初中数学竞赛中的图形旋转变换问题研究

摘 要：进入初中以后，初中生需对图形基础知识有进一步的认识，掌握圆形、三角形、长方形及正方形等基本图形知识。学生只有对图形产生基础且牢固的认知后，才能更好地理解图形变换问题，才能更好地应对初中竞赛中涉及的图形变换问题。文章以竞赛为切入点，以初中数学竞赛中的图形旋转变换问题为研究内容，展开深层次的讨论和探索，力求为一线教师带来一定的教学启示。

关键词：初中数学;竞赛;图形;旋转变换

中图分类号：G427                                文献标识码：A                                       文章编号：2095-9192（2022）15-0043-03

引  言

数学竞赛是提升学生综合素质的一个重要平台，竞赛必然是对学生综合素质的考查，所以初中数学竞赛中学生会遇到很多难题，其中，图形旋转变换就是难题之一。而学生在攻克这些难题的过程中，也会锻炼自身的能力。所以，初中数学教师必须高度重视对学生的引导，不断创新初中数学图形变换教学的方式和模式，保障学生在初中数学竞赛中展现出更高的能力和水平[1]。

一、当前初中数学图形教学出现的主要问题分析

（一）相当数量学生缺少应有的生活经验

在初中几何学习中，很多学生缺少应有的生活经验，无法很好地融入初中几何图形學习。在严重缺少生活经验的情况下，学生对很多图形问题都无法展开深入的思考和认识，更无法将图形与生活联系起来，因而无法在课上获得应有的学习效果。以三角形等距离变换平移演示为例，由于这部分知识比较抽象，因此，学生无法快速完成操作，进而无法保障学习质量和学习效果。

（二）初中生缺少观察能力锻炼

在几何图形学习过程中，尤其是图形变换学习过程中，学生需要具备较强的观察能力。但不少学生的图形观察能力不足，无法感知图形的差异和变化，因此在初中数学尤其是几何图形的变换学习中，会遇到很多困难[2]。

二、关于数学竞赛图形旋转变换的概念分析

所谓旋转变换在本质上属于图形的全等变换。全等变换其实是几何图形中最特殊的一种旋转变换，而图形的旋转变换思想是非常重要的数学思想之一。经过长时间的初中教学实践总结，笔者发现要想更好地应用图形旋转变换思想解决数学问题，就必须了解图形旋转变换的性质，只有保证用来旋转和变换的图形是完全一致的，才能保证图形中每个点位旋转前后始终与图形的旋转中心距离相等。确定图形旋转和变换的方法为判断图形对应点之间的关系，因此，在学习图形旋转和变换过程中，学生必须始终牢牢把握旋转变换之前与之后的图形是全等关系，这样才能更好地把握图形中的角和线段之间的数量关系，在运算的过程中把这种关系直接转换成相应的联系，更好地解决相关的问题[3]。

三、初中数学竞赛图形旋转变换教学的研究现状分析

目前关于初中数学图形变换的教学研究分析和思考程度还不够深刻，无法完全适应更高标准的初中竞赛要求。一般情况下，图形的变换包括旋转、平移和翻转，这三种关系是初中数学图形教学的主要内容。初中图形教学属于几何的教学范畴，图形旋转教学的问题一直以来都是图形变换教学的难点之一[4]。要想更好地保证初中数学图形旋转教学的效果，教师可引导学生具体掌握以下几点原则。首先，需要在全等变换的基础上变换旋转图形，也就是针对图形内某一个不变的点完成几何图形全等变换，确保在原图形关系构造不变的情况下，使经过全等变换后的图形大小与形状仍然保持不变。其次，图形经过旋转变换后会使一些原本看上去并没有联系的角或线段产生关联，进而降低求解难度，学生只要再运用其他学过的几何知识便可以从容应对。

四、提高初中数学图形变换能力的教学原则分析

（一）将抽象问题具体化，直观展现图形知识

在初中几何图形教学和竞赛式变化教学中，教师需要将图形问题转化成数学问题，在图形的表现形式下，将原本抽象的问题转化成具体的问题。学生只有将所有的知识转化成具体的图形问题，才能更好地学习和理解知识。

