指向深度学习的单元教学设计
2022-05-30刘琦琦吴立宝宋书宁
刘琦琦 吴立宝 宋书宁
摘 要：在整体视域下规划教学，将碎片化的教学内容连续进阶地教授给学生. 教师以“抛物线及其标准方程”为例，通过单元教学内容分析、学情分析、教学重点和难点分析确定单元核心任务，根据核心任务明确单元教学目标与“抛物线”第1课时的学习目标，立足單元目标与课时目标分解核心任务. 学生在系统化的学习过程中形成结构化关联的知识内容，促进深度学习的发生.
关键词：深度学习；单元教学设计；抛物线
单元教学是促进学生深度学习发生的重要途径，有利于整体规划学生核心素养的发展，有利于借助大背景、大问题、大思路和大框架进行高观点统领、思想性驾驭和结构化关联，是全面提升教学质量和提高教学效率的必经之路.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出，优化课程结构、突出主线、精选内容，明确要求突出主线，凸显数学内在逻辑和思想方法. 同时，在实施建议部分提出整体把握数学课程，采用主题或单元教学的方式来设计和实施教学，意在从整体高度上把握教学内容，融通数学知识整体脉络，从大单元视角下分析教学内容，整体规划教学环节，分步实施课时计划，在间断的课时中连续进阶地提升学生的综合能力，发展学生的数学核心素养.
基于全面实现数学育人目标的教学，必须强调数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性和思维的系统性. 单元教学设计就是用整体观、联系观和发展观进行整个单元的教学设计，突出大概念和大单元的思想，核心是促进学生完善知识体系，引导学生发展思维，促进学生提高能力. 系统化的单元教学设计需要整体规划单元教学任务，把握学情，紧抓核心任务设计，精准定位单元教学目标，设计结构化单元学习活动，在统一背景下关联课时教学活动，最后进行单元教学反思，不断提升单元教学设计能力.
一、单元教学任务分析
单元教学任务分析是进行单元教学设计的前提，主要包含单元教学内容分析、学情分析、单元教学重点和难点分析、单元核心任务分析四个部分，结合“圆锥曲线的方程”单元确定单元教学任务，为后续单元教学设计做铺垫.
1. 单元教学内容分析
选取人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册第三章“圆锥曲线的方程”，本单元按照椭圆、双曲线、抛物线的结构编排. 圆锥曲线内容具有丰富的历史背景，历史上通过用平面截圆锥，并改变平面与圆锥的角度得到三种圆锥曲线，教学时可以充分利用史料激发学生的学习兴趣.“圆锥曲线的方程”单元的教学内容是几何与代数主线部分的难点知识，在圆锥曲线知识学习前安排了“直线与圆的方程”单元，使学生初步接触了解析几何的研究方式和研究方法.“椭圆”是“圆锥曲线的方程”单元的起始课，教材中的编排顺序依次是椭圆、双曲线和抛物线，并且三部分教学内容是同构的，在研究方法上也具有统一性和延伸性. 遵循“分析背景—探索几何特征—建立坐标系—研究标准方程—根据标准方程研究圆锥曲线的几何性质”的研究顺序，在教学过程中要注意椭圆起始课的示范作用，将重心放在椭圆的学习过程中重点建构研究思路与方法. 后续学习双曲线与抛物线时，可以直接类比和迁移椭圆的学习经验.
2. 学情分析
学生在初中初步接触过直线与圆的位置关系，对解析几何的学习有初步了解，但是并没有用系统的数学语言表达直线与圆的方程. 同时，学生在初中阶段学习过二次函数及其图象，主要是从函数的角度认识抛物线. 而在高中阶段的学习过程中，学生需要从数与形两个角度认识曲线，学生对于通过作图与建立坐标系研究几何图形也有一定的基础，在圆锥曲线学习之前学生已经完成“直线与圆的方程”单元的学习，在该单元的学习过程中充分渗透了数形结合思想与坐标法的研究方法，这为本单元的学习奠定了基础.
