例谈直角三角形解题策略

2022-05-30殷晓晴

数理天地(初中版) 2022年10期

殷晓晴

【摘要】直角三角形问题是初中数学的重点内容，涉及到勾股定理、直角三角形的几何性质和三角函数等知识，解答这类型问题不仅需要熟练掌握三角函数的定义和特殊三角函数的角度值，还要学会将其灵活运用，放入直角三角形中灵活求解.

【关键词】直角三角形;解题策略;初中数学

1 利用特殊的三角函数值

利用特殊的三角函数值是解答直角三角形问题的有效手段，特殊的三角函数值，一般值在0、30°、45°、60°、90°、180°角下的正余弦值（例如sin30°=12、sin45°= 22等），利用兩角和与差的三角函数公式，可以求出一些其他角度或对应的三角函数值.运用特殊的三角函数值解题时，具体的解题步骤为：（1）确定特殊角，根据题意将对应的角度值放入一个直角三角形中，确定特殊角的角度;（2）计算求解，利用题设条件中已知的特殊角求解对应的三角函数值，或已知某一正余弦函数的三角函数值求解对应的角度大小，或直接利用特殊的三角函数计算所求的值即可.

例题1 已知α为锐角，且cos90°-α=12，则α的度数为（）

（A）30°. （B）60°. （C）45°. （D）75°.

剖析本题是典型的利用三角函数特殊值求解的问题，直接利用特殊的三角函数值cos60°=12计算求解，依据cos90°-α=12和cos60°=12，解得α=30°.

解析由题意可知，cos90°-α=12，

又因为cos60°=12，

所以90°-α=60°，

所以α=30°.

例题2 2sin30°的值等于（）

（A）1.（B） 2.（C） 3.（D）2.

剖析本题直接利用sin30°=12计算求解即可.

解析因为sin30°=12，

所以2sin30°=2×12=1，正确答案为A.

2 利用三角函数的定义

三角函数的定义也是解直角三角形的常用方法.三角函数的定义，一般指在Rt△ABC中，当∠C=90°时，正弦函数sinA=∠A的对边斜边=ac，余弦函数cosA=∠A的邻边斜边=bc，正切函数tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab，余切函数cotA=∠A的邻边∠A的对边=ba.运用三角函数的定义解题时，具体的解题步骤为：（1）确定三角形的边长或角度值，根据实际问题，确定Rt△ABC中已知的边的长度，已知的角的度数;（2）计算求解，利用三角函数的定义sinA=∠A的对边斜边=ac等，结合题设条件中已知的边长或角的大小列式计算，使问题得解.

例题3 已知△ABC中，AC=4、BC=3、AB=5，则sinA=（）

（A）35.（B）45.（C）53.（D）34.

剖析本题考查学生判定直角三角形和锐角的三角函数值，根据AC=4、BC=3、AB=5可知，△ABC是一个以AB为斜边的直角三角形，然后根据sinA的定义BCAB解得sinA=35.

解析由题意可知，AC=4、BC=3、AB=5，

由勾股定理的逆定理可知：AB2=AC2+BC2，

所以△ABC是一个以AB为斜边的直角三角形，

因为在Rt△ABC中：sinA=BCAB，

所以sinA=35.

3 利用解直角三角形

解直角三角形的知识一般用于解决实际问题，在直角三角形中，除了直角外，还有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.运用解直角三角形的知识解题时，具体的解题步骤为：（1）转化为数学问题，结合题设信息将实际问题抽象转化为数学问题，一般是画出平面图形，转化为解直角三角形的问题;（2）解直角三角形，根据已知条件，利用相应的锐角三角函数解直角三角形;（3）计算求解，结合题意解得对应的问题答案即可.

例题4 如图1所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=12，则CD∶DB=.

剖析本题是典型的解三角形问题，首先假设AC=x，然后放在Rt△ABC中证明DE=AE，再假设DE=a，利用DE和AC的关系解得x=32a，最后分别表示出CD、CB的值继而求解.

解析由题意可知，在Rt△ABC中，∠CAB=90，tanB=12，

假设AC=x，

所以AB=2x、BC= 5x，

过点D作DE⊥AB于点E，

因为AD是∠CAB的平分线，

所以DE=AE，

假设DE=a，因为tanB=DEBE=12，

所以AE=a、BE=2a、DB= 5a，

所以3a=2x，

解之得x=32a，