向量背景下双变量最值问题的求解策略探究

徐盛馀

【摘要】以向量为背景的双变量最值问题是一类综合问题，该问题将向量与函数、不等式、直线与圆、三角函数等知识相结合.在求解以向量为背景的最值问题时，需要根据题目的特点，综合利用几何与代数的关系选择恰当的方法脱去“向量的外衣”，将向量关系转化到数量关系，通过不等式，三角换元及数形结合实现双变量最值问题的求解.

【关键词】向量关系;数量关系;双变量;最值

平面向量具有“数”与“形”的双重身份，是沟通代数与几何的重要工具.用向量的知识将双变量问题进行“包装”，考查了向量與函数、不等式、直线与圆、三角函数等知识相结合问题，解决此类最值问题有两个难点需要突破，首先要做的是将向量问题代数化，寻找到双变量之间的代数表达式，转化成双变量的最值为题，其次根据双变量的代数表达式选择合适的方法实现最值问题的求解，下面举例说明.

1题设条件中直接含有双变量m与n的向量关系式c=ma+nb.

以平面向量基本定理c=ma+nb的形式呈现变量m与n的之间的关系，此类结构特征的题型常见的解题思路有：基底法，坐标法，数量积，等和线.

例1在△ABC中，∠ACB=120°.若点P为△ABC外接圆的圆心，设PC=mPA+nPB，则m+n的最大值为.图1

解法1基底法

根据题设条件，选择{PA，PB}为基底，将PC重新表示，利用零向量分解的唯一性构造等量关系.

如图1，由圆的知识可知

∠APB=∠ACB=120°，

记AB与PC的交点为D，PC=lPD，

由A，D，B三点共线，有

PD=tPA+（1-t）PB，

所以PC=lPD=tlPA+（1-t）lPB，

结合题设条件有

（m-tl）PA+[n-（1-t）l]PB=0，

由零向量分解的唯一性可知

tl=m，（1-t）l=n，

所以m+n=l=|PC||PD|≤|PC||PD|min=2.

图2

解法2坐标法

建立适当的坐标系，将向量用坐标表示，实现代数运算.

以P为坐标原点PA为x轴，如图2建立直角坐标系，

设△ABC外接圆的半径为1，C（xC，yC），则

A（1，0），B-12，32，

于是PC=（xC，yC），PA=（1，0），

PB=-12，32，

代入PC=mPA+nPB，

有xC=m-12n，yC=32n，

又点C在圆上，

故m-12n2+32n2=1，

整理可得（m+n）2-1=3mn，

根据不等式mn≤m+n22，当且仅当m=n时取等号，

有（m+n）2-1=3mn≤3（m+n）24，

解得m+n≤2，当且仅当m=n时取等号.

解法3数量积

将向量等式的两边同时与某个向量作数量积，可实现向量关系式到数量关系式的转化.

将PC=mPA+nPB两边平方可得

|PC|2=（mPA+nPB）2

=m2|PA|2+2mn·|PA|·|PB|cos120°+

n2|PB|2，

整理可得1=m2-mn+n2，

图3

下同解法2.

解法4等和线

在动点轨迹已知的前提下，根据双变量结构目标形式可以尝试用等和线的方法求解.

由题设可知，点C在劣弧AB上远动，过C作直线AB的平行线l，当l与圆相切时，m+n取到最大值，此时

PC⊥AB，

故（m+n）max=PCPD=PAPD=1sinπ6=2.

注根据题设条件选择哪种方法更有效，不仅依赖于读者的知识储备以及解题经验，还依赖于题设条件的呈现形式. 基底法需要进行向量的线性运算，用平面向量共线定理搭建等量关系，坐标法与等和线需要较强的几何直观，数量积的选择需要知道向量的摸与夹角，或者等式两边模长可约.

2题设条件中出现双变量m与n，但没有直接的向量关系式c=ma+nb.

例2如图4，图4在△ABC中，点O满足BO=2OC，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=mAM，AC=nAN，则m2+n2的最小值是（）

（A）95.（B）2.（C）2.（D）355.

解因为BO=2OC，

所以AO=13AB+23AC=m3AM+2n3AN.

又因为M，O，N三点共线，

AO=tAM+（1-t）AN，

所以m3+2n3=1，m=3-2n，

于是m2+n2=（3-2n）2+n2

=5n2-12n+9=5n-652+95，

当n=65，m=35时，m2+n2有最小值为95.

故选（A）.

注根据解题目标，需要找到m与n的数量关系，才能求解最值，由题设条件BO=2OC，利用AM，AN表示出AO，构造出形如c=ma+nb的向量关系式转化成例1的类型题，再用基底法可以确定m与n的数量关系.

3题设条件中未出现双变量，需深挖题设，寻变量关系.

向量的线性运算，数量积运算，与模相关的运算常用的处理方法是将“向量几何化”，画出合适的图形，利用向量的运算法则处理，或者建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理.

图5

例3已知平面向量a，b，c满足a·b=0，|c|=1，|a-c|=|b-c|=5，则12a+12b-c的取值范围是.

解设c=（1，0），a=（x1，y1），b=（x2，y2），

作OA=a，OB=b，OC=c，

则C（1，0），

|a-c|2=（x1-1）2+y21=25，

|b-c|2=（x2-1）2+y22=25，

如图5，A，B在以C圆心，5为半径的圆上，记A，B的中点为M，

所以OM=12（a+b）=（x，y），

即x1+x22，y1+y22=（x，y），

又a·b=x1x2+y1y2=0，

所以x2+y2=（x1+x2）2+（y1+y2）24

=x21+y21+x22+y22+2（x1x2+y1y2）4

=x21+y21+x22+y224

=[（x1-1）2+y21]+[（x2-1）2+y22]+2（x1+x2）-24

=4x+484=x+12，

整理得x-122+y2=494，

故点M在圆心为D12，0，半径为r=72的圆上，

又12a+12b-c=（x-1）2+y2

=（x-1）2+494-x-122

=13-x，

因为x∈[-3，4]，

所以12a+12b-c∈[-3，4].

注向量背景题设条件下要关注其几何图形的呈现，为建立恰当的坐标系提供形的支撑，以向量的模，数量积运算为题设条件时，要深挖向量表示的背景图形，大多都是以圆为背景的二元最值问题. 充分考查了数与形的关系，向量的坐标运算探究的是横纵坐标之间的数量关系，从代数的角度寻找题设条件中的双变量问题.

平面向量是数学中神奇的存在，它具有代数和几何的双重身份，是数形结合思想考查的内容之一，向量背景下的双变量最值问题的求解，是“形”到“数”的转化过程，根据题型可以选择基底法、坐标法，数量积、等和线法中的某一的方法脱掉“向量的外衣”，特别要关注图形特征.根据双变量的代数结构特征经常用基本不等式，和三角换元来处理双变量最值问题.熟练基本题型，基本方法，在解题时才能得心应手.

图6

练习

1.如图6，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且|MN|=2，P为MN的中点，AP=λAB+μAD，则λ+2μ的最大值是.

2.如图7，若同一平面上的四边形PQRS满足：mnRP=n（1-3m）QP+m（n-1）SP（m>0，n>0），则当△PRS的面積是△PQR的面积的13时，1m+n的最大值为.

图7图8

3.如图8，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且AM=xAB，AN=yAC，则3x+y的最小值为.