数学运算素养在解析几何中的考查分析

阮金锋 赵祥枝

摘  要：数学运算素养是数学学科六大核心素养之一，是高考中考查的重要目标. 解析几何是考查数学运算素养的重要载体. 以2021年全国新高考Ⅰ卷第21题为例，探讨数学运算素养在解析几何中的考查，提出备考启示，优化备考复习.

关键词：数学运算素养；解析几何；考查分析；备考复习

一、问题提出

解析几何的特点是用代数的方法研究几何问题，解决解析几何问题的根本方法为坐标法，具体表现为：面对一个几何问题时，应该充分挖掘几何对象的几何特征，并将其转化为代数形式，通过代数运算得到一个代数结果，并将其翻译成几何结论.

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程. 数学运算素养表现为：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.

解析几何中的数学运算，是考虑解析几何的学科特点，借助几何条件和图形性质，为解决几何问题而进行的运算，而不是纯代数运算. 如何在解析几何中考查学生的运算素养是个值得思考与关注的课题. 笔者认为，解析几何中的运算素养考查，应该将解析几何的特点与数学运算素养的表现形式有机结合. 为此，文章以2021年全国新高考Ⅰ卷第21题为例，探讨数学运算素养在解析几何中的考查，提出备考启示，优化备考复习.

二、考查分析

题目  在平面直角坐标系[xOy]中，已知点[F1-17，0，][F217，0， MF1-MF2=2，] 点[M]的轨迹为[C.]

（1）求[C]的方程；

（2）设点[T]在直线[x=12]上，过[T]的两条直线分别交[C]于[A，B]两点和[P，Q]两点，且[TA · TB=][TP · TQ，] 求直线[AB]的斜率与直线[PQ]的斜率之和.

此题为2021年全国新高考Ⅰ卷解析几何压轴题，以双曲线为载体，考查双曲线的定义及标准方程、直线方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系，考查逻辑推理和数学运算等素养. 此题学生得分较低，特别是第（2）小题，学生表现为想不到、消不去、算不对. 第（2）小题该如何寻找解题突破口？文章从数学运算素养视角，结合解析几何的学科特点，进行考查分析.

1. 基于理解运算对象的考查

解析几何中的运算对象通常是點和线所对应的坐标与方程，以及长度、角度、面积等几何量. 因此，在理解解析几何问题的考查对象时，应该关注已知条件中的点和线，哪些是已知的、哪些是动态的；关注点的坐标、线的方程；关注点与线、线与线之间的位置关系.

此题中涉及的数学对象有点[T，A，B，P，Q，] 直线[x=12，] 直线[AB，PQ，] 双曲线[x2-y216=1 x≥1，] 以及[TA ? TB=TP ? TQ.] 其中，点[T，A，B，P，Q]是动点，直线[AB，PQ]为动直线. 在这些变化的量中，要关注到点[T]起主导作用，点[T]是直线[x=12]上的动点，其他点和直线都随着点[T]的变化而变化. 当点[T]变化时，直线[AB，PQ]也随之变化，[kAB，kPQ]也在变化，而目标中的[kAB+kPQ]的值是否变化？在解题中，对这个问题的思考能考查学生是否能够动态地理解数学运算对象，是否具有解决问题的策略：先猜想再验证. 将点[T]特殊化，当点[T]在[x]轴上时，由对称性，很容易得到[kAB+kPQ=0，] 并进行猜想. 先特殊探路，再一般验证，为繁杂的计算提供了方向.

2. 基于探究运算思路的考查

解析几何中的运算思路表现为：（1）坐标化，即把几何条件转化为代数方程，通过方程运算来解决问题；（2）数形互助，即由形启数，寻找运算的目标、思路和方法，再借助数对形进行定量研究和精准分析. 解决问题前，还应该考虑哪个点是主导点；哪条线是主导线；设什么，求什么；用单参还是双参对点或线进行表征；设线采用一般方程还是参数方程，正设还是反设；先求什么，后求什么；是否需要设而不求.

此题基于探究运算思路的考查表现为：怎样将几何条件[TA · TB=TP · TQ]坐标化；如何分析[TA ·][TB=TP · TQ]的结构特征；如何对[TA · TB=TP ·][TQ]进行不同表征. 从不同视角探究[TA · TB=TP ·][TQ，] 能得到不同的运算思路.

解法1：（距离视角）设点[T12，m，] 若过点[T]的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线[C]无公共点.

若过点[T]的直线的斜率存在，不妨设直线[AB]的方程为[y-m=k1x-12，] 则[y=k1x+m-12k1.]

联立[y=k1x+m-12k1，16x2-y2=16，] 消去[y]并整理，得

[k12-16x2+k12m-k1x+m-12k12+16=0.]

