激活“规定性”知识，学习“有温度”的数学

林景 杨彩兰

【编者按】小学数学中有着许多的规定性知识，就如人们习以为常的“年、月、日”的知识，一些教师在面对这些知识时，处理方式往往简单粗暴，无法使学生探究规定背后的数学道理与知识本质，使得课堂显得更加枯燥乏味，更无法达到较为理想的教学实效。本期话题围绕数学中的规定性知识教学展开探讨。

规定性知识因其“先天”的特殊性，导致这部分内容在教学方式的选择上摆脱不了传授的属性。如果在教学中教师只关注知识本身的获得，习惯对知识进行掐头去尾，“庖丁解牛”般把自己认为最精华的部分展示给学生，那么让学生看到的就往往都是X光之下“白骨嶙峋”的数学，这样要让学生感受数学之美、涵养数学之智就强人所难了，形成核心素养也就只会是空中楼阁了。如何才能让学生在数学学习活动中不仅看清知识的骨骼，还能发现知识的脉络与血肉，学习知识与温度并存、思维与美同在的数学呢？

一、树立“大数学”观，教学完整数学

数学是具象和抽象的结合体，数学概念从现实中抽象出来，形成自身的逻辑结构，然后又通过应用回到现实生活中。所谓大数学观，就是要跳出教材看数学。一方面，要认识到数学内容的丰富性，数学不仅仅是课本上的那些内容，它包罗万象。另一方面，要了解到知识间是相互联系的，数学是一切科学的基础，数学学科知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间，都有着紧密的联系。

由于规定性知识纯粹是人为规定的，如果教师处理不当，就会在学生的认知里留下“无理”的印象，无法激发学生对其进行主动建构的欲望，从而导致这些知识的学习孤立、浮于表面，无法在学生的知识体系中扎根，有效迁移亦会搁浅。

以苏教版四下“运算律单元復习”教学为例。当问及“a÷b÷c=a÷（b×c）”或者“（a+b）×c=a×c+b×c”为什么成立的时候，学生往往给出的解释都是这两个公式的记忆方法：连续除以两个数就相当于除以这两个数的乘积;两个数的和乘一个数就相当于这两个数分别和这个数相乘，两个乘积再相加。个别学生也只能从“举例”的角度给予论证。由此可以推测，教师在授课时过于注重运算律的“形”，没有深挖运算律的“质”，过于注重记忆，轻视理解，这就导致学生把运算律看作是封闭、孤立的知识，认为只需要记忆、会用即可。

为此，我们要为学生的学习搭建合理的脚手架，帮规定性知识——运算律把“理”呈现出来，让学生对其产生亲切感，进而习得可迁移的思维，而不是会遗忘的结论。这里的脚手架包括：一是乘、除法的意义和性质，数形结合;二是和其他知识的关联。对于除法的性质，首先可以用点子图圈一圈进行呈现：24÷4÷2表示把24平均分成4份，每份6个，6再平均分成2份，每份3个;24÷（4×2）表示24直接平均分成8份，每份3个。同理，乘法分配律也可以借助“点子图”验证。其次，为了更好地培养学生的抽象思维和几何直观，可以把“点子图”抽象成“线”（如右图）。最后，可以通过与竖式，以及长方形周长、面积计算等已学知识融合，打通前后知识点之间的联系，使运算律的根在学生脑海中扎得更深、更广。不仅如此，还可以出示诸如“a÷（b+c）=a÷b+a÷c，（a+b）÷c=a÷c+b÷c哪个式子成立，请画图探究”等探究题作为实践性作业，促进学生当下知识学习的完整性：有乘法分配律，是否有除法分配律呢？同时也为后期分数、小数运算律的学习埋下思维的伏笔。

如此教学，运算律不再局限于其“简便运算”功能，其“孕育”学生思维的作用就大大显现了。因此，树立大数学观，就需要把规定性知识的学习置于一个纵横交错、千丝万缕的背景中，打通、建立它与其他知识之间的联系，找到其“源”与“流”，赋予其应有的生命力。长此以往，学生的知识网链接方式渐渐由“单点结构”“多点结构”向“关联结构”“拓展结构”跃迁，确保深度学习真正发生。

二、渗透数学史，洞悉知识之源

对于规定性知识的学习，如果仅仅停留于知识的“结果”状态，那么对于学习者来说是很难引起学习的兴趣及欲望的，也不利于对知识的理解与掌握。而当学习者有机会参与或经历知识的形成过程，即了解知识的来龙去脉，那么学习对他而言，就不仅仅是思维的活动，还应该是各种认知感官、情感态度共同参与的活动。数学史呈现了数学知识的来龙去脉，叙述了人类对数学的认知如何步步深入，在知识的抽象过程中我们就能体会和把握数学知识认识提升的关键之处。

以苏教版三下“年、月、日”的教学为例，该部分内容比较繁杂：“年、月、日”的认识;大月、小月、二月的区分和记忆;平年、闰年的区分和判定等。通过前测可知，大部分学生对“一年有12个月，一年有365天（部分学生也知道366天），年有平年、闰年之分，大月31天，小月30天”等知识都有或多或少的了解，至于为什么这么规定则知之甚少。学生对这些知识的了解大多数来自媒体、家长或课外书，言语中多见别人的思想，不见自己的思考。针对这种情况，为了让课堂教学更为饱满，学生的思考和交流更加充分，可以让学生的学习前置。笔者设置了如下关于“年、月、日”的课前预学单。

