求解三角函数最值问题的三种常用措施

蒋成

三角函数最值问题通常会综合考查三角函数的解析式、图象、性质以及进行三角恒等变换的技巧.此类问题对同学们的分析以及运算能力具有较高的要求.本文结合例题，谈一谈求解三角函数最值问题的三种常用小措施.

一、利用三角函数的单调性求解

利用三角函数的单调性是求三角函数最值问题的常用措施.在求三角函数的最值时，首先要利用相关的三角函数公式，如诱导公式、二倍角公式、辅助角公式等，通过三角恒等变换，将三角函数式化为只含有一种函数名称、一个角、最低次数的式子，然后根据正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性，以及函数的定义域求得最值.

在化简同时含有正弦、余弦的三角函数式时，通常要运用辅助角公式，使三角函数中的函数名称统一，以便根据正弦、余弦函数的单调性和有界性求得最值.对于本题，我们需根据辅助角公式将三角函数式化为 f （x）= 10 sin? è ? ? x +π3，才能根据正弦函数的单調性求得函数式的最值.

二、借助基本不等式求解

基本不等式：若 a，b >0，则 a + b ≥2 ab（当且仅当 a = b 时等号成立）.基本不等式是求解最值问题的重要工具.在求解三角函数最值问题时，往往可根据三角函数式的结构、特征，合理配凑出两式、三式的和或积，灵活运用基本不等式及其变形式，如① a、b ∈ R ，则 a2+ b 2≥ 2ab ，②若 a、b、c >0，则 a + b + c ≥3 abc 3，③若 a、b >0，则2 1 a +1 b ≤ ab ≤ a + b 2≤ a2+ b 22，求得函数的最值.

解答本题，需首先将三角函数式平方得到两式的乘积4 cos 4 x 2 sin2 x 2，再将其看作是 cos 2 x 2、cos 2 x 2、2 sin2 x 2的积.而这三式之和为定值，则可借助基本不等式的变形式 a + b + c ≥3 abc 3求得最值.在运用基本不等式求解三角函数最值问题时，要仔细观察问题中所给出的三角函数式，以明确变形的方向，通过凑系数、平方、拆项等方式合理配凑出两式、三式的和或积.在求得最值后，要注意讨论等号成立的情况是否存在.

三、通过换元求解

有些三角函数式较为复杂，此时需通过换元，将函数式简化，把问题转化为关于新元的函数最值问题来求解.运用该措施来解题，关键在于选取合适的式子进行换元.一般地，可选取根号下的式子、绝对值内部的式子或频繁出现的式子.

仔细观察已知关系式和所求目标式，可发现二者的结构一致，只是函数的名称不一样，于是引入参数 t ，将其替换目标式，然后将两式平方，根据同角的三角函数关系式 sin2 x + cos 2 x =1，得到关于 t 的二次函数式，再根据余弦函数的单调性和有界性，以及二次函数的单调性求得 t 的范围，即可求得目标式的最值.通过换元，可将陌生的、复杂的三角函数问题转化为熟悉的、简单的二次函数问题，利用二次函数的性质来求最值.在引入新变量后，要根据已知的定义域求出新变量的取值范围.

相比较于而言，第一、二种措施较为常用，第三种措施较为灵活，同学们需根据已有的知识和解题经验合理换元，才能顺利解题.值的注意的是，函数的最值通常会受定义域的影响，因此，在求三角函数的最值问题时，一定要重视讨论函数的定义域，根据函数的定义域求最值.