加强空间观念核心能力的培养

平国强

【摘   要】2021年数学省测结果表明，学生的空间观念亟须发展，特别是图形推理、特征抽象概括和应用知识解决问题等核心能力有待提高。要加强空间观念核心能力培养，教师应加强空间想象能力培养，包括丰富表象积累和加强空间方位与过程想象;加强空间推理能力培养，包括图形特征概括与整体把握能力和应用概念、特征有逻辑地思考的能力;加强空间表象重构能力的培养，包括空间关系的想象和空间转换想象。

【关键词】2021年省测;空间观念;核心能力

空间观念是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中核心素养的主要表现之一，其内涵是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系;感知并描述图形的运动和变化规律。空间观念有助于理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。曹培英老师认为：“空间观念是指以空间知觉、表象和想象为主要心理活动过程，在头脑中对空间形式进行几何抽象、分析与综合、判断与推理的思维能力，是个体顺利完成解决空间问题的任务所必备的个性心理特征。”因此，笔者认为，空间观念的培养要关注三个核心能力：空间想象、空间推理和空间表象重构。这三种能力并非并列，而是存在一定的递进关系，空间想象让学生头脑中有表象、会联想，空间推理让学生建构并应用图形之间的联系进行思考，空间表象重构是指推理建立联系以后形成的新的表象，即让学生实现图形的转换，在这一系列思维过程中，想象始终是基础。

2021年数学省测的专题测试指向便是空间观念，其中很多试题反映了对这些核心能力的关注。对这些试题进行深入分析与研究，能帮助教师更好地把握课堂教学改革的方向和学生的能力关注点，有很好的启发作用。

一、空间想象

空间想象指根据相关信息，在头脑中进行分析、联想、抽象、概括，并形成相应的形状、大小、关系和结构等的知觉与表象的心理活动。

丰富的表象积累是想象的基础，空间想象能力包括直观想象能力和过程想象能力。一方面要关注的是直观想象能力，即根据提供的相關图形信息和表象经验，想象出图形的形状，这是空间想象中的基础能力。下面是2021年省测中的一道试题：

例1   一个图形被遮住了一部分，那么这个图形不可能是（  ▲  ）。

A.平行四边形         B.梯形

C.四边形                 D.三角形

各选项选择情况如下：选项A，约占72.9%;选项B，约占12.1%;选项C，约占8.8%;选项D，约占5.7%;其他（多选或没选）约占0.4%。此题的正确选项是A，正确率约为72.9%。

就题目本身而言，难度并不大，因为情境比较常见，提供的信息直观丰富。略有变化的是要让学生思考的是一个否定的结论，这跟学生常规的思维方式和数学经验略有不同，整体来看正确率并不高。因此，学生对干扰项的选择值得我们去分析与思考。

数据表明，选择B、C、D三个选项的人数超过了26%，这是一个不小的比例。这部分学生的思维方向出现了偏差，想象比较单一。他们将思考方向指向了“可能是”而不是问题中的“不可能是”。究其原因，因为前者是依据已有图形的形状去想，思维水平低且常规，后者需要从图形的本质属性去分析，思维水平高且缺少这种思维经验。很多学生会习惯性地顺着既有图形的边、角去作简单的延长想象，得出它是一个三角形，如图1;或者只想到下面可能有一条边，与上面的边平行，如图2;也可能与上面的边都不平行，如图3……所有这些想象都基于一个前提——“可能是”。学生没有抓住试题的关键信息“不可能是”去思考，致使有部分学生想当然地选择了B、C、D这三个选项。当然，如果学生能联想到所有类型四边形的表象，就会发现其中没有平行四边形。因此由于学生思维方向错误，表象积累不丰富，因此完全没有与平行四边形相关联，导致判断错误。

笔者认为，要提高学生的直观想象能力，一方面要让学生多观察、多操作，积累丰富的几何图形表象;另一方面要多创设让学生想象的情境，促进学生思考，要关注思维的过程，要通过说一说、画一画、操作演示等方式把想象的过程和各种可能性呈现出来，丰富学生的想象表象和经验。

