有效挖掘，让课本习题“物超所值”

章启平

[摘  要] 对课本习题的有效挖掘是对教材的创造性使用，把一道普通的教材课后习题进行一般化的处理，进行模型概括后，经过延伸、拓展、變式探究旨在培养学生思维的多样性、发散性和深刻性，也是对学生进行数学素养的熏陶，教学中应对课本习题精心设计与编排，让课本习题“物超所值”.

[关键词] 课本习题;相似;拓展;变式探究

立足课本，回归课本，是中考命题的主要方向;充分挖掘课本习题的典型作用，是课本习题价值最大化的具体体现.课本习题通常具有典型性、示范性和探索性的特点，依托课本习题，进行适当的延伸、拓展与变式探究，可以更好地帮助学生理解所学的知识，也是培养学生思维的深刻性与发散性的重要途径.下面以一道课本习题为例，谈谈个人体会.

浙教版九年级数学上册“第四章  相似三角形”，有这样的一道课后习题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120 mm，高线AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上. 问加工成正方形零件的边长为多少毫米？

习题解答

分析与解 如图1所示，设高AD与正方形EFGH的边EF交于I，显然△AEF∽△ABC，可利用相似三角形对应边上高的比等于相似比的性质列式，即：=.

设正方形的边长EF=x mm，又EF=FG=ID=x，AD=80 mm，AI=80-x，BC=120 mm，所以=，解得x=48. 所以加工成正方形零件的边长为48 mm.

这是一道非常典型的利用相似三角形性质解决的问题，上面的解法非常具有代表性，在三角形中内接正方形（正方形的一边与三角形的一边重合，其余两个顶点分别在三角形的另外两边上）涉及线段计算问题，通常采用以上方法.

习题结论一般化与拓展

以上问题与问题的解法都具有典型性，代表性，因此，有必要对问题及其结论进行一般化的研究.

问题1 如图1所示，正方形EFGH的边HG在△ABC的边BC上，顶点E，F分别在△ABC的边AB，AC上，设BC=a，边BC上的高为h. 求正方形EFGH的边长.

分析与解 同前面的课后习题，在图1中，△AEF∽△ABC，设EF=x，=?=?x=.

问题2 问题1中其他条件不变，若在△AEF中，继续作类似的正方形MNPQ，如图2所示，求正方形MNPQ的边长.

分析与解 设正方形MNPQ的边长MN=x，在△AEF中， 设EF上的高为h，由问题1中的结论可知：x=.

因为EF=x=，EF上的高h=h-x，所以x====·

h-=.

上面过程是借助问题1的结论，不难推出.

其实，这里仍然可以利用“相似三角形对应线段的比等于相似比”的性质来计算.线段MN与EF是△AEF和△ABC这两个相似三角形中的一组对应线段，因此=，即=.

所以x===.

以上相似三角形性质的利用，简单明了，一目了然！

问题3 如图3所示，如果继续在MN的上方作类似的正方形，其边长x又是多少？照此下去，第n个正方形的边长x是多少？

分析与解 运用问题2中的第二种解法，可得=，

所以x===.

以此类推，不难得出：x=.

问题4 对于锐角三角形ABC的余料，设三边分别为a，b，c，且a≤b≤c，将该正方形加工成正方形零件，使正方形的四个顶点都在△ABC的边上（图1的方式），则正方形的两个顶点同时放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大？

分析与解

①当正方形的两个顶点同时在△ABC的边a上时，设正方形的边长为x，边a上的高为h，则：x=.

②当正方形的两个顶点同时在△ABC的边b上时，设正方形的边长为x，边b上的高为h，则：x=.

③当正方形的两个顶点同时在△ABC的边c上时，设正方形的边长为x，边c上的高为h，则：x=.

要使加工出来的正方形零件面积最大，即比较x，x，x的大小，可采用作差比较的方式进行，设△ABC的面积为S，则S=ah=bh=ch，所以h=，h=，h=. 则：

x-x=-=-=-====.

上式中，2S>0，b-a≥0，△ABC为锐角三角形，ab-2S>0，（a2+2S）（b2+2S）>0，所以有≥0，即x-x≥0，这说明当正方形的两个顶点同时在△ABC的边a上时，其边长较大，由于a≤b，所以，当正方形的两个顶点同时在短边上时，其边长较大.

特别说明：（1）当△ABC为直角三角形时，ab-2S=0，x=x，即正方形的两边同时落在Rt△ABC的两条直角边上. （2）当△ABC为钝角三角形时，此时在△ABC内部只能作出一个正方形，即正方形的两个顶点同时落在最长边上.

习题的变式探究

变式1 如图4所示，点E是△ABC的边AB上一动点，过E作EH⊥BC，垂足为H，EF∥BC交边AC于F，过F作FG⊥BC，垂足为G，设BC=a，边BC上的高为h. 问当点E运动到何位置时，四边形EFGH的面积最大？最大值是多少？

分析与解 当点E在边AB上运动时，通过E点的位置情况，找到四边形面积的最大值，有一定的困难. 故可以通过先找四边形面积的最大值，再来确定E点的位置.显然四边形EFGH是矩形，其面积S=EH·EF. 点E在边AB上运动时，EF，EH的长度均在变，故考虑寻找EF，EH的数量关系，将面积S关于EH，EF两个变量的关系式转化为只含有一个变量的关系式.

