基于HPM视角的中职数学教材的编写

覃 淋

（巴中职业技术学院，四川 巴中 636000）

一、引言

自第二届国际数学教育大会（ICME-2）上成立HPM 研究小组以来，数学史的重要价值日益受到广大数学教育工作者与一线数学教师的关注，其重要的教育价值已得到理论与实践两个层面的普遍认同。现阶段，HPM 研究主要包括以下方面[1]10-12：关于“为何”研究；“如何”研究；基于历史相似性的实证研究；教育取向的数学史研究；HPM视角下的数学教学设计与教材编写；HPM 与数学教师的专业发展；HPM 研究的方法论的研究。随着HPM 研究的深入，其研究范围在不断拓展，HPM 与技术、HPM 与STEAM 教育、HPM 与数学核心素养等课题也引起了不少学者的关注。其中的HPM 视角下的教材编写，是一项富有挑战又极有意义的课题。

《中等职业学校数学课程标准》在“教材编写要求”中指出：“教材是落实立德树人根本任务的有效载体，教材编写应突出数学的育人功能，体现数学的文化价值，渗透爱国主义思想和大国工匠精神．要合理呈现数学的思想、知识、方法、观点、语言以及它们的形成和发展过程，通俗易懂，图文并茂，要注意渗透数学文化与批判质疑的科学精神[2]。”将数学史融入数学教材，可更好地发挥数学史的育人功能，帮助学生形成正确的数学观，落实立德树人根本任务，培育学生的科学精神和创新意识，提升学生的数学学科核心素养。

HPM 视角下的数学教学在历史与现实、数学与人文、数学与科学之间搭起了三座桥梁。研究表明：数学史具有知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效等多元的教育、文化以及科学价值。基于HPM 视角编写的数学教材，为一线教师提供了能在教学中直接使用的数学史素材，可以改变教师教学过程中数学史适用的“无米之炊”之现状[1]11。传统数学教材大都以学术形态来呈现数学知识，把数学家创造数学的“火热的思考”的过程湮没，教材中给学生呈现的是完美而冰冷的结果。数学史将数学的原始形态和学术形态转化为学生容易接受的教育形态，降低了学生数学学习的外在认知负荷。虽有学者讨论过如何将数学史融入教材[3]，但仅从宏观上进行了讨论。也有学者讨论了中小学数学教材中数学史的融入情况[4-6]，对中职数学教材中数学史的融入和基于HPM 视角的中职数学教材编写，未见学者进行研究。本文以“等比数列的前n项和的公式”为例，探讨HPM 视角下中职数学教材的编写。

二、视角下数学教材编写的理论基础

早期学者已非常深入地讨论了数学史的教育价值和文化价值。如萧文强认为数学史有使数学易于亲近和增进学生对数学的理解，渗透多元文化等教育价值[7]。弗维尔列举了激发学习动机、改变数学观和展现数学人文的一面，帮助学生理解数学概念，为学生提供探究机会等15 条运用数学史于数学教学的理由[8]。这些价值涉及范围包含了学生、教师、课堂、文化、科学以及社会等层面。

弗赖登塔尔在第四届国际数学教育大会（ICME-4）上的报告《Major problems of mathematics education》中指出：“从某种意义上说，年轻人应该重复历史，尽管不是实际发生的历史，而是如果我们的祖先知道我们今天有幸知道的事情，将会发生的历史[9]。”这表明，需要也应将数学史融入教材，但不是原原本本地照搬历史，应是对历史进行加工，以适合当今学生学习。基于HPM 视角的数学教材的编写有两个理论基础，即历史发生原理和再创造理论。

