九年一贯制学校“数与代数”小初衔接教学

俞妍

一、前期调查

（一）学情分析

小升初阶段是学习方法转变的关键期，小学“数与代数”的内容相对简单，学生通过机械记忆便可以认识和运用数。而初中的内容相对抽象，就更需要教师引导学生用形象的方法理解并运用抽象的知识。

（二）问卷调查

为了进一步了解学情，我通过询问、调查问卷的方式了解学生小学阶段对数的理解，主要针对以下三个问题。

1.你是如何理解正数、负数、自然数的？你知道他们的由来吗？

学生给出的答案大致如下：正数是比0大的数，负数是比0小的数，自然数是0以上的整数。教师追问：那0是自然数吗？学生回忆了一下，回答：是的，但当教师再次追问为什么呢？学生便答不出来了，教师提问：你们知道自然数的由来吗？学生摇摇头，表示只知道这些数是什么，不理解他们表示什么意义，也不知道他们的由来。

2.小学阶段，你们如何进行数的运算？除了运算法则外，是否有其他理解？

学生均回答：根据运算法则。教师追问：那你们记得当时是如何开始学习数的运算的吗？学生回答：一開始就是数数，后来用了算盘学习了加减法。教师追问：那乘法和除法呢？小部分同学能够答出乘法是由加法得来，除以一个数等于乘一个数的倒数。

3.你对数形结合思想方法有什么认识？小学阶段在哪些地方用到了数形结合思想方法？我们为何要学习数形结合？

学生听到问题后，先是一脸疑惑：什么是数形结合？教师提示：就是代数和图形相结合的方法。学生恍然大悟：小学很多地方都用到了数形结合，比如计算图形面积，画线段图解决问题等等。教师追问：为什么要学习数形结合？学生回答：为了解题。教师问：那数形结合思想方法对你解题的帮助大吗？学生表示不是特别大，有时候不用这种方法也可以解出来，有时候不理解这种方法的意义或者不太会使用。

二、课例研究

（一）研究背景

通过八年级上册第四章第二节内容的学习，由不能写成分数的形式，以及计算器的使用，得到了是无限不循环小数，是无理数，而有理数和无理数统称为实数，从而得到了实数的分类。接着通过数轴的活动得到实数与数轴上的点一一对应。强调有理数的绝对值、相反数、倒数的意义，有理数大小比较的方法，有理数的运算性质、运算律在实数范围内仍然适用。最后通过几个练习，巩固学生对实数的理解和运用。一节课下来，学生对知识点基本能掌握，但是对数的理解仍然不够透彻，对知识的记忆比较趋向于机械记忆，对于数域没有一个大局观的认识。大多数中学教师会比较注重新知识的授予，容易忽视对学生小学已有知识的巩固和调整，以至于学生对数与代数的知识体系不够理解。

（二）教学设计

本人通过反思以及与组内成员研讨，对本节课的结构做了些调整，整个反思和重构过程如下：

1.内容分析

实数这一节处在苏科版八年级上册第四章第三节，处在勾股定理，平方根，立方根之后，近似数之前。学生首先学习了勾股定理，出现了一些平方根，立方根数，进而学习无理数和实数。小学数学负数的引入，是“算术数”向“有理数”过渡的一大转折。而实数概念的学习是数系的再一次扩充，改变学生对数的概念和分类的理解，对整个数学的学习起着至关重要的作用。虽然实数的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位。它不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。

2.学情分析

学生是建立在学习了整数、小数、分数以及他们的比较方法，运算规律的基础上，学习了有理数，这是数系的第一次扩充，学生已经打破了第一次对数的认识。而无理数和实数的学习是在学习了有理数，勾股定理，平方根，立方根之后，是对数系的第二次扩充，学生已经有了一定的打破常规的观念。但是对抽象的无理数和实数的概念理解还有一定的困难，不能够准确分类各类数字，经常把类似于[36]，[1253]，这样开的尽方根的数归类于无理数。

解决方法：在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节知识作出了铺垫，老师应该引导学生联系旧知，运用极限思想和数形结合思想来掌握实数的相关知识，用学生熟悉的数轴来表示实数的位置，用数轴上的点与实数的一一对应来帮助学生理解并掌握实数的概念。用已经学过的小数和分数来确定实数所处的范围。

数学思想的传授不是一蹴而就的，需要老师和学生日积月累地探索学习，激发学生对数学的兴趣，提升数学知识与技能。

3.教学过程

（1）引入环节

采用问题串的形式开展引入环节。同学们小学阶段都学习过哪些数？我们用负数来表示怎样的量？同学们知道什么是自然数吗？学生能够说出正数大于0，负数小于0，自然数是0及以上的正数，但不知道他们的由来。可举例：我们把海拔以上1km记作+1km，但是海拔以下我们无法表述了，所以引入了符号“-”来表示相反意义的量。而自然数也是在人类生产和生活实践中产生的。远古时代，由于计数的需要，而产生了自然数。比如一个人一天打了10只兔子，就记作10，那么没打到兔子是不是就记作0？可能打到3.5只兔子吗？或者-3只兔子吗？通过问题串的形式，加深学生对正负数、自然数的理解。

接着用毕达哥拉斯学派希伯斯发现“新数”的故事引出无理数。

（2）新授课程

教学活动一：证明[2]不是有理数

假设[2]是分数，那它一定能表示成m/n的形式，而m，n互质（不互质就可以约分），两边平方，简化后变成2n2=m2，左边一定是偶数，奇数的平方是奇数，所以m一定是偶数，假设m=2s，可以得到2n2=4s2，两边约分，n2=2s2，所以n也一定是偶数，那么n和m就有公因数2，不能互质了，与我们的假设矛盾，所以[2]不是分数。并且跟学生强调，我们这里用到的，要证明一个结论，从这个结论的反面出发，推出矛盾的方法就叫作反证法，是我们今后经常会用到的一种方法。