3. 单元教学重点和难点分析
单元教学重点：通过分析圆锥曲线的几何特征，建立合适的坐标系，运用数形结合思想和坐标法将图形中的几何关系解析化，推导出圆锥曲线的标准方程.结合标准方程和几何图形推导圆锥曲线的几何性质，经历观察、类比、分析、猜想和证明的过程，发展学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等素养.
单元教学难点：“圆锥曲线的方程”单元，椭圆、双曲线和抛物线的内容是同构的，研究方法具有一致性，因此建立本单元的研究框架是关键点也是难点. 此外，圆锥曲线几何特征的发现及将几何特征数学化表达是学生由直观过渡到抽象的难点.
4. 单元核心任务分析
单元教学尝试以“大概念引领，大任务驱动”的方式设计，帮助学生实现知识建构. 单元教学中有四条主线：知识主线与活动主线是明线，思想方法主线与素养主线是暗线. 在设计教学任务时，要注意四条主线的核心任务相辅相成.“圆锥曲线的方程”单元的核心任务有三个：一是以圆锥曲线知识内容为载体建立研究解析几何学习的大框架，经历由“几何特征—标准方程—通过方程研究性质—应用”的过程，感悟解析几何学习的基本过程，积累基本活动经验；二是充分利用数形结合思想和坐标法研究几何问题，掌握用代数方法解决几何问题的基本方法与策略；三是针对学生数学核心素养的发展，在发现圆锥曲线几何特征的过程中发展学生的直观想象素养，在根据标准方程推导性质时着重发展学生的逻辑推理素养.
二、单元教学目标确定
1. 单元整体教学目标
教学目标1：了解圆锥曲线的历史背景和现实背景，初步了解圆锥曲线知识内容的统一性，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
教学目标2：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，通过动手作图观察几何图形，学会运用数学语言描述椭圆的几何特征，掌握椭圆的定义和标准方程，经历由标准方程和几何特征推理椭圆几何性质的基本过程，掌握椭圆的简单几何性质，总结学习椭圆的基本经验，梳理学习椭圆的基本思路，建构统一的学习大框架.
教学目标3：类比椭圆学习的基本过程，建立学习双曲线和抛物线的基本框架，了解双曲线与抛物线的定义、几何图形和标准方程，并推导它们的简单几何性质.
教学目标4：在圆锥曲线的方程的学习过程中，类比椭圆的学习经验，迁移学习，充分感悟数形结合思想，体会运用坐标法解决几何问题的基本过程，建立研究解析几何问题的基本框架，积累基本活动经验.
教学目标5：了解圆锥曲线的简单应用，在实际情境中運用圆锥曲线的定义、标准方程和性质，发现问题、提出问题、分析问题和解决问题.
2. 课时学习目标分解
学习目标1：类比椭圆和双曲线的学习过程，明确抛物线的研究思路，掌握研究曲线方程的基本过程，迁移学习经验到其他几何问题的解决中.
学习目标2：经历抛物线的作图过程，观察抛物线的几何特征，用几何语言描述后再用数学语言刻画抛物线的几何特征，体会数形结合思想在研究几何问题中的重要作用.
学习目标3：运用坐标法解决几何问题，掌握通过建立坐标系解决几何问题的方式和方法，提升学生解决问题的能力.
学习目标4：利用抛物线的定义和标准方程，从具体问题入手解决问题，掌握利用定义解决问题的方法，提高学生的问题解决能力，发展学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等素养.
三、单元学习活动设计
1. 单元学习活动框架
“圆锥曲线的方程”单元内容是同构的，均是按照“曲线的定义—标准方程—几何性质—综合应用”的顺序展开，单元基本活动框架按照历史背景统一研究框架，直观观察图形和用数学语言描述得出圆锥曲线的定义及其标准方程，通过图象和方程推理几何性质，最后解决问题，将所学知识迁移应用，如图1所示.
