数学课程数形结合思想的运用探讨

郑春林

【摘  要】随着教育改革的深化，教育制度和教学模式也在发生着深刻的变革。数字和图形是数学的两大要素，为了更好地运用数形结合思想，本文对“数”与“形”的关系进行了分析，并从思想导入、运用方法、运用反思等几个角度论述了数形结合思想在数学教学中的作用。数形结合的思想是数学的一个重要理念，把“数”和“形”相结合，能把一些难以理解的概念、公式和题目变得生动化、具体化。本文着重论述了数形结合的特点及运用，并以典型的例子说明了数形结合思想的应用思路，以供参考。

【关键词】初中教学;数形结合;教育方法;运用策略

一、初中数学课程教学中数形结合思想概述

（一）数形结合的内涵

数形结合是一种以数字和图形为基础的直观性教学方法，使学生在课堂上能更好地理解和掌握最重要的知识。在初中数学教学过程中，通过直观的图形呈现，可以提高学生的想象力和逻辑性。数与形的概念，最早运用数轴与数的概念，透过数轴的显示，能让学生更清楚地了解数的上、下、左、右等方位的关系，并能迅速掌握数字的学名，以达到提升教学效果的目的。

（二）数形结合的特点

在一般的数学问题中，“数”与“形”是密切相关的，它可以通过数字的信息，来构建相应的图形，并运用几何特性，使问题更为直观。一方面，通过数形结合把复杂的问题转化成简单的图形形式，有助于学生对复杂问题的深度认识，减少学习过程中的复杂度;另一方面，把一些重要的信息转换为数字，通过对这些数据的相互关系进行深入的研究，可以使学生更好地理解“形”的性质。灵活运用数形结合的思想，在数学学习和解题的过程中，有意识地培养学生的思考能力，使他们能够更好地理解和掌握数学知识。

二、运用数形结合思想解决的问题及导入方式

有些教师在课堂上没有认识到数形结合的真正意义，使学生无法真正了解数学的实质。数字与图形结合的教学多为理论性与技术性的教学，增加实践性的课程，注重实务问题的运用。数形结合的概念具有广阔的应用前景，因此，要充分发挥教师的创造力，不断地扩展相关知识，以保证整个数学思维的构建有载体和支撑。数与形的结合，要求学生在教学和解决问题时，充分发挥数形的特性，以达到良好的交互作用，而不是顾此失彼。

（一）运用数形结合思想解决的问题

数形结合思想常用来解决以下问题：一是解决集合问题。利用数轴线作为载体，解决了集合间合、并、交、补等运算，简化了问题，减少了运算量。二是函数问题的求解。利用函数的对称轴、坐标交点等重要参数，可以迅速、简便地绘制出大部分函数的图像，而图形的直观性则能使学生在处理复杂的问题时更加灵活和多样化。三是对不等式的求解。不等式问题的本质就是研究某一区间内的两个函数的变数，若能得到这两个函数的交点，再结合它们在不同的区间上的单调性，就可以迅速地求解这类问题，并使学生更好地理解不等式的本质。四是绝对值问题的求解。绝对值与两个具体的点的间距相等，这是在求解这类问题时所要建立的概念。

（二）数形结合思想的导入

教师要认真领会教材中各个知识点的要点，合理选择教学素材，在教学法设计的过程中反复思考，把数形结合的思想很好地融合在一起。在教学中，教学设计要以学生的认知层次为基础，充分发挥教师的指导作用，阐明数形结合的概念，使学生更好地了解有關的知识，并逐渐打开“数”和“形”的隔阂，使学生掌握数形结合的本质。

比如，在讲授函数的知识点时，教师会给学生讲解一些基础的概念，比如自变量、因变量等，对于刚接触这些知识的同学而言是很难理解的。但是，如果用坐标系、描点等方法绘制出一个函数的图形，那么y坐标值随x的变化就会变得非常清晰，学生就可以轻松地掌握自变量、变量和函数的关系。在以后的一元二次函数的说明中，有很多知识都能有效地进行迁移。

1.以“数”化“形”

“数”与“形”在数学问题中存在密切的联系。“形”具有直观、图形化等特点，有助于学生建立熟悉的情境，把数量问题转换成图形问题，并对图形进行分析，从而得到相应的解决方案。从“数”向“形”转换的基本思路是：确定问题的已知数量与未知量，同时确定问题的类型;如果所给出的问题涉及函数、不等式、绝对值等问题，应首先构建符合题目的数学模型，并对图形的性质、几何意义进行分析，从而解决相应的问题。

2.以“形”变“数”

虽然图形具有直观等特点，但是在定量、精确表达有关问题时，一定要借助于“数”，才能使“形”向“数”转换，有效地运用现有的知识，准确地掌握图形的特性。首先对题干进行深入的分析，充分发掘问题背后的已知知识，并根据所给出的图表找到对应的数目关系，并在此基础上找到对应的数字关系、查找相关的关键信息，以求出该关系中的未知量，并运用简化的数量关系表达式来解决问题中的未知量。

