GeoGebra软件与高中数学问题解决课堂教学深度融合的实践研究

吴启霞

【摘要】通过GeoGebra软件与高中数学问题解决课堂教学深度融合，让学生经历问题解决教学的问题提出、猜想和证明过程，借助信息技术，激发学生探究学习的兴趣，有效提高课堂教学效率.

【关键词】GeoGebra;问题解决;课堂教学

1 教学背景

2022年3月14日至18日，广东省清远市华侨中学举行了青年教师优质课评比.3月15日上午，笔者的参赛公开课选自新教材人教A版普通高中数学（必修第一册）第五章三角函数第六节“函数y=Asin（ωx+φ）”.在教学过程中，笔者以问题解决为导向，融入GeoGebra教学软件进行整合教学，教学效果甚好，获得了评委以及听课教师们的一致好评.

2 教学分析

“函数y=Asin（ωx+φ）”是在学习了三角函数的图象与性质，对三角函数图象的形状特点有了初步认识之后的一节内容，具有较强的综合性.由y=sinx到y=Asin（ωx+φ）的图象变换过程中有一定的复杂性，本节课通过现实问题情境筒车盛水问题建构函数模型引入，遵循具体到抽象的原则，让学生意识到数学源起于生活实践，引导学生用数学的眼光看世界.其中φ、ω、A三个量的不同变化顺序对图象的影响是教学的重难点，笔者利用GGB动态教学软件对教学内容进行融合，通过数形结合的思想方法控制参数的取值，运用运动变化的形式去揭示这些参数的变化对函数图象的影响，从特殊到一般，动态分解，直观地对图象变换规律进行探索，让学生历经由特殊到一般的化归思想，进而突破教学难点，最后再对y=Asin（ωx+φ）图象的整体进行考察.从问题解决的角度看，能让学生学会通过抓住问题的主要矛盾去解决数学问题的基本思想方法，这样复杂的问题也就不复杂了.而通过对参数φ、ω、A的分类讨论则能够较好的提高学生的分析推理能力，也更加注重数学本质，以培养学生数学核心素养.

3 教学过程

3.1 创设情境，兴趣导入

问题1 请同学们认真阅读课本第231-232页，并回答以下问题：

从数学的角度看：如图1所示，筒车工作时，与盛水筒运动有关的量有哪些呢？这些量之间又有着怎样的关系？

设置意图 筒车上盛水筒的运动具有周期性，因此通过现实生活中的一些周期性的现象和规律，引导学生试用三角函数的模型来刻画盛水筒的运动规律.[1]

问题2 如图2，我们将筒车抽象成为一个平面几何图形，设经过时间t后，筒车上面的盛水筒从初始位置P0开始运动到某位置P.根据筒车的工作原理可知，此盛水筒与水面距离的高度值为H，我们將可得到怎样的数学模型？

设置意图 新课标理念注重情景教学，此环节通过问题情境实例引入课题，遵循新课标理念，引导学生阅读教材，通过筒车这个模型，让学生通过小组讨论，提出个人观点，交流古代筒车的发明与作用，得到盛水筒距离水面的高度H与时间t的关系是H=rsin（ωt+φ）+h，从而自然地引出要研究的数学模型y=Asin（ωx+φ）.

3.2 构建问题，探寻解决

问题3 我们利用三角函数函数的知识建立了一个形如y=Asin（ωx+φ）的函数，它与函数y=sinx有什么差异呢？变化的参数又有哪些？

设置意图 让学生观察函数y=Asin（ωx+φ）的表达式与正弦函数y=sinx的表达式，去发现它们之间存在的差异，学生很容易发现有参数φ，ω，A这3个参数，而y=sinx是其中一种比较特殊的情况，即当φ=0，ω=1，A=1.

问题4 请同学们思考一下这样的问题：针对于正弦函数y=sinx，当其中的一个参数发生变化时，将会有怎样的函数出现呢？

设置意图 引导学生去思考3种函数：y=sin（x+φ），y=sinωx，y=Asinx .

问题5 你认为可以怎样讨论参数φ，ω，A对y=Asin（ωx+φ）的图象影响？

设置意图 使学生明白有多个参数时可以分类讨论，先“各个突破”，然后“归纳整合”.

3.3 GGB融合助力，深度探究

以下借助信息技术GGB绘图进行整合教学内容，进行数学实验，以学习小组为单位，合作探究，得出参数对函数图象的影响，并且归纳出图象变换后的性质，在动态演示图象变换过程中，教师引导学生观察图象变化过程中那些不变量.

第一类探究参数φ对y=Asin（ωx+φ）图象的影响

问题6  在函数y=sinx和y=sin（x+π6）的这两个图象上分别选取一纵坐标相同的点，并同时移动这两个点，试观察它们的横坐标变化情况，你是否能从中发现φ对函数图象的位置有着怎样的影响？这两个图象有什么关系？

设置意图 借助GGB软件融入整合问题解决教学，通过动态实验演示变换过程，遵循从具体到一般，让参数“动起来”，引导学生通过观察函数图象变化过程中的不变量，师生共同交流得出y=sinx和y=sin（x+π6）的图象上点之间坐标的关系，使学生认识到φ对函数y=sin（x+φ）的图象的影响，并得出它们的横坐标总相等的结论.[2]

问题7 对任意φ取不同的值，画出y=sin（x+φ）的图象，看看与y=sinx的图象是否有类似的关系？

此环节，教师借助GGB软件做数学实验，让学生观察φ取不同值时，函数y=sin（x+φ）的图象，并探究它与y=sinx的图象的关系，看看是否仍有上述结论？

设置意图 使学生获得更多的关于φ对y=sin（x+φ）的图象的影响的动手实践经验.