空间想象能力的另一方面是空间方位和过程想象。有别于直观想象，这种想象是基于多个对象或在运动变换的环境中思考，具有关系性和过程性。例如下面的试题：

例2   如图，星期六小红要去小华家，她从家出发，刚经过小丽家就转向西北方向先去了书店，书店出来直接去了小华家。那么，书店位置应该在（ ▲ ）号点。

A. ①  B. ②  C. ③  D. ④

各选项选择情况如下：选项A，约占4.7%;选项B，约占77.0%;选项C，约占10.3%;选项D，约占7.6%;其他约占0.3%。此题的正确选项是B，正确率约是77.0%。

从学生的解答来看，选择C、D选项的人数将近18%。这两种错误很有典型性，显然跟学生的年龄特征和空间方位经验不足有关。平面图上的“上北下南，左西右东”是一种规定，但在学生头脑中并未形成这样的观念，并且这种规定与学生真实生活空间中的方位并不能对应。加上此题要识别的是复合方向，要求更高。因此教学中要了解学生的困难，多创设与学生经验相关的真实生活场景，多进行二维平面图和三维真实空间的转换，丰富学生的方位经验。另外，在具体的平面图操作上要让学生有方法，有支架。

一是建构方向与位置的知识结构和分析思路，即有清晰的“上北下南、左西右东”的观念及相对关系意识，会以图中标示方向（北）为起点，顺时针方向思考：接下去是东、南、西……二是要有图上操作的方法支架。先确定图中各个方向，再以小丽家为基点确定“东南西北”，书店方向便能轻易确定。这样操作的意义是使思维有具体的依托和支点，如图4所示。

下面是测试中的另外一道试题：

例3  将一张正方形纸如下图那样两次对折后剪去一个角，打开后的形状是（   ▲   ）。

此题看上去难度较大，但是正确率较好，达到了80.1%左右。各选项选择情况如下：选项A，约占5.2%;选项B，约占4.9%;选项C，约占80.1%;选项D，约占9.5%;其他约占0.4%。

笔者认为，此题正确率较好基于两个原因：一是学生对问题情境比较熟悉，教材和练习本上有类似的问题;二是剪的材料是正方形。解决这个问题的思维过程涉及两个要点：一是学生具有将操作过程逐步还原的想象能力，能根据最后的折叠结果在头脑中想象还原到初始状态，并能想象还原过程中每一步展开和得到的形状，这个还原过程的想象是一个连续动态的想象。如果跳过过程想象直接去看四个选项，就容易产生错误。二是整个过程中要能正确确定并始终锁定剪去的一角每一步展开后的形状和在图中的位置。显然，选择B和D选项的学生，就是思维过程中第二个关键点产生了偏差。

二、空间推理

空间推理是空间观念的重要组成部分，是比空间想象更高级的思维活动，它关注的是空间对象之间的关系和结构，是根据关系得出新的几何判断的过程。小学的推理活动是非形式化的，不追求推理形式和完整过程，常以直观材料为内容，因此推理活动常常与直观思维、抽象概括、特征应用等活动融为一体。空间推理能力首先是图形特征概括和整体把握的能力，基于直觉，突出整体，是一种重要的推理能力。下面的省测试题就关注了特征的概括能力：

例4   下面有九个四边形，按标准（   ▲   ）分类可以得到右面的两类。

A. 四个角是否都相等      B. 邻边是否相等

C. 对边是否都互相平行  D. 是否为轴对称图形

本题思维水平较高，各选项选择情况如下：选项A，占10.4%;选项B，占17.7%;选项C，占59.7%;选项D，占11.8%;其他占0.4%。

此题的正确答案为C，正确率为59.7%，正确率不高。显然，学生习惯于解决“按给定的标准对一组图形进行分类”的问题。解决这样的问题时，其思维水平处于“巩固特征，识别图形”层面。本测试题要寻找这些图形特征中的共同性和独特性，需要学生具有更高的思维水平。学生要有正确、合理的推理过程：九个图形分成两组以后，上面这组图形中既有一般四边形，又有梯形，它们的共同特征仅可以概括为“四边形”，四边形的特征是“四条边和四个角”，与所有选项都不符，且下面这组也都是四边形，此特征不具有独特性。分析下面这组图形中有平行四边形、长方形、正方形和菱形，它们的共同特征可以具体地概括为“平行四边形”，这个特征是这组图形独有的，于是确定符合的选项为C，这是思维过程而不是解题技巧。显然，从高达40%的错误率来看，学生缺少这样一种有序、完整的思维过程。因此，平时教学中，教师要抓住一切机会让学生来表达思维过程，或者用思维导图、关键词等方式表征自己的推理过程，促进学生思维的连贯性和严谨性，积累空间推理的经验。