（一）历史发生原理

1859年，生物学家达尔文发表了《物种起源》，一些学者据此提出了“个体发展重演种族发展史”的观点，这一观点被运用到心理学领域：“个体知识的发生发展也要遵循人类知识的发生发展过程[10]”。此后，越来越多的数学家支持“儿童的数学学习过程与数学历史的发展过程相似”的观点。法国数学家庞加莱认为：“教育工作者的任务是让孩子的思维经历其祖先的经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段[11]。”史密斯认为：“困扰世界的东西也会以相似方式困扰儿童，儿童在其发展过程中会以类似的方式来克服类似的困难[12]。”F.克莱因指出：“生物发生学的一项基本定律指出，个体的成长要经历种族成长的所有阶段，顺序相同，只是所经历的时间缩短；而教授数学和其他任何事情一样，至少在一般意义上要遵循这项定律，教学应将其引向更高级事物，遵循人类从知识的原始状态到更高级形式的道路[13]269。”波利亚指出：“在教一门学科分支时，应让儿童重演人类心理演进的重大步骤。当然，不应该让他们重复过去一千零一个错误，只是重复重大步骤……只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，才能对孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断[14]。”弗赖登塔尔强调：“年轻人的学习应重蹈人类的学习过程，尽管方式变了[15]。”

显然，这些只是经验上的论述。从20 世纪80年代开始，许多学者进行了实证研究，对该原理进行了验证。这些研究内容几乎包含了从小学到高中各个领域的知识。实证研究表明：学生对数学知识的理解过程与数学知识的历史发展顺序是一致的；学生数学学习遭遇的困难与历史上数学家们所遭遇的困难是非常相似的；学生处理困难的方式与历史上数学家们处理问题的方式也是相似的[16-18]。由此可见，“个体对数学知识的理解过程遵循数学知识的历史发展顺序”[1]11，考虑数学学科特点、学生的心理认知结构、数学知识的历史发展以及学生已有的数学认知结构而编写的教材，就可以有效克服学生在数学学习中遇到的困难。

（二）再创造理论

再创造理论是荷兰数学教育家弗赖登塔尔提出的。弗赖登塔尔认为学一个活动的最好方法是做[19]103，数学是作为人类的一种创造性活动而存在的。对数学而言，弗赖登塔尔认为存在“现成的数学”和“作为活动的数学”两种数学。现成的数学是将数学作为现成的产品来分析，“没有人能够理解现成的作品，现成的数学是一串定理的排列，是一个死的体系，其中所有的句子都是命题，没有形成问题和课题的语言[19]107。”现行大多数教材就以“现成的数学”的面貌呈现在学生面前，忽略了这些数学知识产生及发展过程。实际上，所有的数学知识在最初出现时，都是“草创的形式”，经过了长期发展，才变成了大家熟悉的系统化的形式[13]269。

弗赖登塔尔指出：“面对现成的数学，学生唯一能做的就是复制。这不可能包含真的数学，留作问题的只是一种模仿的数学[19]109。”通过“复制”得到的数学知识并没有被真正掌握，更不用说灵活运用，这不仅仅影响学生的数学学习，还会导致学生厌恶数学，形成错误的数学观。作为活动而存在的数学真实展示了数学家们发明和创造数学的过程，既包含数学家取得的成就，也包含数学家在这个过程中所经历的挫折和所犯的错误。弗赖登塔尔认为，对于学生，“应该把他们和数学家同样看待，让他们拥有同样的权利[19]109-110”，即通过再创造来学习数学，这是学习数学的唯一正确的方法。

基于HPM 视角编写的教材，通过选取合适的历史素材，向学生展示数学概念的起源与发展及数学家创造数学知识的过程，并为学生提供探究的机会，将学生与数学家同等看待，让学生将知识再创造出来。当然这种创造是主观意义上的创造，是从学生的观点来看是创造。即让学生在教师引导和帮助下再现数学家创造数学的过程，将数学知识再创造出来。学生自己发现或创造的知识会在脑海里留下印迹，对后续学习也会有极大的益处。

三、HPM 视角下中职数学教材的编写

（一）已有中职数学教材分析

首先，对使用范围较广的中职数学教材作一个简要的分析[20]，教材在介绍“等比数列前n项公式”时，教材用国际象棋故事作为引入，然后提出问题：“大臣所要求的麦粒数是多少？”接着开始讲解新知识，给出等比数列前n项和公式的一般形式，在公式推导过程中用了“错位相减法”。但这种推导方法对于学生而言，并不容易理解，尤其是推导过程中两边同时乘以q这一关键步骤。为什么要乘以q，教材中没有做好铺垫，许多学生无法理解；推导结束后，给出两个例题，例题后给了两个练习题。至此，内容结束。不难发现，教材的处理方式是典型的“教学法的颠倒”，即不是按照数学知识的历史发展顺序来叙述的，而是把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，去把其他内容推导出来。

