数的整除

陈永　陈春云

猜年龄

阿才班里来了一位新的数学老师。上午第一节课，陈老师走进教室，他眼角布满了皱纹，看起来年龄有点儿大。陈老师自我介绍完后，阿才好奇地问：“陈老师，请问您今年多大了呀？”

陈老师回答道：“我告诉你一些数学信息，你可以根据这些信息猜一猜。”

阿才被勾起了兴趣，说：“老师请出招。”

陈老师说：“我的年龄除以3，余数是2;除以5，余数是3;除以7，余数是4。”

阿才飞快地拿起纸和笔，边写边说：“让我想一想……您的年龄是53岁，对吗？”

陈老师笑着说：“完全正确！同学们，你们知道阿才是怎么算出来的吗？”

班长不甘示弱，站起来分析道：“我从‘除以7，余数是4的数中，找出符合‘除以5，余数是3的数——18。就是在‘7+4=11的基础上一直加7，直到所得的数满足‘除以5，余3。接下来，再在18的基础上一直加7和5的最小公倍数35，直到结果满足‘除以3，余2。18+35=53，53÷3=17……2，答案就是53。这种方法就叫‘逐步约束法，它通过慢慢缩小范围，最终得出答案。”

班长有条有理的回答，赢得了陈老师和同学们的阵阵掌声。

阿才的小姨开了一间鲜花店。一天，鲜花店进了一批鲜花，还接到了一个大订单。小姨要把鲜花扎成美丽的花束，忙得午饭都吃不上。

刚好阿才过来玩，小姨就让阿才帮忙把花扎成花束，要求每束花里的玫瑰、百合的枝数分别相同。阿才一听，这还不简单，左手拿了2枝玫瑰，右手拿了2枝百合就用彩带扎起来。阿才一连扎了20束花后，往花篮一看，惊呼道：“咦，怎么玫瑰剩下的多些，百合剩下的少些啊？小姨，小姨，百合不够用！”

小姨抬头看了下，说：“你啊，就没弄明白我的意思，你这个大马虎。不是玫瑰和百合的枝数一样，而是每束花的玫瑰、百合枝数分别相同。百合是比玫瑰少一些，你往每束花里多加些玫瑰不就可以了吗？”阿才听了小姨的解释恍然大悟。他数了数，发现一共有96枝玫瑰、72枝百合。

阿才拿起笔，唰地就在纸上用短除法求出了96和72的最大公因数——24。

阿才高兴地对小姨说：“我知道了，每束花里扎4支玫瑰和3支百合，这样一共能扎24束，花正好用完。而且每束花中玫瑰和百合的枝数都一样。”小姨听了十分高兴，问道：“如果我想把每束花扎大点儿，花的枝数多些，又该怎么办呢？”于是，阿才又拿起筆，在纸上迅速地列出了表格。

阿才指着表格，高兴地对小姨说：“嘿，方法还真多啊！你看，96的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，32，48，96;72的因数有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72;96和72的公因数有1，2，3，4，6，8，12，24。”

“每个公因数就代表一种扎法，如果不算最后一种，一共有7种不同的扎花方法。”看阿才说得头头是道，小姨连连点头，说：“为了让扎起来的花束好看些，我们就选第二种扎法吧，每束花里放8枝玫瑰、6枝百合。”

周末，六（2）中队组织全班少先队员一起去敬老院照顾老人。由于参加的人较多，老师决定将少先队员们分成两组，让班长负责一组，学习委员阿才负责一组，由两人带领各组队员分批前往敬老院。老师还安排了两个小组去敬老院的时间，班长的小组每隔2天去一次，阿才的小组每隔3天去一次。为了规划好时间，老师要求阿才做好活动时间表。这可难不倒我们的学习委员阿才。

活动从10月8日开始，这一天两个小组都去了敬老院。 10月8日到10月31日有24天，11月份共有30天，从10月8日到11月30日，共有24+30=54（天）。班长的小组每隔2天去一次，即每3天去一次。54÷3=18（次），班长的小组要去18次。同理，阿才的小组每隔3天去一次，即每4天去一次，54÷4≈14（次），阿才的小组要去14次。

如果两组人同时前往敬老院，会让场面变得过于混乱，所以阿才和班长还要约定好时间，分配好上午和下午的活动时间。如果两组人要在同一天前往敬老院，那这天与10月8日间隔的天数必须是4和3的公倍数，即间隔的天数是12的倍数。54÷12≈4（次），再加上10月8日的1次，所以他们一起去敬老院的情况一共有5次。

根据以上分析计算，阿才很快就做好了活动时间表。