这种能力的另一种表现是图形特征的整体把握水平，下面是省测试题的第11题，关注的是空间推理过程中对空间形态和大小的整体把握能力。

例5   下面五个图都是由相同的小正方体搭成的。选择（ ▲ ）能搭成这个模型。

A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④⑤

本题的正确率较高，达到了88.7%，正确选项为B。各选项选择情况如下：选项A，占5.7%;选项B，占88.7%;选项C，占2.1%;选项D，占3.2%;其他占0.3%。

此题情境比较常见，学生有相应的问题解决经历和经验，因而错误率比较低。仔细分析，要解决这样的问题，学生需要有高水平想象能力和良好的量感来支持。整个思维过程中，学生要能快速地发现组件①与拼成后的图形在整体形状和数量上最接近，它应该是一个主要的组件，然后迅速地把握其与拼成图形在形状和数量上的差异，从而确定还需要哪一块组件。当学生的整体想象能力可以支持以上要求时，选择正确选项也并非难事。数据表明，选择干扰项A的比例略高于其他干扰项，可以认为这部分学生初步感觉到了要补到①上去的这块组件的大致特征——有一块突出的小正方体，但他们对这块组件形状的想象和小正方体的块数把握不够准确，导致错误。这清晰地表明，这些学生的量感有待提高。

空间推理能力的第二个方面是应用概念和特征有逻辑地思考，这类问题往往信息不是直接告知，而是以情境的方式呈现，要求学生依据信息推出结论，做出判断，其思维过程较接近于形式化推理。例如下面的测试题：

例6   下图中，直线[a]、[b]互相平行，[c]、[d]互相平行，[m]和[n] 不平行。那么，图①、图②、图③、图④中，（  ▲  ）不是梯形。

A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④

本题的正确率很低，只有45.6%，选项选择比较分散，各选项选择情况如下：选项A，占45.6%;选项B，占6.5%;选项C，占16.0%;选项D，占31.3%;其他占0.6%。

数据显示，选项D的选择率高达31.3%，表明很多学生在进行这样的判断时，常常用直观感觉代替逻辑概念进行判断，因为一眼看上去图④像长方形，最不像梯形，所以就直接选择图④，而没有进一步地去想：它的两组对边究竟有怎样的特征？是不是真的不符合梯形“只有一组对边平行的四边形”的概念内涵？……部分学生在判断时基本没有这种逻辑思考的意识和经验。

四年级学生已经学习过梯形的概念，判断时应该用概念进行逻辑判断，而不是根据这个图形“像”还是“不像”做出判断，这种直觉判断是第一学段（概念学习以前）的水平。四年级学生应该从概念出发进行思考，过程如下：梯形概念是“只有一组对边平行的四边形”——图①、图②、图③、图④都是四边形。因为直线[a]、[b]互相平行，[c]、[d]互相平行，[m]和[n]不平行，所以图1是两组对边分别平行的四边形，图②、图③、图④都是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形——图①是平行四边形，不是梯形，图②、图③、图④都是梯形，由此做出判斷。此题给我们的教学以很大的启发，即要提高学生的空间推理能力，需要我们适度关注学生进行几何判断的思维过程，将判断推理置于概念应用和逻辑判断的水平，促进思维的完整性和有序性，达到第二学段学生应该达到的水平。

三、空间表象重构

笔者认为，空间表象重构是指经过想象、推理、建立联系以后形成的新表象。这是基于空间想象解决综合性、非常规问题的最后阶段，即头脑中形成最终要解决的几何问题的新的表象，甚至要将表象画出来，便于计算。显然，空间表象重构是否成功，直接关系到问题的最终解决。这种能力至少包括两个方面，第一方面是空间关系的想象，即能根据图、描述等相关的信息想象出几何要素之间的空间关系，并能将这种关系以一定的方式清晰地表达出来。下面是2021年省测的最后一题：