问题8 请同学们概括一下如何从y=sinx的图象出发，经过图象的变换得到y=sin（x+φ）的函数图象？

设置意图 通过GGB软件整合设置数学实验活动，让学生观察到，当φ取其他的值也有类似的情况，进而引导学生通过自己概括认识到φ对y=sin（x+φ）图象的影响.

第二类探究参数ω对y=Asin（ωx+φ）图象的影响

问题9 你能用上述的研究方法，讨论一下参数ω对函数和y=sin（ωx+π6）的图象的影响吗？

设置意图 教师引导学生根据已有研究经验，借助GGB软件研究参数ω对y=sin（2x+π6）及其y=sin（12x+π6）图象的影响.从特殊到一般，此环节让学生以小组合作方式独立完成，教师可以作适当指导，并提醒学生遵循从具体到一般的思路去尝试获得结论，并与教材相关段落对照.获得ω对函数y=sin（ωx+π6）的图象的影响的深刻认识，进一步熟悉掌握研究方法，突破难点，熟悉ω对y=Asin（ωx+φ）图象的影响.

设置意图 教师引导学生总结参数ω对函数y=Asin（ωx+φ）的图象的影响，学生小组合作探索，总结学生展示，教师补充完善得出结论.

第三类探究参数A对y=Asin（ωx+φ）图象的影响

问题10 你能讨论一下参数A对y=2sin（2x+π6）的图象的影响吗？y=12sin（2x+π6）的图象又是怎样的呢？

设置意图 此环节师生互动，教师指派一名学生借助GGB分别作出A=2以及A=12时函数的图象，并观察与y=Asin（ωx+φ）的图象之间的关系，学生作图，并观察变化规律引导学生总结，并与教材相关段落对照.

第四类探究y=sinx与y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）图象之间的变换关系.

问题11 由y=sinx的图象得到y=Asin（ωx+φ）的图象的变换，参数的变换顺序为φ→ω→A.

（1）请同学们思考：还有其他的变换方法吗？

（2）若参数的变换顺序为ω→φ→A，则图象变换的规律是怎样的？

设置意图 教师提出问题（1），学生回答后给出评价.学生思考问题（1），讨论、交流、回答.教师让学生思考问题（2），先探究按下列顺序y=sinx→y=sinωx→y=sin（2x+π3）→y=3sin（2x+π3）进行图象变换的规律，让学生回答探究结果共同归纳变换顺序为ω→φ→A（ω>0）的图象的变换规律.

此环节运用GGB进行动画演示，最后通过“动”起来的图象，学生归纳总结出：由函数y=sinx的图象得到y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象的两种途径，使学生掌握由y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）的图象的变换方法，较好的提升学生的逻辑推理核心素养.

4 教学感悟与提升

在高中数学的教学中，总会遇到一些疑难、抽象的数学问题，除教师用语言引导，如果能利用信息技术加以深度的融合，进行动态的视觉冲击，这样就能达到更好的效果.因为信息技术的使用能有效地降低了教学的难度，它能把以往教学中作图利用的大量时间转化为对数学问题本质的理解.[3]笔者在三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换这一节教学中，融合了GGB软件辅助，本节课以课例演示为主，学生小组合作操作，通过从正弦函数图象与特殊函数（参数取某个定值）图象进行对比，得出相关结论.[4]当参数值发生变化时，函数图象也随着参数的变化而变化.

笔者将参数φ、ω、A的变化分为三类进行讨论研究，例如，在研究“函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象”时，利用滚动条构造三个参量A、ω、φ，并建立含参函数f（x）=Asin（ωx+φ）（如图3），通过鼠标拖动，产生动态的变换效果，让学生直接感受到三个参变量对函数的图象的影响，并直接从数值的变化中找到数量上的关系，再进一步引导学生分析其背后所隐藏的数学逻辑，进而掌握函数图象的变换问题.

在对学生一步一步地引导，层层演示，数形结合过程中，让学生通过分学习小组自主探讨，从特殊到一般，从而归纳总结得出三角函数图象变换的规律.在课堂教学中发现，运用GGB数学软件与三角函数进行深度融合的教学，绘制函数图象十分便捷，当参数不断改变时函数图象变化详细情况可一一展现，极大程度提高了学生的专注力，使得学习氛围更加浓厚.[5]使用GGB的动态功能进行动画演示，探究图象变换背后的规律，让学生对函数有更深层次的认识与理解，同时学生能在课后的习题训练中运用自如.本教学案例体现出新课标和新教材的“新”，利用GeoGebra具有的动态性的优势，能够很好的化静为动，轻松突破学习的难点，拨开疑云.从学生的表述和后面的练习来，学生对f（x）=Asin（ωx+φ）的本质理解还是比较深刻和到位的，我们相信，将GGB动态教学软件与数学课堂问题解决教学进行深度融合，一定能成为未来高中数学教学的主流.

参考文献：

[1]王飞，殷长征.有效教学情境的特征及其策略分析——以高中数学课堂教学为例[J].中学数学研究，2017（06）：1-4.

[2]项俊.GeoGebra软件在高中数学教学中的应用探究[J].上海中学数学，2019（04）：25-27.

[3]高学，李峰.利用GeoGebra软件开发高中数学实验课件[J].中国教育技术装备，2020（21）：32-33.

[4]朱亮卫.基于GeoGebra的高中数学探究式教学研究[D].陕西理工大学，2020.

[5]徐敏霞. 基于GeoGebra的高中数学探究教学研究[D].苏州大学，2016.