借力预习单与微课，突破难点

陈维烈

摘 要：人教版数学六年级下册的数学广角“鸽巢问题”，以前定义为奥数内容，是不进入课本的，如今进入课本，教师就不能回避了，得引导孩子去学。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，而如何正确理解“鸽巢原理”的“数学证明”是难点，同时让学生理解“鸽巢原理”这种“存在性问题表达方式”也是一个难点，也就是说学生难以理解“总有一个鸽巢里至少有几只鸽子”的情况，学生总觉得“鸽巢里的鸽子数”还可以更少。下文将阐述如何借力预习单与微课，突破这课的教学难点，从而达到培养学生问题解决策略的目的。

关键词：学习单 ; 微课 ; 突破难点;“鸽巢原理”

在开启你的学习之旅前，请了解一段有趣的数学文化。我校高年级数学组正在开展《基于学生真问题的分享式教学模式》的校本课题研究。所以我们特别注重课前预习单的设计，预习单既要简洁明了，还要能激发学生自主学习的兴趣，所以教师制作了一段关于“鸽巢”问题怎样发现的微课，并发到班级微信群里，引领学生完成预习单。课前完成预习单与课堂上的及时思考相比，思考时间长，思考比较深入。在思考中，“思而不得”就会产生问题，这些问题才是“真问题”。

一、情境导入，理解“至少”

数学课堂上最应该做的事情是激发兴趣。教师借助扑克牌，设计操作活动激发学生的兴趣，在具体的表象和比较中，从而理解“5张牌至少有2张花色相同。”这句话中“至少”的含义。理解“至少”的含义后设疑，激发学生对学习“鸽巢”问题的欲望，为下边探究“所以然”做铺垫。

二、組内交流

首先PPT呈现：把4支铅笔放进3个笔筒，总有一个笔筒至少有2支铅笔。为什么呢？例如：学生通过独立学习，有了疑惑是好事，就看教师怎么处理更有效。在创设情境导入后，这时组织讨论，能达到四个目的：一是方法相同的同学派一人讲解自己的思路，其他同学补充，可以让自己的思路更清晰，更全面;二是从同伴那里获得不同的方法;三是提出自己的困惑，向同伴请教，简单问题可以在组内得到解决;四是梳理组内还没解决的问题，是本节课的核心“真问题”，需要借力老师才能解决。

三、问题解决

（一）理解原理

“鸽巢”问题的理论本身并不复杂，而如何正确理解“鸽巢原理”的“数学证明”是难点，同时让学生理解“鸽巢原理”这种“存在性问题表达方式”也是一个难点，也就是说学生难以理解“总有一个鸽巢里至少有几只鸽子”的情况，学生总觉得“鸽巢里的鸽子数”还可以更少。此处教师呈现学生的作品，组织学生碰撞交流，在比较中直观地理解了“鸽巢原理”是研究鸽子数最多的那个鸽巢的鸽子数的最少数。

（二）思维提升

部分学生对列式计算这种方法难以理解，教师没有采用讲解的方式，而是让其他学生来解惑，提问和解惑的主体都是学生。教师只是在关键处提问，帮助学生总结方法。

四、问题延伸

教师通过一组对比练习的呈现，使学生初步感知“鸽巢”问题只是一个 “模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质——数量之间的关系是不变的。学生在解决这些问题的过程中逐渐形成“鸽巢”问题的“数学形式”及其解题策略体系，开始初步建构关于“鸽巢”问题的数学模型。

五、前后呼应

人教版义务教材六年级下册安排的“数学广角”渗透的是有关鸽巢原理的一些基本思想方法。教材将此内编排为三个例题对鸽巢原理进行阐述，让学生逐步加深对“鸽巢原理”的理解。学生总觉得“鸽巢里的鸽子数”还可以更少。怎么突出教学重点，突破教学难点呢？

（一）课前了解学情，为“真学习”做准备

为了达到“真学习”的目的，笔者精心设计了预习单和制作了微课。通过检查预习单，发现只有两个学过奥数的学生运用假设法列式计算证明结论的正确性。绝大部分学生运用数的分解法、图示法解释这个结论。在“我的疑惑”一栏，学生主要提了这几个问题：

A、为什么不说“总有一个笔筒至少有1支笔”？

B、哪些问题属于“鸽巢”问题？

C、如果铅笔数很多，是不是也是“总有一个笔筒至少有2支笔”？

这些问题正囊括了这堂课的重难点。可见大多数学生只“知其然，不知其所以然”。这些问题来自学生本身，此时要做的事就是引导学生步步释疑。

（二）情境导入，引导理解“至少”

《2011版课标》指出：尽管每堂数学课有既定的目标，也有各自的重心所在，但整体来看，在数学课堂教学中，我们最应该下功夫的“点”和最需要做的事情之一就是“激发学生的兴趣”。于是开课环节，例如：以“玩魔术”导入，让孩子在去掉大小王后，从52张扑克牌中任意抽取5张。故意说：我猜“至少有2张牌花色相同”，并板书“至少2张牌花色相同”，同时问学生相信吗？学生一下子兴趣来了，纷纷要上台验证教师写的结论。学生上台验证后发现的确“至少有2张花色相同”。这样的设计，一是使教师和学生进行自然的沟通交流;二是调动和激发学生学习的主动性和探究欲望;三是为今天的探究埋下伏笔，初步理解“至少”的含义。

（三）多次对比，领悟本质

著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切。”小学数学的教学内容既有联系又有区别，在教学中充分运用对比的方法，有助于突破教学难点，加强对新知本质的领悟。第一次对比是学生有序地用图示法验证结论，一个按从多到少的顺序放，一个按从少到多的顺序放，在比较中，培养学生有序思维，同时也直观地表达了“总有一个笔筒至少有2支笔”的本质。第二次对比是列式计算法和图示法的比较，学生在比较中认识到列式计算法的优越性。第三次对比把5支笔放进3个笔筒，总有一个笔筒至少放进几支笔？一种用“商+1”，一种用“商+余数”，在对比教学中，学生领悟到求至少数与余数的大小无关，不管余数是几，都是用“商+1”。第四次对比是呈现三个具体情境：“（1）11本书放进4个抽屉，总有一个抽屉至少放进了几本书？（2）张伯伯喜欢养鸽子，他做了5个鸽笼，每个鸽笼住2只鸽子。他一共养了几只鸽子？（3）高速路口同时有250辆车通过5个收费口，总有一个收费口至少通过几辆车子？”让学生判断谁是“鸽巢”问题，并深化了“鸽巢”问题的本质——都是多个物体进入少个空间的问题。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.数学课程标准（2011版） .北京：北京师范大学出版集团，2012.02.