3.“形”与“数”互变

在大多数数学问题中，要做到“数”变“形”，还要把“形”变“数”，最终实现“形”和“数”的动态转化，这就需要把“形”的直观性和“数”的严谨性结合起来。

例如，在解决函数问题时，要培养学生自觉作画的习惯，并充分利用现有的知识库，把一些重要的信息，如对称轴、增减区间、交点等，用数字的方式精确表示。通过两者的动态转化，使题目由繁入简，由抽象到具体。要使学生能够熟练地使用数形结合的思想，就必须在平时的教学中积极地渗透和引导。

三、初中数学课程教学中数形结合思想运用策略

（一）有理数教学中的贯穿

在数轴上，所有的有理数都有唯一确定的点。虽然是有理数，但也要求学生记住它在数轴上的位置，这才能让学生更好地理解有理数的特性和计算规律，为以后的考试做好准备。让学生更好地了解有理数的计算规律，帮助他们更好地感知到点的移动方向和距离对他们的移动产生的影响。简单来说，就是经过两次连续运动结果中点和原点的位置关系，进行两个数字和的符号确认，最终可以得到两个数字和的绝对值。

（二）方程教学中的融入

在解决实际问题时，常常要根据题意迅速掌握等量关系，并列出相应的公式，因此，学生必须事先根据题意画出相应的图表，这其中就包含了数形结合的思想。比如行程类问题的讲授过程中，教师要鼓励学生积极地运用数形结合的思想来画出相关的图形，然后迅速地抽取和列举出相应的等价关系，从而找到破解难题的出口，得出正确的答案。

（三）不等式教学中的应用

在讲解“一元一次不等式组”的问题时，亦同步引出有关问题情境，即杜鹃花的种植类问题，它的主要目的是帮助学生尽快弄清楚一元一次不等式和二元一次方程组的共同特点，也就是让学生能够独立地分析问题，并建立不等式群。在此过程中，教师也可以将不等式的解集用图形表示出来，使学生了解不等式具有无穷多解的特点。

（四）函数教学中的推广

例如，在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与P是点对应，因此，把图形与思维相结合，是函数教学的必然。换言之，通过图表来表达一个函数，可以让学生更好地了解函数的特性，从而为以后的数学研究和应用奠定基础。

又如，在介绍二次函数的时候，教师可以设计和展示一种图片：在一个公园的中央，有一个圆形的喷泉，在这个喷泉的中间，有一根圆柱。这时，从柱顶A点喷嘴向四面八方喷射水，水流从不同的方向呈弧形，为了让水流看起来更漂亮，出水口需要在（O）A 1.3m的地方，且最大高度是2.25m。如果不考虑其他的问题，至少要有多大的直径，才能保证水不会从池塘里流出来？如果水的抛物线和之前的问题一样，那么在3.5m的范围内，最大的水位是多少？在确定了问题后，再进行一系列的实务操作，即：观察分析问题的量，确定常量、变量的实际变化类型，弄清变量之间的关系，确定变量之间的关系，同时确定具体的函数关系;根据函数关系，对二次函数的极大值和极小值微积分，以确定其是否符合现实问题的需要。在这种设计和引导下，学生可以根据问题的数量变化，很快就画出生动的图形，并且利用二次函数的知识，来解决实际问题。在这个过程中，教师的主要任务就是让学生对数学问题的数学表达进行理性的理解，让他们了解到二次函数是一种有效的数学模型，可以帮助他们获得更多的数学知识、解题方法和技巧，并充分利用数学的价值。

四、反思与总结

（一）初中数学课程教学中数形结合思想的运用反思

在数学教学中，有效的实践活动是一个不可或缺的环节，也是拓展学生知识面和发展思维的一种重要途径。学生在练习有针对性的问题时，会逐渐认识到数形结合方式在解决相关的数学问题中所具有的优越性，并且逐渐地将其融入到自己的头脑中。因此，在习题时应注重选题的质量，要充分体现出原有知识点的整体性和新知识之间的关联性，突出数形结合的优势。数形组合提倡通过数字的交互作用来分析和处理一系列的实际问题，这是一个非常重要的数学概念，它具有广泛的应用范围和解决各种问题的能力，这对初中生来说是非常有意义的。所以，中学数学教师未来应该多加努力，通过设计一系列生动有趣的问题，来吸引学生的注意力，增强学生的学习兴趣，提高他们的数形结合能力，提高学生的创造力，从而提高他们的数学综合能力。

（二）初中数学课程教学中数形结合思想的运用总結

本文认为，数形结合思想具有直观、双向性强，的特征，要使其在数学教学中得到充分的应用，必须抓住教材，找到切入点，使思想的整体渗透有载体和支撑，提高学生运用数形结合思想分析问题、解决问题的能力。

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