单元学习活动中包含三个大部分，即了解圆锥曲线的历史背景、探究圆锥曲线的定义及其标准方程、推导圆锥曲线的性质及应用. 将每个部分的核心任务分解成小任务，在分步实施教学活动中实现小任务，通过完成小任务达成教学目标. 单元学习任务分解如表1所示.
2.“抛物线”课时学习活动设计
深度学习指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间联系，并能够将已有的知识迁移到新的情境中，做出决策和解决问题的学习. 基于此，将深度学习归结为四个基本特征，即能够批判地理解知识、主动进行知识建构、迁移应用知识解决问题、学会知识后进行信息整合并综合反思学习全过程. 抛物线的课时环节基于此展开设计，如图2所示.
环节1：批判理解，回顾反思学习.
师：前面我们已经通过改变平面与圆锥母线的夹角得到了三种圆锥曲线，统一了圆锥曲线的历史情境.对于椭圆和双曲线的学习，同学们回顾一下，我们主要研究了圆锥曲线的哪些内容？主要运用什么方法来研究曲线呢？
师：对于抛物线的研究，你有什么想法？准备研究关于抛物线的哪些知识？
学生活动：学生回忆了前面的学习经验. 首先，研究圆锥曲线要建立定义；其次，研究圆锥曲线要探究圆锥曲线的标准方程，并研究圆锥曲线的性质；最后，研究圆锥曲线要进行应用，从而解决问题. 在研究圆锥曲线的定义和标准方程时，主要经历用代数方法解决几何问题的过程，全程贯穿数形结合的思想方法. 用数学语言表达图形中的数量关系是关键.
【设计意图】用历史上发现圆锥曲线的情境引入圆锥曲线的教学，通过情境统一圆锥曲线的由来，引导学生回忆学习椭圆和双曲线的方法，在起始课建立的圆锥曲线研究大框架引领下启发学生类比迁移，展开对抛物线定义和标准方程的研究.
环节2：知识建构，自主建构新知.
师：同学们，如果动点[M]到定点[F]的距离与到定直线[l]（不过点[F]）的距离之比为[k]，通过椭圆与双曲线的学习我们发现以下结论：当[0
师：下面请同学们分小组探究. 如图3，直线[a，][b，c，d，e，g，h，i，j]为一组互相平行的直线，直线[l]垂直于各直线，垂足分别为[A，B，C，D，E，G，H，]
[I，J]. 点[F]为直线[e]上一定点，且点[F]在直线[l]外. 折叠使点[A，B，C，D，E，G，H，I，J]分别与点[F]重合，折痕分别与直线[a，b，c，d，e，g，h，i，j]相交于点[A1，B1，C1，D1，E1，G1，H1，I1，J1，] 将交点连接起来. 观察得到的曲线是什么形状？有什么几何特征？你能描述这些点满足的几何条件吗？
学生活动：学生积极参与活动，通过思考发现了折纸背后蕴藏的几何关系. 但是也有少部分学生不能清晰地描述出来.
【设计意图】通过前面椭圆和双曲线内容的学习，自然引出本节课抛物线内容的学习. 一方面，加深了学生对圆锥曲线定义的内在统一性的理解；另一方面，为后续学生活动的生成奠定基础. 抛物线是到定点与到定直线距离相等的点的轨迹，设计学生活动让学生在动手操作的过程中感受几何图形的数量关系，强化对抛物线概念的理解.
师：下面用GeoGebra软件作出动点的轨迹. 取定点[F，] 直线[l]是不经过点[F]的定直线，点[H]是直线[l]上的任意一点，过点[H]作[MH⊥l]，线段[FH]的垂直平分线[m]交[MH]于点[M]，拖动点[H]，点[M]随之运动. 观察点[M]的轨迹形状，形成抛物线如图4所示.
学生活动：学生跟着教师的作图思路，进一步明确了抛物线的形成过程，精确地得出了抛物线的几何关系.