（二）不断提升教学实用性

初中生学习的图形几乎都来自生活，因此，在初中数学教学中，教师应在数学课堂多引入实际问题，只有将初中图形教学变成生活化课堂，才能更好地引导学生加深对图形的了解。例如，教师可以就地取材，在正方形、长方形及特殊图形的教学中，应用实物教学引导学生学习图形知识，在图形的变换教学中，不断增强学生的解题能力，提升学生的学习能力，改善学生的学习方法[5]。

（三）构建教材本位课堂，提高教材载体作用

在应用教材的过程中，教师可以持续渗透新课程改革的具体思想和理念，积极在课堂上为学生展示各种图形的基本知识。学生只有从源头上加强对多种图形基础知识的了解，才能更好地为后续的图形变换打下学习基础。数学教师可以根据自身对教材的理解，尽可能多地进行教材内容的有效拓展及组合。如此，在教师的引导下，学生才能更好地理解教材内容。

（四）坚持学生主体原则，以学生为课堂主体

在新课程改革背景下，教师要时刻坚持以学生为主体。在图形的变换学习中，学生需要从图形的基本知识入手，对图形知识进行分析和探索，最终实现由处理简单的图形问题，到能够积极处理复杂的图形变化问题能力的提升。学生通过不断积累解题经验，既能更好地获得几何图形学习的成就感，也能不断提升学习兴趣，实现学习方式优化，不断发展数学学科核心素养。在图形的变换教学中，教师需要遵循循序渐进的原则，提升学生图形的识别和分析能力。

五、关于提升初中生数学竞赛图形旋转变换能力的有效建议

开展图形的旋转变换教学，能够降低初中几何教学难度，使学生在课堂有限的时间内解决数量更多、更复杂的几何问题。初中数学教师只有高度重视日常教学的积累和改进，才能保证学生在初中数学竞赛过程中更容易找到最适合或最佳的解决问题的方法[6]。为了更好地提高初中几何图形旋转变换教学的质量，初中数学教师可以采取如下教学措施。

（一）积极创设教学情境，提升学生数学竞赛能力

数学教师应积极创设教学情境，让学生在课堂上对课本中的几何图形产生更强的观察欲望。教师在新课开始便可以通过多媒体设备为学生展示一些非常有趣的旋转变换的图形，让学生在欣赏图案的同时，对图形展开思考：为什么这些图形经过旋转变换及在对称原理的作用下，能够形成如此多的美丽图案？在这一过程中，学生便会对图形的旋转变换产生较强的学习欲望，为后续解决更多难度较大的竞赛题目做好铺垫。例如，现有直角△ABC，∠A为直角，AB长3厘米，AC长4厘米，斜边BC上距离B点3厘米有一点P，以此为中心将图形旋转幅度设定为90度，最终得到直角△DEF，求解两个直角三角形重叠部分的面积（如图1）。

图1

这一图形问题似乎十分难求解，但是此题只要把握好图形的旋转性质，就会发现很多可以应用的图形之间的关系，比如，直角△PSC与直角△PQF相似，直角△RSF与直角△PSC相似，另外，再有效结合锐角三角函数，可以将线段PS、RS、SF的长度求出，最终顺利计算得出两个直角三角形重叠的面积。这一旋转图形问题的求解重在如何将已知量与未知量顺利建立联系，最终化解图形旋转带来的难度，使学生对图形的旋转变换产生更深层次的理解。

（二）积极引导学生联系生活实际，加深对数学竞赛中图形变换的理解

在新课程改革下的初中数学教学过程中，教师需要更加积极地引导学生联系生活实际，在课堂上为学生提供更多与生活紧密相连的素材，这有利于激发学生对图形变换的學习兴趣。在现实生活中，教师可以收集图形变换的真实案例，帮助学生掌握和了解图形旋转变换的知识。例如，在数学课上，教师可以利用现代化多媒体设备为学生播放奥运会体操运动员或者健美操运动员的参赛动作，让学生通过仔细观察人体的变换和旋转图形更好地了解和掌握图形的变换模式。教师也可以引导学生运用手中的铅笔，将铅笔的笔尖作为固定点展开旋转，让学生仔细观察铅笔在旋转的过程中发生了怎样的变化。

