“多重体验”唤醒推理意识的生长

曹炯 朱国荣

【摘   要】“尺规作图”作为《义务教育数学课程标准（2022年版）》的新增内容，值得教师去积极探索与实践，寻找可行的教学路径。实践中，通过“画三角形、围三角形、想三角形”等探究活动驱动学生经历多重体验，直观感知三角形的三边关系，全面发展学生的推理意识与空间想象能力，使其深刻体会借助直尺和圆规画三角形的数学价值。

【关键词】多重体验;尺规作图;画三角形;推理意识

四年级学生在学习了“用直尺和圆规作等长线段”之后，对于圆规量长度、画弧的作用已经有了一定的认识。然而，这对于他们借助尺规来画三角形仍有很大的挑战性，主要表现为：无法或难以想到借助圆规画弧找到三角形的第三个顶点。这使得“用无刻度的尺和圆规来作三角形”的教学陷入了瓶颈。那么，如何才能顺应学生思维，实施面向全体学生的教学呢？

【课前慎思】

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在例32“作图理解三角形”中指出：“用直尺和圆规作三角形，直观感受为什么三角形中任意两条边的长度之和大于第三条边的长度，即通常所说的‘任意两边之和大于第三边。”这对“三角形三边关系”这一内容的教学提出了新的思路。据此，我们进行了研究与实践，引领学生在用无刻度的直尺和圆规画三角形的过程中，不断思考“怎样才能画成三角形”“如何寻找三角形的第三个顶点”“怎样的三条线段能够围成三角形”，感悟三角形三边关系的直观意义。

本节课是在学生学习了“用尺规作等长线段”的基础上进行教学的，重点是引导学生理解并掌握“借助无刻度的直尺和圆规画出指定边长的三角形”的做法。具体教学目标如下。

1.能借助圆规和直尺画出指定边长的三角形，在作图中发现三角形的三边关系，能解决与三边关系相关的数学问题。

2.经历画三角形的过程，发展推理意识与几何直观，进一步培养空间意识。

3.感受圆规的作图价值，体验数学作图的魅力，提高学习数学的兴趣。

【教学实践】

一、任务驱动，探究新知

1.布置挑战任务

师：同学们，今天这节课我们一起来研究画三角形。

师：这是某个三角形的三条边，请你们想象一下这个三角形的样子。

师：老师已经画好了一条边，标上了字母A和B，这两个点是三角形的两个顶点。请你用直尺画出另外两条边，找到第三个顶点。

（课件依次呈现题目，如图1）

（学生尝试，教师巡视）

2.分层反馈

师：老师发现好多同学在画的过程中遇到了困难，谁愿意来说一说？

（教师呈现学生初步作品，如图2）

生：我先从A点出发画了一条7厘米的边，可是我在画6厘米这条边时，发现它比6厘米长。

师：看来这个点的位置不合适，那该怎么调整呢？

生：只要把这条边再往下压一点就可以了。

师：我来画一条7厘米的边，你们觉得怎么样？（出示图3）

生：太短了，老师下压得太厉害了。

师：看来借助直尺不能快速准确地找到三角形的第三个顶点。那么，有没有更好的方法能让我们快速、准确地找到这个顶点呢？

生：可以借助圆规。

师：那我们就借助圆规，再来试一试。

（学生借助圆规和直尺画三角形）

（设计意图：教师敢于充分暴露学生的学习困难，引导学生直面困境。学生在尝试调整的过程中感受到很难利用直尺找到三角形的第三个顶点，激发了借助圆规来进一步探究的欲望。）