设点[Ax1，y1，Bx2，y2 x1>1，x2>1，]

由根与系数的关系，得

[x1+x2=k12-2k1mk12-16，x1x2=m-12k12+16k12-16.]

所以[TA · TB=1+k12 · x1-12 · x2-12=1+k12 ·][x1x2-x1+x22+14=m2+121+k12k12-16.]

设直线[PQ]的斜率为[k2，]

同理可得[TP · TQ=m2+121+k22k22-16.]

因为[TA · TB=TP · TQ，]

所以[m2+121+k12k12-16=m2+121+k22k22-16.]

整理，得[k12=k22，]

即[k1-k2k1+k2=0.]

显然，[k1-k2≠0.]

所以[k1+k2=0].

所以直线[AB]与直线[PQ]的斜率之和为[0].

【评析】将几何关系[TA · TB=TP · TQ]中的[TA，][TB， TP， TQ]看成4个距离，进行坐标化. 具体地，考虑到点[T]在这些点的变化中起主导作用，故将点[T]定为主导点，直线[AB]定为主导线，设点[T12，m，] 直线[AB：y-m=k1x-12，] 并引入双参[m，k1.] 联想弦长公式，先表示出[TA · TB，] 再根据对称结构，同理表示出[TP · TQ.] 结合设而不求思想，借助根与系数的关系解决问题. 此思路计算量较大，如果能像前文所说的动态理解运算对象，猜想出[kAB+kPQ=0，] 可为消元提供方向.

解法2：（向量视角）前同解法1.

[TA · TB=TA ? TB=x1-12x2-12+y1-my2-m=]

[1+k12x1x2-12x1+x2+14=m2+121+k12k12-16.]

设直线[PQ]的斜率为[k2，]

同理可得[TP · TQ=TP ? TQ=m2+121+k22k22-16.]

下同解法1.

【评析】以向量视角，对[TA · TB=TP · TQ]进行向量表征，用向量的数量积求解. 向量表征是解析几何运算对象表征的一大視角. 借助向量工具，将几何问题代数化，可以较好地解决问题.

解法3：（参数方程视角）设[T12，m，] 直线[AB]的参数方程为[x=12+tcosα，y=m+tsinα]（[t]为参数，[α]为直线AB的倾斜角），将直线的参数方程代入双曲线方程，得

[16cos2α-sin2αt2+16cosα-2msinαt-m2+12=0.]

由直线参数方程的几何意义及根与系数的关系，得

[TA · TB=t1t2=m2+12sin2α-16cos2α.]

因为点[A，B]在点[T]的同侧，

所以[t1t2>0.]

同理，[TP · TQ=m2+12sin2β-16cos2β]（[β]为直线[PQ]的倾斜角）.

由[TA · TB=TP · TQ，] 得

[m2+12sin2α-16cos2α=m2+12sin2β-16cos2β.]

化简，得[cos2α=cos2β.]

因为[cosα≠cosβ，]

所以[α+β=π.]

所以[k1+k2=0.]

【评析】从参数方程视角，根据直线参数方程的几何意义，对[TA · TB=TP · TQ]进行表征. 参数方程是研究曲线方程的基本工具，是表示曲线的另一种形式，它弥补了普通方程在表示曲线方面的不足，简化了运算.

观察[TA · TB=TP · TQ，] 发现其与平面几何中圆幂定理的形式相同，将[TA · TB=TP · TQ]表征为切割线定理，确定点[A，B，P，Q]四点共圆. 进而重新构建运算程序，借助圆的一般方程的代数特征进行运算推理，利用曲线系方程，得到解法4.

解法4：（四点共圆视角）设[T12，m，] 直线[AB]的方程为[y=k1x-12+m，] 即[k1x-y-12k1+m=0，] 直线[PQ]的方程为[y=k2x-12+m，] 即[k2x-y-12k2+][m=0，]

则过点[A，B，P，Q]的二次曲线方程为[k1x-y-12k1+m ·][k2x-y-12k2+m+λ16x2-y2-16=0.]

因为[TA · TB=TP · TQ，]

所以[A，B，P，Q]四点共圆.

所以方程[k1x-y-12k1+mk2x-y-12k2+m+λ ·][16x2-y2-16=0]表示过[A，B，P，Q]的圆.

所以方程中[xy]的系数和应该为0，

即[k1+k2=0.]

【评析】以四点共圆为视角进行表征，利用曲线系方程，结合圆的方程的特征：方程中[xy]的系数和应该为0，巧妙地解决了问题.