（三）应用多媒体课件呈现数学竞赛图形的变换教学内容

在学生的世界里，图形本身属于一种具体的形象符号，所以，在数学课上，教师需要运用多媒体设备来清晰展示数学图形旋转的过程，以激发学生的学习兴趣，提高学生的抽象思维能力。初中数学教师可以凭借多媒体教学直观的优势，在数学课上将数字和图形有机结合，激发学生的学习兴趣。数学教师可将图形旋转变换教学的知识点清晰地展示在课件上，如可以在教学课件中向学生展示一个颜色鲜艳的三角形图形，然后点击课件慢慢从左向右变出一个形状、大小相同但颜色不同的全等三角形，再次点击课件，让其中一个三角形绕一个顶点进行旋转，随后再次点击课件让这个三角形旋转360度后与另一个三角形重合。这种直观的图形旋转和操作过程不仅能够引导学生充分掌握图形旋转的内容和图形变换的知识，还有利于让学生形成图形旋转变换的思想。

（四）课堂教学中引导学生动手绘画图形变换过程

教师可以预先要求学生准备好方格纸本，让学生在数学课上根据教师提供的旋转图形课件，积极参与图形旋转的手绘实践活动。学生只有动手画一画，才能更加深刻地感受图形旋转变换的过程和这过程中容易产生的各种各样的问题。学生动手绘画图形旋转的过程也是深入思考图形旋转和变换的过程。在具体的教学实践中，教师需要先引导学生掌握图形旋转过程中蕴含的知识和对称原理，在学生绘画完成后，再让其重新审视新图中的点与旋转中心之间的关系，这样学生便能顺利加深对图形旋转变换的理解。

六、对未来初中数学几何图形的教学趋势展望

在初中数学几何图形教学中，教师首先应加强对图形教学的研讨，尤其是针对图形的变换教学，更要明确教学的方向，如此才能在数学课堂上有的放矢，增强数学教学的效果，更好地提高教学效率和教学质量。

（一）积极培养学生的看图意识

看图是几何图形学习，尤其是图形变换教学的重中之重。在几何图形学习中，学生最经常接触的便是画图和看图。因此，要想更好地引导学生完成图形变换，教师需要从培养学生高质量的看图意识开始。一般情况下，数学教师都会引导学生先看最基本的图形，在图中找到平行关系和全等关系，这能使学生在解题的过程中更好地确定解题思路与方向，增强图形变换的学习效果。学生在具备一定的看图意识后，才能更好地应对图形的变换问题。

（二）积极培养学生绘制图形的能力

在几何图形教学中，教师引导学生不断提高绘制图形的能力十分重要。尤其是在图形旋转变换学习过程中，学生如果不具备良好的画图能力，便无法在数学竞赛中完成对相应变换知识的理解。数学教师可以让学生从绘制简单的图形入手，在图形绘制的过程中，为学生提供辅助绘图的工具，引导学生在解题过程中先画简单草图，再绘制更加复杂的图形。

结  语

总之，图形的旋转变换是初中数学教学中的重要内容。加强图形旋转变换教学有助于学生在初中数学竞赛中取得更加理想的成绩，最终提高初中数学的教学质量和效率。

[参考文献]

庄凌婕.初中数学中图形变换的相关教学[J].试题与研究，2020（05）：6-7.

许增斌.初中数学中图形变换的相关教学探索[J].当代家庭教育，2018（03）：76.

许俊波.初中数学中图形变换的相关教学探索[J].数理化解题研究，2017（08）：18.

李莎.初中数学中图形变换的相关教学研究[J].科普童话，2014（35）：74.

窦桂花.初中数学图形变换的相关教学研究[J].新课程，2014（06）：101.

白方.几何变换思想在初中几何教学中的渗透与应用研究[D].上海：上海师范大学，2021.

作者简介：林郑娜（1981.3-），女，福建漳州人，任教于福建省漳州市第八中学，一级教师，2018年荣获漳州市初、高中毕业班教学关键点问题“微课”数学学科二等奖，多次获评校先进教育工作者和校优秀班主任。