3.二次尝试

师：已经完成的同学在四人小组内交流一下，说说你是怎么画的。

（学生小组交流，教师倾听想法。之后，教师依次呈现3幅作品，如图4）

师：我们请这位同学来说说他是怎么画的。

生：我是以点A为中心，使圆规两脚之间的距离为7厘米，画一段弧，然后以点B为中心，使圆规两脚之间的距离为6厘米，再画一段弧，这个交点就是三角形的第三个顶点。

师：为什么这个交点就是三角形的第三个顶点呢？

生：左边这段弧上所有的点到点A的距离都是7厘米，右边这段弧上所有的点到点B的距离都是6厘米。因此，这个交点到点A的距离是7厘米，到点B的距离是6厘米。

（播放微课视频，如图5）

师：通过观看微课，老师相信大家都会借助圆规来画三角形了。

（设计意图：学生凭借上一节课“用尺规画等长线段”所积累的基本活动经验，在尝试探索中发现两条弧的交点就是三角形的第三个顶点，从而画出了所要求的三角形。教师进一步追问：“为什么这个交点就是三角形的第三个顶点呢？”在追问中使学生明白“交点”背后的数学原理，充分理解形成第三个顶点的数学本质。教师除了关注“怎么画”的技能，还关注“为什么这么画”的道理。）

