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数学运算素养在解析几何中的考查分析

2022-05-30阮金锋赵祥枝

中国数学教育(高中版) 2022年12期
关键词:解析几何

阮金锋 赵祥枝

摘  要:数学运算素养是数学学科六大核心素养之一,是高考中考查的重要目标. 解析几何是考查数学运算素养的重要载体. 以2021年全国新高考Ⅰ卷第21题为例,探讨数学运算素养在解析几何中的考查,提出备考启示,优化备考复习.

关键词:数学运算素养;解析几何;考查分析;备考复习

一、问题提出

解析几何的特点是用代数的方法研究几何问题,解决解析几何问题的根本方法为坐标法,具体表现为:面对一个几何问题时,应该充分挖掘几何对象的几何特征,并将其转化为代数形式,通过代数运算得到一个代数结果,并将其翻译成几何结论.

数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程. 数学运算素养表现为:理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.

解析几何中的数学运算,是考虑解析几何的学科特点,借助几何条件和图形性质,为解决几何问题而进行的运算,而不是纯代数运算. 如何在解析几何中考查学生的运算素养是个值得思考与关注的课题. 笔者认为,解析几何中的运算素养考查,应该将解析几何的特点与数学运算素养的表现形式有机结合. 为此,文章以2021年全国新高考Ⅰ卷第21题为例,探讨数学运算素养在解析几何中的考查,提出备考启示,优化备考复习.

二、考查分析

题目  在平面直角坐标系[xOy]中,已知点[F1-17,0,][F217,0, MF1-MF2=2,] 点[M]的轨迹为[C.]

(1)求[C]的方程;

(2)设点[T]在直线[x=12]上,过[T]的两条直线分别交[C]于[A,B]两点和[P,Q]两点,且[TA · TB=][TP · TQ,] 求直线[AB]的斜率与直线[PQ]的斜率之和.

此题为2021年全国新高考Ⅰ卷解析几何压轴题,以双曲线为载体,考查双曲线的定义及标准方程、直线方程,以及直线与圆锥曲线的位置关系,考查逻辑推理和数学运算等素养. 此题学生得分较低,特别是第(2)小题,学生表现为想不到、消不去、算不对. 第(2)小题该如何寻找解题突破口?文章从数学运算素养视角,结合解析几何的学科特点,进行考查分析.

1. 基于理解运算对象的考查

解析几何中的运算对象通常是點和线所对应的坐标与方程,以及长度、角度、面积等几何量. 因此,在理解解析几何问题的考查对象时,应该关注已知条件中的点和线,哪些是已知的、哪些是动态的;关注点的坐标、线的方程;关注点与线、线与线之间的位置关系.

此题中涉及的数学对象有点[T,A,B,P,Q,] 直线[x=12,] 直线[AB,PQ,] 双曲线[x2-y216=1 x≥1,] 以及[TA ? TB=TP ? TQ.] 其中,点[T,A,B,P,Q]是动点,直线[AB,PQ]为动直线. 在这些变化的量中,要关注到点[T]起主导作用,点[T]是直线[x=12]上的动点,其他点和直线都随着点[T]的变化而变化. 当点[T]变化时,直线[AB,PQ]也随之变化,[kAB,kPQ]也在变化,而目标中的[kAB+kPQ]的值是否变化?在解题中,对这个问题的思考能考查学生是否能够动态地理解数学运算对象,是否具有解决问题的策略:先猜想再验证. 将点[T]特殊化,当点[T]在[x]轴上时,由对称性,很容易得到[kAB+kPQ=0,] 并进行猜想. 先特殊探路,再一般验证,为繁杂的计算提供了方向.

2. 基于探究运算思路的考查

解析几何中的运算思路表现为:(1)坐标化,即把几何条件转化为代数方程,通过方程运算来解决问题;(2)数形互助,即由形启数,寻找运算的目标、思路和方法,再借助数对形进行定量研究和精准分析. 解决问题前,还应该考虑哪个点是主导点;哪条线是主导线;设什么,求什么;用单参还是双参对点或线进行表征;设线采用一般方程还是参数方程,正设还是反设;先求什么,后求什么;是否需要设而不求.

此题基于探究运算思路的考查表现为:怎样将几何条件[TA · TB=TP · TQ]坐标化;如何分析[TA ·][TB=TP · TQ]的结构特征;如何对[TA · TB=TP ·][TQ]进行不同表征. 从不同视角探究[TA · TB=TP ·][TQ,] 能得到不同的运算思路.

解法1:(距离视角)设点[T12,m,] 若过点[T]的直线的斜率不存在,此时该直线与曲线[C]无公共点.

若过点[T]的直线的斜率存在,不妨设直线[AB]的方程为[y-m=k1x-12,] 则[y=k1x+m-12k1.]