如图5所示，作△ABC边BC上的高AD，交EF于点M. 设EH=x，EF=y.

因为△AEF∽△ABC，所以=?=?y=a-x.

四边形EFGH的面积S=EH·EF=xy=x

a-x=-x2+ax.

当x=-=时，S=ah.

由于EH==MD=AD，所以M为AD的中点. 因为EM∥BC，所以E为AB的中点.

综上所述，当点E运动到AB的中点时，矩形EFGH的面积最大，最大值为ah，即为△ABC面积的一半.

此问题中，根据上面的推理过程可以知道，不论矩形EFGH的边HG与△ABC的哪一条边重合，矩形EFGH的面积的最大值始终是三角形面积的一半，EF也一样是三角形的中位线.

变式2 如图6所示，点E是△ABC的边AB上一动点，过点E作EF∥BC交边AC于F，点H是边BC上一动点，连接EH，过点F作FG∥EH交边BC于G.

问题1 当点E运动到何位置时，四边形EFGH的面积最大？最大值是多少？

分析与解 易得四边形EFGH是平行四边形，不难把EFGH的面积转化为矩形的面积，如图7所示，过点E作EM⊥BC，垂足为M，过点F作FN⊥BC，垂足为N，显然△EMH≌△FNG，所以S=S.

由变式1中的结论可得，当点E运动到AB的中点时，矩形EFNM的面积最大，即?EFGH的面积最大，最大值为△ABC面积的一半.

问题2 如图6所示，设△ABC的面积为S，△AEF的面积为S，△EBH的面积为S，△FCG的面积为S，?EFGH的面积为S，请探究S，S，S，S，S之间的关系.

分析与解 如图8所示，将△FCG平移至△EMH的位置，所以S=S，S=S+S，因此，图8可简化为图9.

根据相似三角形的性质可得：

==

2?=.①

==

2?=.②

① +②得：+=+==1.

所以+=1?+=.

继续对上式进行变形：（+）2=（）2?S+S+S+2=S.

又因为S+S+S+S=S，所以S=2.

根据上面的推理过程，在图10中，若△ABC的面积为S，△AEF的面积为S，△EBH的面积为S，△FCG的面积为S，?EFGH的面积为S，我们可以得到如下的三个结论：

=+，S=S+S+S+2， S=2.

在图11中，若△ABC的面积为S，△AEF的面积为S，△EBM的面积为S， ?EFCM的面积为S，可以简化上述结论：=+，S=S+S+2，S=2.

问题3 运用上面的探究方法及结论，可以解决变式1中的问题吗？

分析与解 如图12所示，将△FCG平移至△EMH的位置，所以S=S.

根据前面推导的结论，

S+S+2=S=ah. ③

2=S.

根据基本不等式a+b≥2（a>0，b>0）有：

S+S≥2.

代入③式得：2+2≤S=ah，

即4≤S=ah?2≤S=ah. 当且仅当S=S时，等号成立，此时2取最大值ah.

而2=S=S，所以矩形EFGH的面积最大值为ah，即△ABC面积的一半. 此时S=S，而△AEF∽△EBM，所以两个三角形的相似比为1，因此△AEF≌△EBM，所以AE=EB，即點E为AB的中点.

问题4 在图1中，正方形EFGH的边HG在△ABC的边BC上，顶点E，F分别在△ABC的边AB，AC上，设BC=a，边BC上的高为h. 正方形EFGH面积能等于ah吗？

分析与解 由于正方形EFGH的边长x=，所以S=x2=

2=ah.

进一步计算得：=?（a+h）2=4ah?（a-h）2=0?a=h.

可以发现，正方形同样通过△FCG的平移，转化为平行四边形，而平行四边形面积的最大值为三角形面积的一半，因此正方形面积要达到三角形面积的一半，需满足△ABC的一边与该边上高相等，此时正方形的两个顶点同时落在这条边上时，可以实现面积最大，这与前文中“当正方形的两个顶点同时在短边上时，其边长较大，则面积较大”相吻合，可以运用基本不等式的知识加以说明，这里不再赘述.

结束语

对课本习题的有效挖掘是对教材进行创造性使用的具体体现，上文中，通过对一道课本习题结论的一般化处理，并且对其进行延伸、拓展与变式探究，就是极大限度地利用好教材，充分挖掘教材习题的潜在价值，让课本习题“物超所值”. 对习题进行一般化结论的概括，抽象化地进行数学问题的处理，是构建数学模型解决问题的策略，运用不断地产生新结论的模型去解决新问题，是对数学知识运用的进一步升华.得到一些数学结论或是进行变式探究不是真正的目的，其目的是更有效地引起学生的思考，训练学生的解题能力，培养学生思维的多样性、发散性和深刻性，对学生进行数学素养的熏陶.因此，习题教学不应依题讲题，特别是课本例、习题，它们是题目中的精品，教学中，应精心设计与挖掘，以提高学生灵活运用知识的能力.