例谈一道立体几何问题的两种解法

惠敏敏

立体几何问题对同学们的空间想象、推理以及运算能力有较高的要求.解答立体几何问题的方法主要有直接法和向量法.本文以2020年浙江省舟山中学高三下6月模拟试题的第9题为例，谈一谈解答立体几何问题的两种方法.

例题：

本题主要考查了直线与平面所成角的定义、线面垂直的性质定理、面面垂直的判定定理以及正四面体的结构特征.题目涉及了不确定的点F，导致问题的难度增加.我们需从点F的位置入手，根据正四面体的结构特征、直线与平面所成的角的定义、线面垂直的性质定理、面面垂直的判定定理，来寻找使得四个选项中的结论成立的点F的位置，从而得出正确的选项.

解法一：直接法

直接法是指直接从条件出发，根据相关的定理、定义、性质、公式等，通过合理的运算和严密的推理，最后推出正确的结果.对于选择题，需在推出结果后，再对照选项，找出正确的答案.对于本题，我们可根据题意画出相应的图形，灵活运用正四面体的性质、直线与平面所成的角的定义、线面垂直的性质定理、面面垂直的判定定理来解答.

解：

运用直接法解答立体几何问题，往往要根据空间几何体的特点，点、线、面的位置关系，相关的定义、定理等添加合适的辅助线，以便将问题中的点、线、面的关系转化到同一个平面内，根据平面几何知识：正余弦定理、勾股定理、两点间的距离公式等求解.

解法二：向量法

向量法是给图形中的点赋予坐标、线段赋予方向向量，通过空间向量运算解题的方法.运用向量法解题，往往要选择合适的基底或建立空间直角坐标系，求得各条线段的方向向量和平面的法向量，根据线面平行和垂直的判定定理、性质定理来判断点、线、面的位置关系，根据空间角、空间距离的定义，向量的数量积公式、模的公式来求解.对于本题，可根据正四面体 D - ABC 的结构特点建立空间直角坐标系，然后设出正四面体 D - ABC 的棱长，求得各个点的坐标、线段的方向向量、平面的法向量，再根据线线垂直的性质、异面直线所成的角的定义、二面角的定义、直线与平面所成角的定義、数量积公式进行求解.

解：设正四面体 D - ABC 的底面中心为点 O ，连接 DO ，则 DO ⊥平面 ABC ，

以点 O 为坐标原点，OB 、OD 所在的直线分别为 x 、z 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，设正四面体 D - ABC 的棱长为 2 ，

从题中提炼出有用信息，从而发现正四面体的特征，据此建立空间直角坐标系，便可大大简化计算的过程.

相比较而言，直接法比较常用，向量法的适用范围较窄，只适用于求解容易建立空间直角坐标系的题目，但解题的思路较为简单.在解答立体几何问题时，同学们要学会从多角度审视问题，并试图从不同角度、不同方向寻找解题的思路，以优化解题的方案.