教学活动二：估计[2]的大小

[2]到底是多大的数呢？首先联系学过的数轴和勾股定理，在数轴上表示出来。再引导学生联系分数，小数和平方根：

以此类推，逐步缩小范围，最后可以让学生用计算器，得到[2]的值1.41421356237309……

教学活动三：讲授无理数和实数的概念

给出无理数的概念：像[2]这样的无限不循环小数称为无理数。有理数分成有限小数和无限循环小数，其中分数和小数都可以化为有限小数和无限循环小数，而我们今天学习的无限不循环小数就叫作无理数，而对于带根号的数，如果开方开不尽，就是无理数，比如[3]，[5];但是像[25]=[5]，[36]=6，[0.25]=0.5这样能够开出来，化为有限小数和无限循环小数的数就是有理数。有理数和无理数统称为实数，用思维导图给出实数的分类。让学生课后自己复习实数的内容，画一张不同的思维导图作为作业。

教学活动四：实数与数轴的对应

提问：有理数可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的点是否表示有理数？学生易想到[2]在数軸上，却不是有理数。由此告诉学生每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上每一个点都可以像我们在这节课开始一样，把它用圆规转化成直角三角形的斜边，用勾股定理就可以知道它是一个根号下的数字，无论开不开的尽，它都是实数。换一种思维：我们确定数轴上一点0是实数，数轴上任一点可以对应成到0的距离，或是相反数，那么距离一定是一个实数，所以数轴上的点一定是与实数一一对应的。可用画图软件flash动态演示数轴上的点。

（3）课堂巩固

把下列各数填入相应的集合内：

有理数集合;无理数集合;正实数集合;负实数集合。

（4）课堂小结

复习知识的同时兼顾数学思想方法。温故这节课的过程，在证明不是分数的时候，我们用到了反证法，在数轴上表示的时候，我们用到了数形结合的方法，在估计大小的时候我们用到了无限逼近的极限方法。大自然中大多数其实都是无理数，学习无理数可以更好地理解数学，了解世界。在往后的数学学习中也会遇到很多无理数，比如在勾股定理的应用中，能更好地理解。

（三）课后反思

通过对教材的深度解析，以及对学生用谈话、问卷的方式进行采访，本人对《实数》这一课的教学重新构思、整合，主要从以下几个方面做了改变。

1.回顾旧知，丰富内涵

在对学情有了充分了解的基础之上，更加注重学生对旧知的掌握和理解，回顾正负数的意义，强调引入“-”来表示相反意义的量。通过问题串的形式，加深学生对正负数、自然数的理解，感受“数”对生活、生产带来的帮助。充分理解“何为数，数从何而来，数到哪去”。

2.故事引入，激发兴趣

用数学史的知识引入，引起学生的注意，激发学生学习兴趣和学习动机。希伯斯探索真理牺牲了，而在这样学术自由的社会中，鼓励学生勇于探索真理。另外，这个故事是为了引出无理数，带着学生探索无理数。

3.数形结合，理解实数

4.小组探究，感受极限

5.知识梳理，构建框架

具体讲授无理数的概念，从实数范围上做出归纳，帮助学生理解无理数和实数这两个抽象的概念，让学生画一张不同的思维导图作为作业，教师可以根据学生画的思维导图来分析学生的思维漏洞，检验学生对实数这一块内容的掌握程度。

三、研究结论

通过与学生的交流，以及通过《实数》这一课的课例研究，本人对九年一贯制学校“数与代数”小初衔接教学有了更深的认识。对于九年一贯制学校的教师，我们研究小初衔接教学有更多的优势，首先，我们小初合并，小学和初中教师之间可以有更多的交流，我们的学生也大多是从小学直升初中的，学生变动比较少，教师对学生了解更方便。所以，作为九年一贯制学校的教师，我们更有责任承担起小初衔接教学的责任，我认为，我们需要做到以下几点。

（一）深度解读，吃透教材

对学生进行小初衔接教学，需要教师自己吃透教材。教师需要了解学生小学六年学了什么，已经掌握了哪些知识，可以用这些知识解决哪些问题，初中与小学的知识之间有哪些是关联性比较大的，要让学生有亲切感，明白知识的学习是螺旋式的上升，波浪式的前进，不要让学生产生小初知识的割裂感，从而丧失学习兴趣。

（二）开展教研，积极沟通

对于九年一贯制学校的教师来说，小初教师的沟通是很方便的，可以让小学和初中的教师，尤其是六年级和初一的教师一起教研活动，多沟通，有利于初中教师更加理解学情，学生容易在哪些方面出现知识的偏差。同时，教师可以更加了解学生的心理状况，以便因材施教，更针对性地面对不同的学生，对交流方式做出调整。

（三）理解内涵，构建框架

小学阶段，学生对知识的理解偏于机械化，教师需要通过故事等形式让学生理解知识，理清知识的内涵和外延，构建完整的知识体系，这就需要教师灵活运用数形结合、极限等多种数学思想方法，在潜移默化中，引导学生学会运用这些方法。另外，可通过让学生画思维导图的形式帮助学生梳理知识，形成完整的知识脉络。

小初衔接教学是当下热门话题，具有很大的时代意义。做好小初衔接教学能够帮助学生更好地完成从小学到初中的过渡，这就需要我们教师深入研究教材，研究学生，我坚信小初衔接教学一定能够越办越好！