很多教材在引入这一内容时，都是用国际象棋的故事，如人教A 版、人教B 版和湘教版。用这一故事引入的好处在于既可以对前面的等比数列的概念及通项公式进行复习，又可设置问题引入新的内容——等比数列的前n项和。但在处理乘以q这一关键步骤时，未能处理好。

实际上，早在4 000 多年前的两河流域就已经出现了等比数列求和问题，古埃及兰德纸草书中也有许多等比数列求和问题。而“错位相减法”是欧拉于1774年在《代数学基础》给出的[21]167，两河流域和古埃及的人们不知道错位相减法。下面基于HPM 的视角探讨这一内容的编写。

（二）如何将数学史融入数学教材

将数学史融入数学教材大致需要以下几个步骤：确定课题；了解该主题的历史发展；确定该主题历史发展的关键步骤；对史料进行筛选；对选择的史料进行改编和重构；融历史于教材。结合已有研究，将数学史融入数学教材有以下几种方式：附加式、复制式、顺应式和重构式。以附加式融入的史料独立于教材内容，用于激发学习兴趣，对学生理解数学知识作用不大，但可以培养学生对数学积极的情感态度。

（三）基于HPM 视角的中职数学教材的编写

基于HPM 视角编写的中职数学教材中设置了课题引入、新知探究、知识巩固、练习、阅读与思考五个环节：

1.课题引入

以国际象棋作为引例（文字右边以图片呈现国际象棋），在引例后面设计一系列由浅入深的问题引导学生思考。在该环节，主要复习前面学习的等比数列相关内容。在这段文字的旁边，以旁白的形式向学生介绍等比数列求和问题的历史，等比数列求和问题有着非常丰富的历史资源。古巴比伦泥板与古埃及纸草书中有很多等比数列求和的问题，公元前3 000 多年前的泥板AO 6484 就有等比数列求和问题，古巴比伦人已经总结出等比数列1, 2, 22, …, 29的求和公式1+ 2+ 22+…+ 29=29+29-1，但他们是如何得出这一公式的，不得而知。尚不清楚他们是否已经知道了一般等比数列的求和公式。

2.新知探究

根据已学的知识可知，格子里放置的麦粒构成了一个首项为1，公比为2 的等比数列。棋盘共有64 个格子，那么棋盘上最后一格应该放置多少粒麦子？很容易知道这个等比数列的通项公式是2n-1，可推算出第64 格的麦子数为263粒。现在建立了一个等比数列的模型，那么国王是否能兑现他的承诺呢？

第一眼看到这个问题时，大多数学生可能会和国王想法一样，认为大臣的要求很容易满足。但数学不能全凭感觉，应该对64 格子总共的麦粒数进行严谨地计算。也就是说，要求

这个式子的和。那么该怎样去求这个式子的和呢？

先看一看古人是如何解决这一类问题的。发掘于幼发拉底河畔Mari 的泥板M7857（古巴比伦时期）上，有一个等比数列问题，如图1 所示。

图1 兰德纸草书问题79

图1 是古埃及《兰德纸草书》中的问题79。这是一个等比数列求和问题：一座庄园里有7 幢房子，每幢房子里有7 只猫，每只猫要吃7 只老鼠，每只老鼠要吃7 颗麦穗，每颗麦穗能产生7 赫卡特粮食。问庄园里共有多少东西？（赫卡特为古埃及计量单位）相当于一个求首项为7，公比为7 的等比数列的前5 项的和。下面是古埃及人的方法，用现代数学符号表示为：

