波利亚解题模式在数学解题课程教学中的应用

戚昌厚

【摘要】高中数学教学的主要目的是提升学生的解题能力，实现学生数学核心素养的提升.学生解题能力的强弱直接决定高中数学教学质量高低，所以在实际的高中数学教学中，教师应该将提升学生解题能力作为教学的目标.这是一项长期而复杂的任务，需要教师积极优化教学模式，细化教学流程，将波利亚解题模式利用在具体的解题课程教学中.该模式的具体操作步骤为读题分析、提取组合、解题反思，将波利亚解题模式利用其中，能够提升学生的解题能力，充分利用数学教育特征解题，让学生熟练地参与解题实践，实现对学生创造能力的培养.

【关键词】波利亚解题模式;高中数学;解题教学

在高中数学解题课程教学中，解题训练得到了教师的重视，教师十分重视对解题步骤的研究.从本质上讲，解题就是一条摆脱疑难、绕过障碍的途径，通过最简单有效的方式实现学生解题的目的[1-2]，解题也是一种操作性技能，可以充分体现解决问题的过程.在解题教学中，加强对波利亚解题模式的利用，能够优化解题步骤，让学生在读题分析—有效提取—探索—解题反思中实现解题能力提升.

1 波利亚解题模式

波利亚解题模式所涉及的解题内容十分丰富，一般来说，可以将数学题目的解答分为不同的步骤.具体体现为：

（1）了解问题.这就要求高中学生在对数学问题解决之前，详细分析数学题目，将数学题目转化为数学语言，使学生可以充分理解题目的已知条件和未知条件所体现的含义，理解需要解答的问题，然后根据现有的条件寻求问题解决方案，实现数学题目求解和证明的目标，同时让学生根据解决的问题，联想和总结已经学习过的知识点，通过总结所学知识，确定问题解决方法[3-4].

（2）制定和实施计划.学生在全面对已知问题分析后，不要急于对问题进行解答，需要理清解题思路，分析题目解决过程中可能存在的各种问题，避免解题过程中因为急切寻求解题结果而导致解题失败.这就需要学生在题目解决前，提前制定一个完善的解题计划，详细确定已知条件之间的内在联系，为题目的解决提供有效保证，然后通过寻找相似的解题模型，优化解题方式，将未知的解题思路转化为曾经解答过的题目，便于理解，降低题目难度.计划实施的时候，学生在确定解题思路和解题方法以后，就要根据上述制定的解题计划，促进问题的解决，这个过程中需要综合利用已经学习过的知识，实现问题的解决.

（3）检查.因为部分学生在题目完成后，急于解决其他问题，所以会粗心，影响解题结果的准确性，导致学生在题目解决的过程中出现失误，解题结果与标准答案出现偏差，为了改变这种情况，就需要学生在解题完成后，及时检查.

2 波利亚解题模式在数学解题课程教学中的应用

2.1 通过已知问题表征促进学生分析

在波利亚解题模式利用中，了解问题对于问题的解决发挥着十分关键的作用.了解问题就是弄清问题，了解题意的过程，分析题目提出的问题，以便找到合理的解题角度.

一般来说，解题教学的关键就是让学生全面的了解题目的总体特征，通过分析问题特点，找到题目的解决方法，主要可以体现在以下几个方面：

（1）需要将已知的数学题目转化为便于学生理解的数学题目，通过数学语言将题目表达提出.

（2）尤其是应用题解决过程中，教师要引导学生对已知的条件进行分析，将题目中的大量文字语言提炼成数学语言进行描述，然后根据题目中所列出的各种条件和要求，将其转化为相应的数据、关系式和等量关系和函数模型等，这就需要在指定的题目分析中，了解问题，为应用题的解决提供保证[5].

（3）科学的将题目的条件范围缩小，保证在明确各种条件后，能够通过利用已知结构和以前所学知识，判断题目解决中需要利用的方法和知识点.

例如 在高中数学人教版2019B版《向量的数量积与三角恒等变换》相关问题解决时，已知边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x和y轴的正半轴走滑动，分析OB·OC的最大值为多少.解决这个问题的时候，不少学生被题目卡住了，无法理解题目的含义，也不明白向量数量积的关系，此时不少学生就想到可以利用平面向量的基本定理做题，但是需要将既定的条件进行分析.这个过程中，学生可能受到数学语言的影响，无法正确理解数学符号和模型之间所表述的量关系，此时教师就要引导学生分析题目，熟悉分析，毕竟学生的解题能力与学生对于题目的熟悉程度相关，也与学生的知识基础和相关的解题经验有关，只有学生在这个过程中利用学过的知识解决问题，方可理解题目含义，实现题目解决的目的.

2.2 提取有效信息制定和实施解题方案

在高中数学解题课程教学中，加强对波利亚解题模式的利用，就要通过提取有效的题目信息，制定和实施完善的解题方案，这既是题目解决的关键环节，也是题目解决中困难最多的环节，学生在这个过程中所消耗的时间比较多，但是发生的错误也是最多的.所以教师需要从解决问题的实际情况出发，积极带领学生发现题目解决中存在的错误，然后重新拟定新的解题方案，全面探索题目解决的过程，再次回到审题阶段，找到问题失败的原因，对问题重新提取组合，拟定方案.毕竟对于有效信息的提取、解题方案的实施和问题的解决是密不可分的，在审题的过程中，需要积极地制定解决方案.在制定解决方案后，还需要进一步审题，再次分析题目已知信息，分析其对于问题解决的价值.

由此可见，学生可以尝试以下解题步骤：（1）在阅读题目的同时需要将有价值的已知条件圈出来，将其转化为有效的数学语言，然后对已知的问题进行罗列;（2）读题以后，需要学生全面联想自己学习过的与题目相关的知识，从已知、题设能想到什么，從结论中考虑需要什么信息，思考比较常见的题目解决途径[6-7].