联立[y=k1x+m-12k1,16x2-y2=16,] 消去[y]并整理,得

[k12-16x2+k12m-k1x+m-12k12+16=0.]

设点[Ax1,y1,Bx2,y2 x1>1,x2>1,]

由根与系数的关系,得

[x1+x2=k12-2k1mk12-16,x1x2=m-12k12+16k12-16.]

所以[TA · TB=1+k12 · x1-12 · x2-12=1+k12 ·][x1x2-x1+x22+14=m2+121+k12k12-16.]

设直线[PQ]的斜率为[k2,]

同理可得[TP · TQ=m2+121+k22k22-16.]

因为[TA · TB=TP · TQ,]

所以[m2+121+k12k12-16=m2+121+k22k22-16.]

整理,得[k12=k22,]

即[k1-k2k1+k2=0.]

显然,[k1-k2≠0.]

所以[k1+k2=0].

所以直线[AB]与直线[PQ]的斜率之和为[0].

【评析】将几何关系[TA · TB=TP · TQ]中的[TA,][TB, TP, TQ]看成4个距离,进行坐标化. 具体地,考虑到点[T]在这些点的变化中起主导作用,故将点[T]定为主导点,直线[AB]定为主导线,设点[T12,m,] 直线[AB:y-m=k1x-12,] 并引入双参[m,k1.] 联想弦长公式,先表示出[TA · TB,] 再根据对称结构,同理表示出[TP · TQ.] 结合设而不求思想,借助根与系数的关系解决问题. 此思路计算量较大,如果能像前文所说的动态理解运算对象,猜想出[kAB+kPQ=0,] 可为消元提供方向.

解法2:(向量视角)前同解法1.

[TA · TB=TA ? TB=x1-12x2-12+y1-my2-m=]

[1+k12x1x2-12x1+x2+14=m2+121+k12k12-16.]

设直线[PQ]的斜率为[k2,]

同理可得[TP · TQ=TP ? TQ=m2+121+k22k22-16.]

下同解法1.

【评析】以向量视角,对[TA · TB=TP · TQ]进行向量表征,用向量的数量积求解. 向量表征是解析几何运算对象表征的一大視角. 借助向量工具,将几何问题代数化,可以较好地解决问题.

解法3:(参数方程视角)设[T12,m,] 直线[AB]的参数方程为[x=12+tcosα,y=m+tsinα]([t]为参数,[α]为直线AB的倾斜角),将直线的参数方程代入双曲线方程,得

[16cos2α-sin2αt2+16cosα-2msinαt-m2+12=0.]

由直线参数方程的几何意义及根与系数的关系,得

[TA · TB=t1t2=m2+12sin2α-16cos2α.]

因为点[A,B]在点[T]的同侧,

所以[t1t2>0.]

同理,[TP · TQ=m2+12sin2β-16cos2β]([β]为直线[PQ]的倾斜角).

由[TA · TB=TP · TQ,] 得

[m2+12sin2α-16cos2α=m2+12sin2β-16cos2β.]

化简,得[cos2α=cos2β.]

因为[cosα≠cosβ,]

所以[α+β=π.]

所以[k1+k2=0.]

【评析】从参数方程视角,根据直线参数方程的几何意义,对[TA · TB=TP · TQ]进行表征. 参数方程是研究曲线方程的基本工具,是表示曲线的另一种形式,它弥补了普通方程在表示曲线方面的不足,简化了运算.

观察[TA · TB=TP · TQ,] 发现其与平面几何中圆幂定理的形式相同,将[TA · TB=TP · TQ]表征为切割线定理,确定点[A,B,P,Q]四点共圆. 进而重新构建运算程序,借助圆的一般方程的代数特征进行运算推理,利用曲线系方程,得到解法4.

解法4:(四点共圆视角)设[T12,m,] 直线[AB]的方程为[y=k1x-12+m,] 即[k1x-y-12k1+m=0,] 直线[PQ]的方程为[y=k2x-12+m,] 即[k2x-y-12k2+][m=0,]

则过点[A,B,P,Q]的二次曲线方程为[k1x-y-12k1+m ·][k2x-y-12k2+m+λ16x2-y2-16=0.]

因为[TA · TB=TP · TQ,]

所以[A,B,P,Q]四点共圆.

所以方程[k1x-y-12k1+mk2x-y-12k2+m+λ ·][16x2-y2-16=0]表示过[A,B,P,Q]的圆.

所以方程中[xy]的系数和应该为0,

即[k1+k2=0.]

【评析】以四点共圆为视角进行表征,利用曲线系方程,结合圆的方程的特征:方程中[xy]的系数和应该为0,巧妙地解决了问题.