学生先在课前查阅资料，填写上表，独立展开对“年、月、日”的初步学习，从而了解关于“年、月、日”的历史信息。如年是人们根据地球绕太阳公转产生的四季交替现象而形成的，日是人们根据地球自转产生昼夜交替的现象形成的，等等。学习搜集这些资料的过程就是一个“浸入式”的学习、研究过程，这个过程也培养了学生搜集信息、处理信息的能力。在这些基础上，学生带着自己的收获走进课堂，在教师的引导、组织下，与小组成员共享资料、交流思考，对信息进行整合、完善后总结提炼出本组观点。最后，进行全班展示，扩大交流范围，教师相机指导，结合课件（教师提前准备关于“年、月、日”的史实资料，如前述的内容），合理利用课堂生成资源促进学生对“年、月、日”的深度学习。

数学史的参与让规定性知识的教学体现知识之和谐，展示文化之魅力，彰显德育之效用，学生还可以从中获取探究之乐趣。学生循着“相似”的发展历史，分别在课前、课中、课后与古人进行隔空交流。理解知识的来龙去脉，可以为其增添历史的纵深感和厚重感，让学生带着“创造”与“发现”奔向未来。

三、融合多学科，提升核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出了“跨学科主题学习”概念，这是教育改革顺应时代发展潮流的体现，其宗旨是以真实问题为载体，适当采取主题活动或项目学习的方式，通过综合运用数学和其他学科的知识与方法解决真实问题，着力培养学生的创新意识、实践能力、社会担当等综合品质。规定性知识本身的探究成分不足，却可以通过其他途径来维系其深度学习，跨学科主题学习就是一个很好的选择。如常见的量的学习，包括长度、面积、质量等，可以设计主题学习活动：度量衡的“前世今生”。

1. 了解度量衡。

让学生通过各种途径查阅有关度量衡的资料，了解度量衡的历史与发展，然后组织学生在适当的场合进行面对面的交流。

2. 找出下列内容中的计量单位。

（1）历史故事中的计量单位。如“差之毫厘，失之千里”的故事，“半斤八两”的故事……通过这些历史故事的学习，可以让学生了解到我国古代度量衡单位及其标准的创立经历了从“直观感知”“假借器物测量”到“创造出专用度量衡器具”的过程。

（2）古诗词里的计量单位。如李白《夜宿山寺》中的“危楼高百尺，手可摘星辰”。岳飞《满江红·怒发冲冠》中的“三十功名尘与土，八千里路云和月。莫等闲，白了少年头，空悲切”。李白《行路难·其一》中的“金樽清酒斗十千，玉盘珍羞直万钱”等。

（3）成语典故中的计量单位。如寸步不离、百步穿杨、胆大如斗等。

3. 开展主题汇报活动。

可以引导学生制作小报、故事演讲、录制小视频等，组织一次汇报交流活动，让学生有机会相互学习。

这样的活动不仅丰富了学生的学习方式，有效地宣传中华优秀传统文化，促进文化自信;还使学生的量感、推理意识、应用意识等核心素养得以提升。

四、课堂评价多元化，关注学生的持续发展

对于学生的学习来说，规定性知识掌握得扎实固然重要，但更重要的是學生对学习的持续兴趣和动力。课堂评价是课堂教学不可分割的部分，与课堂教学的其他活动交错进行，它在课堂教学过程中起到衔接、调整、纠正、指导、激励等作用。课堂评价的多元化，一方面指评价的主体多元，包括师生评价、生生评价、学生自评等;另一方面是评价内容的多元化，评价的内容可以是学习的结果，也可以是学习的过程，甚至包括学习过程中体现的情感态度价值观，这点在强调学科育人的教育背景下显得尤为重要。

如以上“年、月、日里的秘密”的案例中，我们要关注学生对学习内容掌握程度的评价，包括年、月、日之间的关系，大月、小月及其相关知识，平年、闰年等方面的基本知识。还要关注学生在收集资料过程中使用的方法、技巧，合作探讨、交流互动中表现出来的独立思考能力、团队合作能力、创新意识等的水平。在“我会查”这个环节中，有些学生可能通过查阅纸质资料的方式，这种方式虽然安全、可靠，但不比网络搜索的方式更快捷、内容更丰富，当然，网络搜索的内容真假不一，还需提高甄别能力。教师可以基于以上情况，对学生使用的方法、技巧等进行评价。

另外，要关注“评他”的教育效应，即通过对数学家们的不惧困难、矢志求真等精神的评价，来提高学生对数学学习的兴趣，来激发他们克服学习困难的信心和求知欲。例如，对圆周率的学习，一方面要设置情境，让学生充分参与探究圆周率的产生过程，另一方面要给学生介绍与圆周率命名相关的历史，尤其是圆周率原来也叫“祖率”等，借机让学生了解关于圆周率研究的故事，如我国古代数学家刘歆、祖冲之等，仅借助算筹等工具计算圆周率，其繁杂的计算过程和庞大的计算量是现代人无法想象的，从中可以引导学生看到数学家们为追求真理所付出的努力，尝试让学生对这种行为作出评价。在此基础上，教师的评价既要肯定学生在研究的过程当中体现出来的精神与态度，更要弘扬数学家们为追求科学而不懈努力的精神，这是学生终身学习所必备的素养。

对“规定性知识”教学方式的研究不仅对数学一般知识的教学起到一定的启发和指引作用，更重要的是，它还为量感等学生核心素养的培育提供了新的思路和可供参考的可视化路径。知其然，不仅要知其所以然，还要知其所以用。一直以来，我们都是倡导“授人以鱼，不如授人以渔”。笔者以为，较之“鱼”和“渔”本身，“鱼”和“渔”所带来的能促进学生身心发育的素养才是我们更应该关注和追求的。如此，学生便对数学教学有了期待，数学本身也便有了温度。

（作者单位：海南省教育研究培训院       中国人民大学附属中学海口实验学校）