变换规律等，新定义的出现也明确了中考今后的命题方向，让中考教学拥有了明确的参照，结合问题分析，引导学生思维，是考试问题的价值所在，以下是教学思考：

4.1 强化阅读理解

数学的新定义是这类考试题型最突出的特点。一般定义涵盖了很多书面信息和重要的数学符号，利用描述的方法对数学下定义。在寻求解题方法时不应急于思考怎么写解题过程，而应对题目进行文字提炼，并转化为自己可以理解的简单的数学语言，之后创建研究需要用到的数学模型，通过详细分析题目内容寻找其有价值的信息。在这个过程中，会涉及语言的转换、内容的深度挖掘以及模型的构建这三个步骤。因此，在数学教学中，要加强学生的概念理解能力和语言转换能力，引导学生将数学建模与数学形态和组合思维相结合，促进学生数学阅读能力的提高。

4.2 形成分析策略

本文分析的中考题是典型的新几何定义试题，解决过程采用分类讨论的思想将不确定的问题具体化，然后采用构造思想来建立问题研究模型，并采用数形结合来分析和解决问题。尤其是第三个问题的求解分别采用了不同的构造方法，获得了求解问题的关键条件。正是由于图形的模型构造使问题的思维过程更加简单，而这种解题方法是研究几何问题的基本对策。在教学的过程中既需要让学生了解最基础的数学知识，又需要教授学生解题思路，引导学生对问题进行深入分析，在今后遇到相似问题时有能力进行解决，形成自我解决意识，获得问题解决思维。

5 结语

所有解决问题都有相应的规律，每种问题的解题思路存在很多共同之处，想要集中展现出这一思想就需要创建模型。模型有形式、神似和融合的区别，难度由浅入深，它可以通过多次总结、多次应用和深入思考，掌握不同模型的解题思路和方式，之后结合模型特征参照图形特征寻找具体的解题思路和方法。因此，在教学中，教师要通过一题多解、让学生了解不同模型的关系，这样可以增强学生对同类模型的理解，提高几何学习和应用的效率。