由此可知，古埃及人已经知道等比数列7, 72, 73, … ,7n的前n项和Sn与前n-1 项和Sn-1之间的递推关系Sn=7×(1+Sn-1)=7+7Sn-1。对于一般等比数列，前n项和Sn与前n-1 项和Sn-1同样具有这样的递推关系：Sn=a1+qSn-1（推导过程由学生完成）。

那么，由Sn=a1+qSn-1，有Sn=a1+q(Sn-an)，整理，得到：

因为an=a1qn-1，得到公式另一种形式(q≠1) 。当q=1 时，数列的每一项都一样，所以Sn=na1。这里的推导过程稍显麻烦，可以将上述方法改进。因为

a1+a2+a3+a4+ ··· +an+an+1=a1+q(a1+a2+a3+ ··· +an)，

由此得到

Sn+a1qn=a1+qSn

整理得

这里，得到了当公比q≠1 时等比数列前n项和的公式。

公元9 世纪，印度数学家马哈维拉（Mahavira，800-870）在《计算方法纲要》中给出了等比数列的求和公式，其思路和古埃及人的思路是一样的[22]。在古埃及人思路的基础上，18 世纪初法国数学家拉克罗瓦（Lacroix，1765—1843）在《代数学基础》（1804）中给出了一种新的推导方法——掐头去尾法[23]。对式子Sn=a1+a2+a3+a4+ … +an-1+an稍作变形，得到

Sn-a1=a2+a3+ ··· +an=q(a1+a2+a3+ ··· +an-1)

另一方面，

Sn-an=a1+a2+a3+ ··· +an-1

所以，

Sn-a1=q(Sn-an)

整理可以得到公式。

除了这些方法外，欧拉也给出了一种推导方法。对于一般等比数列{ }

an的前n项和

应该怎样去求呢？

对于（2）式，根据等比数列的通项公式，可以将它变为

仔细观察（3）式，它的第2 项到第n项与（2）式的前n-1 项，相差一个q；若在（2）式的两边同时乘以一个q，得到

（3）式-（4）式可得

Sn-qSn=a1-anq

当q≠1 时，就得到了等比数列{an} 的前n项和公式

这个方法被称为错位相减法，本质上是利用方程思想，通过等式两边乘上公比q，使得等式产生了“错位”。这个方法最早是欧拉给出的，但欧拉不是直接推导出公式，而是通过观察一系列特殊的等比数列：1, 2, 22, ·· ·, 2n; 1, 3, 32,…,3n; 1, 4, 42, …, 4n；最后通过类比归纳的方式得到a,aq,aq2, …,aqn-1的和[21]167。

回看前面提出的问题，直接用公式求得S64=264-1。如果按每万颗麦粒400 g 计算的话，这么多麦粒质量可达7 000 亿t。因此，国王肯定无法兑现他的承诺了。

3.例题讲解

例1：某国王征兵，规定第一个村子征兵1 人，第二个村子征兵2 人，第三个村子征兵4 人，第四个村子征兵8 人，以此类推，直到第三十个村子，问共征兵多少人？（阿尔昆《敏锐青年之命题》）

由题意可知，这是一个首项为1，公比为2 的等比数列，现在要求S30，直接利用公式求解即可。

例2：七兄弟分财产，最小的得2，后一个比前一个多1/6，问所分财产共有多少？

由题意可知，这是一个首项为2，公比为7/6、项数为7 的等比数列，直接利用公式求解即可。

例3：远望巍巍塔7 层，红灯点点倍加增．共灯381，请问尖头灯几盏？（《算法统宗》）

由题意可知，这是一个已知项数为7，公比为2，和为381 的等比数列，现在要求首项的值。

设计意图：这里一共设置了3 个例题，例1 和引例类似；例2 是古巴比伦泥版MS1844 分遗产问题；例3 选自明代数学家程大位的《算法统宗》，是对求和公式的逆用，相比前2 个例题，难度有所加大，但可以训练学生思维的灵活性，加深对公式的理解。

4.练习巩固

题目1：今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．问共几何？（《孙子算经》）

题目2：在《庄子·天下篇》中，惠施有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的论述，请同学们运用所学的知识对此进行解释。