3. 基于优化运算方法的考查

重新审视解法1的思维过程,发现所设的直线[AB]的方程为[y-m=k1x-12,] 其中包含[x-12,] 而所求数学表达式[TA · TB=1+k12x1-12x2-12]中包含[x1-12]和[x2-12,] 调整运算程序,利用整体代换思想,将问题转化为关于[x-12]的二次方程,则所求结果即为两根之积,进而快速求解.

解法5:(整体代换)根据弦长公式,有

[TA · TB=1+k12x1-12x2-12.]

联立[y-m=k1x-12,16x2-y2=16,] 整理,得

[16-k12x-122+16-2k1mx-12-m2-12=0.]

由根与系数的关系,得

[x1-12x2-12=m2+12k12-16>0.]

所以[TA · TB=1+k12?x1-12x2-12=1+k12m2+12k12-16.]

下同解法1.

重新审视解法1的思维过程,发现[x1,x2]是方程[x2-116k1x-12+m2-1=0]的两根. 令[fx=x2-116 ·][k1x-12+m2-1,] 则[fx=1-k2116x-x1x-x2.] 将其与[TA · TB=1+k21?x1-12x2-12]的结构进行对照,可用赋值法,令[x=12,] 则[f12=1-k121612-x1 ·][12-x2.] 使两式产生关联,进而得解.

解法6:(赋值代换)由弦长公式,有

[TA · TB=1+k12x1-12x2-12.]

联立[y-m=k1x-12,16x2-y2=16,] 整理,得

[x2-116k1x-12+m2-1=0.]

令[fx=x2-116k1x-12+m2-1,] [x1,x2]是[fx]的两个零点,

则[fx=1-k1216x-x1x-x2.]

所以[f12=1-k1216 · 12-x112-x2.]

所以[TA · TB=1+k21?x1-12x2-12=161+k1216-k12 ?][f12=1+k12m2+12k12-16.]

下同解法1.

三、复习启示

解析几何是考查数学运算素养的重要载体,提升数学运算素养是解決高考解析几何压轴题的关键. 通过前面的分析,对于如何让数学运算素养在复习教学中落地,提出以下几点备考建议.

1. 关注运算对象,理解解析几何

在解题教学中,要注重引导学生对试题进行分析,从具体情境中提取数学对象,有意识地让学生关注运算对象、分析数学对象,并分别从已知与未知、几何与代数等角度理解运算对象,关注运算对象的变与不变,适当时可进行从特殊到一般的路径探究. 理解解析几何的本质特征——几何直观、几何问题代数化等,并对运算对象进行分析转化,探究运算思路. 笔者认为,通过对问题不断强化,巩固学生的解题意识,能循序渐进地提升学生的数学运算素养.

2. 关注运算思路,探究多种解法

在解题教学中,教师要注重从学生的认知出发,有意识地让学生关注运算思路,用多种视角表征数学对象,充分调动学生的活动经验、解题经验,利用几何直观,对运算对象进行转化、坐标化,探究通性、通法,探究多种解法. 探究各种解法的解题切入点,解题过程中的利与弊,以及各种解法的关联. 不断总结归纳表征途径(几何、代数、三角、向量等),探究一题多解、多解归一的本质,实现会一题、通一类,进而提升数学运算素养.

3. 关注运算策略,优化数学运算

在解题教学中,教师应该认真分析学生在解题过程中“卡顿”的原因,有意识地引导学生关注运算策略,优化运算路径和求解过程. 引导学生做到定性明方向、定量求准确;引导学生化繁为简,关注运算结构,充分利用消元思想优化运算,较好地解决问题. 引导学生做好解后反思,总结优化运算的途径与方法,提升数学运算素养.

参考文献:

[1]夏繁军. 解析几何综合问题求解策略综述[J]. 试题与研究,2014(29):7-13.

[2]李昌官. 数学运算视角下的解析几何复习教学[J]. 中国数学教育(高中版),2021(6):3-6,33.

[3]李维,吴统胜. 对2021年新高考全国Ⅰ卷第21题的解法探究与变式拓展[J]. 数学通讯(下半月),2021(8):46-49.

[4]周炎. 深刻理解 深入挖掘 实施运算:以2021年新高考全国Ⅰ卷第21题为例[J]. 中学数学月刊,2021(9):12-14.

[5]赵祥枝.“把运算当成推理来教”的教学案例及分析[J]. 数学通讯(下半月),2022(1):24-28.

[6]阮金锋,缪向光. 数学核心素养的考查途径与教学启示:以2019年高考数学全国Ⅰ卷试题为例[J]. 福建中学数学,2019(9):1-3.

收稿日期:2022-08-22

作者简介:阮金锋(1979— ),男,一级教师,主要从事高中数学教育与解题研究.

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