【设计意图】在教师的演示活动中，让学生通过观察感受几何图形中“量”与“关系”的变化，使他们感受到通过归纳有限个点的变化可以发现无限个点的变化，但是无限个点的直观呈现有赖于信息技术的使用，为学生最终理解动点生成抛物线奠定基础.
师：通过上述作图及用GeoGebra软件的演示我们可以发现，在点[M]随点[H]运动的过程中，始终有[MF=MH]. 因此，我们把平面内与一个定点[F]和一条直线[l]（[l]不过点[F]）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点[F]叫做抛物线的焦点，直线[l]叫做抛物线的准线.
师：类比椭圆和双曲线标准方程的建立过程，求曲线的标准方程的步骤是什么？
师：如果我们设焦点[F]到准线的距离为常数[p（p>0）]，你认为如何建立坐标系可能使所求抛物线的方程形式更简单？
学生活动：学生经过激烈讨论得出两种方案. 一是以垂直于准线[l]的线段[FK]所在的直线为[x]轴，以准线[l]所在的直线为[y]轴；二是以垂直于准线[l]的线段[FK]所在的直线为[x]轴，以垂直于线段[FK]且过线段FK的中点[O]的直线为[y]轴. 如图5所示.
师：在建立统一的坐标系后，得到了开口向右的抛物线的标准方程，请同学们思考抛物线的标准方程还有哪些形式，将其填在表2中.
【设计意图】在前面学习完椭圆和双曲线后，学生已经有了类似的推导经历. 因此在推导抛物线的标准方程时，对于如何建立坐标系学生是有想法的. 这时，教师引导学生经历这一自主探究过程，最终建立简洁的抛物线的标准方程.
师：类比椭圆的标准方程，谈谈抛物线的标准方程有什么特点，其与椭圆的标准方程有哪些异同点.
师：你能说明二次函数[y=ax2a≠0]的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标和准线方程.
学生活动：学生描述的不同点更多的是从方程的形式和几何关系的角度出发；对于相同点，学生提到研究方向和定义等的相似.
【设计意图】引导学生对比椭圆和抛物线的标准方程的推导过程，不仅锻炼了学生的类比学习能力，还为后续抛物线的性质研究做好了铺垫. 联系二次函数强化学生对抛物线定义的理解.
环节3：迁移应用，例题示范练习.
例1 （1）已知抛物线的标准方程是[y=6x2]，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是[F0，-2]，求它的标准方程.
例2 一种卫星接收天线如图6所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处. 已知接收天线的口径（直径）为4.8 m，深度为1 m，尝试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
【设计意图】例1是抛物线的定义的简单应用，强化学生对抛物线的焦点和准线的认识，并在数学情境中进行运用. 例2是现实情境中的抛物线的应用，不仅说明抛物线在生活中是常见的，还引导学生应用数学知识解决生活中的问题.
环节4：信息整合，学习系统总结.
教师引导学生总结本节课的关键与思路：“总—分”的形式. 首先，本节课明确了研究思路，设置复习引入环节明确本节课的研究框架，批判理解之前所学内容，并有意识地沿袭前期的学习经验；其次，通过在活动中引导学生观察图形中的数量关系，为建构抛物线的定义做铺垫，启发学生建立平面直角坐標系运用坐标法确定抛物线的标准方程，过程中不断启发学生自主发现数量关系探究抛物线的标准方程，过程中贯穿数形结合的思想方法和坐标法；再次，加强知识的迁移应用，引导学生总结在数学问题解决过程中用到的方式和方法，发现提出问题、分析问题和解决问题的思路，总结经验；最后，引导学生反思整个学习活动过程，总结经验和不足之处等.