比较常见的解题途径一：“问题直接可以用定义、公式、定理求解”，这就需要学生在全面分析题目信息后，对问题的特点进行分析，直接分析问题涉及的公式、定理等，将已知的数学信息转化为符号、图形、数量等信息，从而找到有效的问题解决方法.途径二：需要学生在脑海中对学习过的类似题目进行思考，分析旧问题解决过程中利用了哪种方法，然后进入审题环节后，找到相关的问题解决类型，通过利用旧问题解决方法分析新问题，这就可以看出，熟练地掌握各种类型解题方法是十分必要的，只有学生掌握的题目类型足够多，其在遇到新的问题时，方可快速找到问题的解决办法.

例如 在高中数学人教版2019B版《三角函数》相关问题解决时，已知△ABC中，D为边BC上的一点，BD=12DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积是3-3，求∠BAC.对于该题目的解决，就需要在弄清问题的基础上，精确分析已知信息，教师需要引导学生回答关键性的问题“已知是什么”“条件是否充分”“是否需要画图引入符号”等，在明确这些基础条件后，教师可以引导学生寻求解题思路，制定解题计划.此时教师可以提问：“我们求三角形中的一个角需要利用哪些方法”“如果利用正弦定理求∠BAC的大小需要具备哪些已知条件”“在△ABC中，如果我们用余弦定理来求∠BAC又需要什么条件”等.在类似计划制定后，教师可以引导学生复习题目相关问题，联想相关定理和公式，教师通过引导学生思考，激发学生的数学问题解决兴趣.要想更好地实施计划，就要通过波利亚解题法，教师引导学生回答几个问题“检查了每一个步骤”“是否说明每一个步骤具有合理性”等，引导学生养成良好的解题习惯，促进解题方案的有效实施.

2.3 适时解题回顾检查

波利亚说：“想要从解题中得到最大的收获，应当深入理解如何解题，思考是否还有更简单的解题方法？如何克服障碍等.”在现阶段的高中数学问题解决中，不少学生因为学习压力较大，整天在题海战术中度过，虽然做了许多练习题，但是对于解题过程的认知还处于一个比较盲目而感性的阶段，解题追求数量的积累，只能依赖于做题提升解题能力.但是这种做题量的提升并没有明显地实现解题能力的提升，所以这就引发关于解题的反思.多数学生在解题过程中，并没有及时反思解题过程中存在的问题，所以无法在原有问题的基础上实现解题能力提升.通过对大量的学生调查发现，不少学生做完题目后，只是将题目放在一旁，很少去回顾过程，还有部分学生不知道如何进行反思，更不知道在解题的过程中用到哪些方法，所以无法实现解决问题能力的提升[8-9].只有反复地回顾题目的解题方法，分析解题过程中所出现的问题，才能更好回顾解题经验，吸取失败的经验，找到发生问题的根本原因，在后续的解题中，积极优化解题思路，少走弯路，只要有同伴或者老师稍加指点便想到了解题思路.

波利亚解题模式不难，通过正确的解题流程利用，可以使学生将解决问题的思维体现在一个点上，实现重大的突破，即使是难度很高的问题，学生也可以有效解决，克服自己的解题障碍，让学生在长久的解题经验中提升解决问题的能力，实现数学核心素养的提升.波利亚解题思想利用的主要目的就是检验学生对于高中数学知识的掌握程度，促进学生对于高中数学知识的理解运用，以便教师因材施教，实现问题的解决.在题目的解决方案实施后，教师需要引导学生回顾解决问题的过程，恰当地设置课堂上“练”的环节和课后“练”的习题，做好对问题解决的回顾检查，便于促进学生对于知识的理解和掌握，以便更好地激发学生的求知欲望，达到数学知识巩固的目的.

3 结语

波利亚的解题理论更加重视对学生数学思维的塑造，将其利用在高中数学的解题教学中，可以作为一种常规的解题手段，通过指导学生了解题目，制定和实施解题方案，回顾分析解决过程，启发学生的数学思维，培养学生分析和解决问题的能力，构建学生的解题元认知结构.从本质上讲，波利亚的解题理论可以促进学生的数学解题元认知能力的提高，这主要是因为该方法善于利用提示语，让学生在教师的提示语指导下，引发不同阶段对于题目的思考，提升学生的数学问题解决能力，提升学生数学核心素养.

参考文献：

[1] 江忠东.数学解题的三种实用范式[J].中学数学教学参考，2022（1）：44-47.

[2] 高志华.基于波利亚思想的高中数学教学新模式浅析[J].中国校外教育（中旬刊），2018（9）：121，133.

[3] 杨孝斌，吕传汉，吴万辉，等.高中数学“一题一课多解变式”教学模式的理论构建与实践探索[J].中小学课堂教学研究，2021（11）：14-19.

[4] 葛雯琳.波利亚“解题表"指导下的命题教学[J].数学之友，2019（16）：14-17.

[5] 林伟民.漫谈数学文化渗透的课堂教学策略[J].数学之友，2019（24）：36-37.

[6] 刘明远，苏晓辉.精选例题，提高课堂教学效益-中考复习课《四边形（1）》的例題修改过程及感悟[J].数学之友，2019（24）：97-99.

[7] 巫延忠.一道经典三角不等式题延伸的教学尝试[J].数学之友，2019（16）：63-65.

[8] 陈桂芬.高中数学教学中的推理猜想引导——评《数学与猜想（第二卷）：合情推理模式》[J].中国教育学刊，2019（8）：124.

[9] 钱雨森.基于波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用分析[J].文理导航，2018（3）：11.