3. 基于优化运算方法的考查

重新审视解法1的思维过程，发现所设的直线[AB]的方程为[y-m=k1x-12，] 其中包含[x-12，] 而所求数学表达式[TA · TB=1+k12x1-12x2-12]中包含[x1-12]和[x2-12，] 调整运算程序，利用整体代换思想，将问题转化为关于[x-12]的二次方程，则所求结果即为两根之积，进而快速求解.

解法5：（整体代换）根据弦长公式，有

[TA · TB=1+k12x1-12x2-12.]

联立[y-m=k1x-12，16x2-y2=16，] 整理，得

[16-k12x-122+16-2k1mx-12-m2-12=0.]

由根与系数的关系，得

[x1-12x2-12=m2+12k12-16>0.]

所以[TA · TB=1+k12?x1-12x2-12=1+k12m2+12k12-16.]

下同解法1.

重新审视解法1的思维过程，发现[x1，x2]是方程[x2-116k1x-12+m2-1=0]的两根. 令[fx=x2-116 ·][k1x-12+m2-1，] 则[fx=1-k2116x-x1x-x2.] 将其与[TA · TB=1+k21?x1-12x2-12]的结构进行对照，可用赋值法，令[x=12，] 则[f12=1-k121612-x1 ·][12-x2.] 使两式产生关联，进而得解.

解法6：（赋值代换）由弦长公式，有

[TA · TB=1+k12x1-12x2-12.]

联立[y-m=k1x-12，16x2-y2=16，] 整理，得

[x2-116k1x-12+m2-1=0.]

令[fx=x2-116k1x-12+m2-1，] [x1，x2]是[fx]的两个零点，

则[fx=1-k1216x-x1x-x2.]

所以[f12=1-k1216 · 12-x112-x2.]

所以[TA · TB=1+k21?x1-12x2-12=161+k1216-k12 ?][f12=1+k12m2+12k12-16.]

下同解法1.

三、复习启示

解析几何是考查数学运算素养的重要载体，提升数学运算素养是解決高考解析几何压轴题的关键. 通过前面的分析，对于如何让数学运算素养在复习教学中落地，提出以下几点备考建议.

1. 关注运算对象，理解解析几何

在解题教学中，要注重引导学生对试题进行分析，从具体情境中提取数学对象，有意识地让学生关注运算对象、分析数学对象，并分别从已知与未知、几何与代数等角度理解运算对象，关注运算对象的变与不变，适当时可进行从特殊到一般的路径探究. 理解解析几何的本质特征——几何直观、几何问题代数化等，并对运算对象进行分析转化，探究运算思路. 笔者认为，通过对问题不断强化，巩固学生的解题意识，能循序渐进地提升学生的数学运算素养.

2. 关注运算思路，探究多种解法

在解题教学中，教师要注重从学生的认知出发，有意识地让学生关注运算思路，用多种视角表征数学对象，充分调动学生的活动经验、解题经验，利用几何直观，对运算对象进行转化、坐标化，探究通性、通法，探究多种解法. 探究各种解法的解题切入点，解题过程中的利与弊，以及各种解法的关联. 不断总结归纳表征途径（几何、代数、三角、向量等），探究一题多解、多解归一的本质，实现会一题、通一类，进而提升数学运算素养.

3. 关注运算策略，优化数学运算

在解题教学中，教师应该认真分析学生在解题过程中“卡顿”的原因，有意识地引导学生关注运算策略，优化运算路径和求解过程. 引导学生做到定性明方向、定量求准确；引导学生化繁为简，关注运算结构，充分利用消元思想优化运算，较好地解决问题. 引导学生做好解后反思，总结优化运算的途径与方法，提升数学运算素养.

参考文献：

［1］夏繁军. 解析几何综合问题求解策略综述［J］. 试题与研究，2014（29）：7-13.

［2］李昌官. 数学运算视角下的解析几何复习教学［J］. 中国数学教育（高中版），2021（6）：3-6，33.

［3］李维，吴统胜. 对2021年新高考全国Ⅰ卷第21题的解法探究与变式拓展［J］. 数学通讯（下半月），2021（8）：46-49.

［4］周炎. 深刻理解 深入挖掘 实施运算：以2021年新高考全国Ⅰ卷第21题为例［J］. 中学数学月刊，2021（9）：12-14.

［5］赵祥枝.“把运算当成推理来教”的教学案例及分析［J］. 数学通讯（下半月），2022（1）：24-28.

［6］阮金锋，缪向光. 数学核心素养的考查途径与教学启示：以2019年高考数学全国Ⅰ卷试题为例［J］. 福建中学数学，2019（9）：1-3.

收稿日期：2022-08-22

作者简介：阮金锋（1979— ），男，一级教师，主要从事高中数学教育与解题研究.