四、单元教学反思
1. 单元教学注重教学内容的系统性与研究思路的一致性
单元教学设计站在整体的高度，综合考虑学生过去、现在和未来的不同学习阶段，对一个相对完整的数学内容进行整体设计，帮助学生真正理解学习内容，促进学生能力和素养的发展. 这不仅符合数学知识的内在发展逻辑和教材编写的主线化要求，还是落实数学核心素养的良好载体和促进学生深度学习的重要手段. 从数学知识角度来看，单元教学设计规划要注意单元背景的统一性、定义的统一性和研究框架的一致性. 在进行单元教学时，要先对单元内容有整体性的把握，抓住单元内容的统一性，从统一性入手建立本单元学习的整体框架. 单元学习框架是单元学习的“骨架”，在“圆锥曲线的方程”单元教学中，建立的框架“单元统一的背景—曲线的定义与标准方程—曲线的性质与应用”时刻在指引单元整体教学，使得单元学习具有方法的一致性和延伸性.
2. 单元教学注意教学环节设计中核心素养的连续性和进阶性
从核心素养的角度来看，单元整体视角下的教学设计更有利于促进学生核心素养的连续进阶发展. “圆锥曲线的方程”单元的教学设计一环扣一环，抛物线承接椭圆与双曲线的研究思路，利用几何直观推理数学定义，着重发展学生的直观想象和逻辑推理素养.在批判理解环节，注意引导学生从已有知识出发，回顾前期的学习经验，从认知起点提出本节课的研究问题，确定研究思路；在新知建构环节，学生能否在动手作图活动中观察并分析抛物线图形中蕴含的数量关系，以及这些数量关系是否科学、严谨，是教学前期重点考虑的问题. 迁移应用是检验学生学习成果的重要环节，在应用过程中要注意问题的提出与解决，重在方法的归纳. 信息整合是使学习形成闭环、内化到学生原有知识经验的环节，需要从知识、方法、核心素养等多角度总结升华，建构完整的知识系统. 每个教学环节的设计有其进阶性，综合学生用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达的能力，进阶地发展学生的数学核心素养，促进学生深度学习的发生.
3. 单元教学关注数学知识学习的前后关联性
单元教学设计是在教师深刻分析教材的基础上对教学内容的整合，是系统化和结构化的教学设计. 每个教学环节经过深度学习的渗透，在教学中更加关注学生知识的整体性和系统性. 单元教学设计关注学生数学学习的前后关联性，教会学生用旧知识解决新知识. 在单元教学视角下设计的教学活动中，教师先引导学生思考如何将前面学习椭圆和双曲线有关知识的经验进行总结，并通过问题引导学生思考在椭圆和双曲线的学习中主要研究圆锥曲线的哪些内容，以及主要运用什么方法研究圆锥曲线，试图启发学生将解析几何的研究方法总结升华. 接着，教师利用椭圆、双曲线和抛物线知识的关联性，将“建构定义—建立方程—研究性质”的研究思路类比迁移到抛物线的学习中，启发学生思考抛物线的研究内容和研究方法，让学生提出将要研究的问题，使得本节课的数学探究是自然的，也是学生好奇并感兴趣的.
参考文献：
［1］曾荣. 单元教学的整体设计与课时实施：以“圆锥曲线”单元教学为例［J］. 数学通报，2021，60（3）：33-37.
［2］章建跃. 数学学科核心素养导向的“单元—课时”教学设计［J］. 中学数学教学参考（上旬），2020（5）：5-12.
［3］张嘉玲.“函数”单元结构化教学设计［J］. 中国数学教育（高中版），2022（1 / 2）：39-44.
［4］沈良.“大概念、大任务”视角下的数学单元教学设计［J］. 中学教研（数学），2021（7）：9-13.
［5］刘琦琦，吴立宝，陈健. 中学数学教学内容主线分析的要素与结构：以三角函数为例［J］. 中学数学研究，2022（2）：1-5.
［6］何玲，黎加厚. 促进学生深度学习［J］. 计算机教与学·现代教学，2005（5）：29-30.
收稿日期：2022-07-11
基金项目：天津市教育科学规划重点课题——中小学生综合素质评价研究（BHE210014）.
作者简介：刘琦琦（1998— ），女，硕士研究生，主要从事数学教育研究. 吴立宝系本文通讯作者.