4.巩固应用

师：请大家画一个等边三角形。你们知道什么是等边三角形吗？

生：三条边相等的三角形。

（学生画图，教师展示正确作品）

师：它们都是等边三角形吗？我们来验证一下。

（教师示范用圆规验证）

师：同桌两人用圆规相互验证一下，看看你的同桌画对了吗。

（学生互相验证）

（设计意图：在学生探索得出用直尺和圆规画三角形的方法后，教师组织学生进行微课学习，进一步明晰画法，并通过画等边三角形熟练作图的技能。）

二、循序渐进，知识成網

1.判断作图

师：是不是任意的三条线段都可以围成一个三角形呢？

生：不一定！

师：这里有两组线段（如图6），你觉得它们都能围成三角形吗？把你认为能围成的用圆规和直尺画出来。

（学生画图，教师巡视）

（设计意图：教师以设问的方式将学生再次卷入新的探究活动之中，使他们带着想象的结果进行尝试，进而唤醒学生的几何直观，点燃他们作图验证的强烈愿望。）

2.作品分析

师：哪一组能围成三角形？

生：第（2）组。

（课件演示画的过程，如图7）

师：是这样吗？如果先画5厘米或4厘米，能画出这个三角形吗？同桌两人分工再画一画。

（学生分工画三角形。教师再呈现2个作品，如图8）

师：仔细观察这三个三角形的形状与大小，你发现了什么？

生：它们的形状、大小都一样。

师：那第（1）组能围成三角形吗？

生：不能。

（教师呈现学生作品，如图9）

师：的确围不成三角形。如果先从2厘米或者4厘米画起呢？又是怎么样？你能想象出来吗？

（学生想象，教师用课件动态呈现）

师：仔细观察这两幅图，你能用一个算式表示这个现象吗？（如图10）

生：2+4<7，不能。（板书）

（课件出示题目，如图11）

师：用第（3）组中7厘米、4厘米、3厘米的3条线段能围成三角形吗？

生：不能！如果两条线段加起来的和等于另一条边的长度，交点就在线段上了，撑不起三角形，所以不可能形成三角形。

师：那么，你也能用算式表示这个现象吗？

生：3+4=7，不能。（板书）

师：第（2）组能用哪个算式表示？

生：4+5>7，能。（板书）

3.小结提炼

师：想一想，怎样的三条线段才能围成三角形呢？

生：短的两条线段加起来大于最长的线段就可以围成三角形。

（教师板书：较短两边之和大于最长边）

（设计意图：教师组织学生反复地经历猜测、作图、想象与验证等过程，不仅巩固了作图技能，感知了三角形的稳定性，还发现了能围成三角形的三条线段所应具备的条件。）

三、丰富认知，理解运用

1.挑战提升

师：两条线段分别是9厘米和5厘米（如图12），再添一条整厘米长的线段，使它们能围成三角形。请把你想到的方案写下来。

（学生思考，记录结果）

生：6厘米。

生：13，12，11，10，9，8，7，6，5厘米都可以。

师（板书）：我们挑一个来判断一下，选7厘米，行吗？

生：行，5+7>9。

师：最长边是13厘米，你是怎么找到的？

生：因为9+5=14，最长边要比14厘米小，题目要求取整厘米數，所以最长的边是13厘米。

师：那5厘米是怎么找到的？

生：把9厘米看作最长边，想5厘米加几厘米要大于9厘米，取整厘米数时，最小是5厘米。

师：也就是说，如果不规定整厘米数，那么第三条边只要大于4厘米，小于14厘米都可以。我们一起来看看围成的三角形的形状可能是怎样的。

（几何画板动态演示过程）

小结：如果三角形的两条边确定了，当第三条边的长度发生变化时，三角形的形状也会随之变化。

（设计意图：教师引导学生在开放性的问题中寻找第三条边的可能长度，有效地强化了学生的推理意识，发展了他们的数学推理能力。同时，几何画板的动态演示也逐步促进了学生几何直观的生长。）

2.实际运用

（教师出示题目，如图13）

师：小明在画三角形时也遇到了一个问题，把这条长12厘米的线段截成三段，然后用它们围一个三角形，你会怎么截？

师：小明想好了，他说“我先截成两段6厘米长的线段”。你们同意吗？

生：不同意，第一次不能分在中点。因为如果把其中的一段看作最长边，另外一条看成两条线段之和，那么它们是相等的，围不出三角形。

师：你会怎么截呢？把你想到的方法记录下来。

生：4厘米、4厘米、4厘米， 5厘米、5厘米、2厘米，5厘米、4厘米、3厘米。

师：想象一下这三个三角形是什么样的。（课件依次呈现三角形）

生：4厘米、4厘米、4厘米围成的是等边三角形。

生：5厘米、5厘米、2厘米围成的是等腰三角形。

师：最后一个是什么三角形呢？

生：直角三角形。

（设计意图：借助线段分割的问题进一步加深学生对三角形三边关系的理解与应用，提高他们解决实际问题的能力，在见证图形中进一步发展空间想象能力。）

四、课堂总结

师：今天我们学习了借助圆规和直尺来画三角形。如果继续研究，你还想画什么？

生：画平行四边形。

生：椭圆形。

师：有兴趣的同学课后可以试着画一画。

【教学反思】

一、直面困惑，挖掘数学本质

在初次画三角形时，大多数学生难以准确地利用直尺找到三角形的第三个顶点。教学中，教师敢于暴露学生的学习困难，引领学生直面真问题，使其充分调用原有的尺规作等长线段中“用圆规量长度、画弧”的经验，最终成功地找到了第三个顶点的位置，画出了指定边长的三角形。而且，教师并未止步于画出三角形，而是以“为什么这个交点就是三角形的第三个顶点”来追问交点背后的数学本质，即“既满足到点A的距离等于7厘米，又满足到点B的距离等于6厘米”。整个环节注重透过数学现象看本质，有效地发展了学生的数学眼光。

二、任务驱动，孕育推理意识

在判断任意三条线段能否围成三角形的教学中，教师精心设计学习材料，以任务驱动的方式组织学生反复经历画三角形的过程，既巩固了学生作图的技能，又培育了学生借助几何直观解决数学问题的能力。整个环节简约而不简单，不仅使学生通过从不同长度的底边画起，体验了三角形的稳定性，还巧妙地引导他们根据对不同作图现象的观察与分析、猜测与想象、推理与归纳，逐步感悟了三角形三边关系的实际意义。这种创造探究空间，指导学生根据数学现象推断出数学结论，发展学生推理意识的做法值得借鉴。

三、问题引领，发展想象能力

在“添线段围三角形”和“截线段围三角形”两个探究活动中，教师以核心问题统领教学，引领学生通过列举的方法寻找第三边的所有可能情况，然后依托几何画板的动态演示，使学生见证随着第三边的变化而生成的不同三角形。同样，在探究12厘米的不同截法时，学生除了经历挑战性任务的考验、反复地验证截成的三条线段能否围成三角形之外，还经历了根据所给数据想象三角形形状的过程。上述活动既提高了学生的几何直观，又有效地发展了学生的空间想象能力，使他们对三角形的特征、类型与表象有了更深刻的认识。

（1.浙江省嘉兴市嘉善县教育研究培训中心   314100

2.浙江省嘉兴教育学院   314000）