例7   我们日常使用的口罩呈长方形，尺寸如图①。为便于佩戴时展开，口罩加工时中间要做三条褶皱，每条褶皱折进的宽度为1cm（图②中B点到C点的长度）。根据这些信息，请你解决下面的问题。

（1）图②压平成口罩后B点与D点会重合，那么你还知道哪些点也会重合？填一填。

E点——（  ▲  ）点会重合;H点——（  ▲  ）点会重合。

（2）将B点到N点这一段展开拉直后，BN长多少厘米？

（3）將这个口罩的全部褶皱都展开平整后，它的面积是多少？

第（1）小题解答情况分析： “全部写出”，占71.8%;“只有一组正确”，占11.9%;“错误或未作答”，占16.3%。

显然，第（1）小题涉及的就是空间关系的想象，想象的前提是正确理解相关信息，包括文字信息和图示信息。“口罩加工时中间要做三条褶皱，每条折进的宽度为1cm（图②中B点到C点的长度）”表明口罩中间是有重叠的，结合图可知这种重叠是交叉重叠。“图②压平成口罩后B点与D点会重合”则表明了重叠后的状态，暗示了具有“这样”关系的两个点会重合。根据以上信息和示意图，学生可以想象压平以后的样子是怎样的，宽边上哪一段叠在里面，哪一段露在外面，它们的长度各是多少。同时观察与B、D两点有相同位置关系的还有哪些点的组合，发现它们压平后也会重合，从而做出回答。这种想象的实质是构建几何图形或几何要素在空间的关系，是重要的能力，它还与生活经验相关，数据显示正确率为71.8%，表明学生的这种能力很好。

空间表象重构能力的第二个方面是空间转换想象，它是在明确图形的空间关系以后将其转化为新的图形或表象，并解决问题的过程。这是一种高水平、综合性的能力，是学生空间观念水平的集中体现。如例7的第（2）（3）小题，关注的就是这种能力。

第（2）小题解答情况分析：“算式结果均正确”，占32.4%;“结果正确无算式”，占32.1%;“错误”，占35.5%。

此小题算式与结果均正确的只有32.4%，这部分学生想象到位，思维完整连续，正确地把握住了口罩宽边这条折线的结构，并能正确地转化。但是几乎有相同比例的学生只有结果，没有算式，表明他们对BN的长度只能逐段数数而不能有效把握规律与结构，无法将其转化为符号表征。

可以发现，B点到N点这一段正好是折叠部分，是一段有规律的折线，想象的内容是在头脑中分析各段之间的位置和长度关系，明确整条线的构成，或者在头脑中将这条折线改造，转化为线段（如图5），在新的图上分析其结构。值得注意的是，这个想象必须是过程性动态想象，而这种能力正是多数学生缺乏的，以上数据说明，能正确实现空间转换想象的学生不足三分之一。

第（3）小题解答情况如下：“正确”，占23.7%;“算式对计算错”，占11.9%;“只算出宽”，占54.3%;“思路对计算错”，占0.8%;“错误或未答”，占20.4%。

这个问题的关键同样是正确实现空间变换想象，即经过想象、推理和变换以后形成的新的表象。之所以称之为表象是因为题目没有提供口罩展开平整后的图形，而是让学生想象出口罩展平后是一个长18厘米、宽15厘米的长方形，然后计算面积，所以问题的解决是基于正确想象而不是现成数学图形。这正是此题正确率低的原因，超过三分之二的学生无法正确实现空间转换想象，自然无法进行表象重构，不能解决问题。这带给我们的启发是要长期关注学生空间想象能力的培养，重视数学经验和生活经验的积累提升，让学生多经历以想象为支持的问题解决过程，使想、画、表达相结合，重视多层次空间想象能力的提高。

总之，空间观念是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中学生核心素养的具体表现之一。教学时，教师要关注让学生拥有空间想象的经历、经验和方法，要创设好的情境，设计有效的材料，有具体扎实的教学指导行为，由此才能真正提高学生想象活动的思维水平。

（浙江省杭州市基础教育研究室   310003）