5.阅读与思考

除这些方法外，希腊人有不同的推导方法．把欧几里得《几何原本》中的推导方法作为选学材料，以“阅读与思考”的形式置于正文之后，供学有余力的学生学习。

欧几里得在《几何原本》第9 卷命题35 给出了等比数列求和公式新的推导方法[24]：假设{an} 为等比数列，各项分别为a1,a2,a3, …,an,an+1，公比为q(≠1)，那么根据

得到

利用等比定理，有

整理，得

对于这一推导方法，询问学生能否对它进行改进，引发学生进一步的探索与思考。

四、讨论

现在的教材的编写打破了以往“一纲一本”的局面，但何种教材才适合学生学习呢？不同学生的数学知识结构不尽相同。中学数学讨论的对象有许多比较抽象的概念，这些数学概念和公式，对于中职学生而言，有一定难度。如果将影响学生数学学习的因素分为内部因素和外部因素两大类，那教材无疑是重要的外部影响因素。好的数学教材应该具备较强的可读性、趣味性和深入浅出，既有利于学生自主学习，又便于教师把握数学知识本质和知识结构，为教师创造性的使用教材提供有力条件。

教材的编写，尤其是数学教材的编写历来就是一件比较困难的事，关系到千千万万的学生和家庭，稍有不慎，便会造成极大的影响，美国“新数学运动”就是前车之鉴[25]。对中职学生而言，数学本身是一门比较难且枯燥的科目。因此，中职数学教材的编写更要注意揭示数学知识的发生发展的过程，将数学家创造数学过程中的斗争、挫折以及如何在迷雾中摸索前进的过程展示出来，让学生在获得心理安慰时，增强他们学好数学的勇气。另外，数学史也是教师在教学中进行数学学科德育的重要载体，其重要的德育价值亟待挖掘。

在考虑中职学生的认知规律的同时，也要注意体现数学知识的逻辑体系。在将数学史融入教材时，既要考虑数学史的“工具”功能，还要考虑“数学史”的目标功能，数学的历史本身也是数学的一部分，数学在不同时代、不同地区的演变也是数学学习的一个目标。

“探究之乐”是数学史具有的教育价值之一，数学史为学生提供了探究的机会，让学生在教师的引导下经历“火热的思考”，变成“数学家”，把数学“再创造”出来。实际上，在公式的推导过程中，也为学生提供了探究的机会，要求学生对历史上数学家的推导方法进行改进，在教学中作过这样的尝试，有多名学生对欧几里得的推导方法进行了改进。下面是其中一种。因为，根据等比定理，有，从而，整理可得。学生在这样的学习过程中，既拓宽了视野，又体会了再创造数学的喜悦。

总之，基于HPM 视角编写的中职数学教材，结合了学生已有知识经验和数学知识的历史顺序来呈现知识，把数学家创造数学的过程经过改编和重构重现在学生的面前。这样编写的教材兼顾历史（数学的发展历程）、逻辑（数学科学的特征）、心理（学生认知结构）顺序与学生已有数学知识结构，能激发学生有意义学习的心向①，更符合学生的学习规律和认知规律。

历史提供了了解和预测学生数学学习过程中可能遇到的障碍借鉴。了解数学历史，有助于深刻理解数学课程标准和更好选择教学材料。数学知识的历史揭示了数学知识的来龙去脉，在数学知识的产生和发展历程中蕴含着丰富的教育和文化资源，数学史具有的重要教育价值和文化价值亟待挖掘。如何将数学史与数学知识有机融合，是数学史融入教材的难点。勿容置疑，关于HPM各个方面的研究正如火如荼进行着，而基于HPM视角下数学教材的编写的研究较少，本文只作了一个初步尝试，抛砖引玉，希望能有更多的研究者关注这一研究领域。

［注释］

① 有意义学习心向”是教育学中的一个名词，出自奥苏贝尔的“有意义学习理论”，有意义学习心向是有意义学习的前提条件之一，是指学习者积极地将要学习的新材料与自己认知结构中原有的有关观念进行实质性和非人为性联系的一种倾向性.