在“类比”中发展学生数学核心素养

刘建波 程国忠 王昌林

[摘  要] 类比是人类认识事物的思维形式之一，能够发展学生的数学核心素养. 文章先分析了类比的内涵及其价值，再分析了类比对于学生数学核心素养的促进作用，并以“等比数列的前n项和公式的推导”为例，展示了类比教学的过程，最后给出了关于类比教学的思考.

[关键词] 类比教学;核心素养;教学实践

[?]类比的内涵及其价值

“类”有种类、类似之意，也可指具有某种属性的事物构成的群体[1];“比”有比较、分析之意. 所谓类比，是指依据两个或两类对象之间存在着某些相同或相似的属性，推出它们还存在其他相同或相似的属性的一种推理形式. 与“类比”相近的词有“类同、类异、类推、比类”等，这些都囊括在“类比”之中，它们与“类比”的本质都是相同的，是人类认知事物的思维形式. 类比的价值不仅在于表面上的求同或求异，而且在于对元素、系统、对象进行梳理和体系建构，促进认知迁移[2].

[?]为何类比能促进学生数学核心素养发展

结合文献[1-4]，总结出类比对于学生数学核心素养发展的促进作用表现为以下两个方面：

（1）从本质来看，类比通过类同、类异、类推，探究元素、系统、对象之间的关系，经过同化、顺应与平衡纳入认知图式，实现认知发展和迁移. 正如波利亚的观点“类比的核心是关系上的相似”，类比处理问题的本质就是处理事物之间的关系问题. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《新课标》）认为，数学教育要提升学生的数学素养，引导学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界，并提出了数学学科特有的六大核心素养——数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算和数据分析[3]. 其中，数学抽象是指从数量关系与空间形式的角度，抽象总结研究对象的共同规律，实质是从无到有产生数学，即“数学的根本起源”;逻辑推理是指从已有事实或规律出发，推出新的规律，实质是从少到多发展数学，即“数学的生长点和发展点”[4]. 无论是数学抽象素养的“从无到有”，还是逻辑推理素养的“从少到多”，乃至数学建模、直观想象、数学运算等核心素养，都与类比处理问题的本质密切相关.

（2）从思维进程来看，演绎推理是“从一般到特殊”的推理，归纳推理是“从特殊到一般”的推理，而类比推理是“从特殊到特殊”或“从一般到一般”的推理. 正是因为类比推理能够实现由特殊到特殊或一般到一般的转移，所以类比能够沟通已知与未知，既能帮助人们有效利用已有知识，又能弥补已有知识的不足并打破限制，进而启发思考，开展创新实践活动. 通过类比推理，学习者能利用已有经验探究元素、系统、对象之间的关系、结构，从而更新已有经验或范畴，理解新事物以及形成新概念，实现纵向领域的认知推进、横向领域的知识迁移，在数学抽象、逻辑推理等创新实践活动中发挥着归纳与演绎等难以企及的作用. 因此，类比能够促进学生数学核心素养发展.

[?]如何在类比中发展学生的数学核心素养

下面以“等比数列的前n项和公式的推导”为例，分别从制定目标、引入课题、提炼步骤、形成公式、巩固新知五个环节，阐述如何在类比中发展学生的数学核心素养. 具体如下：

1. 研读课标，制定目标

等比数列的前n项和公式在《新课标》中被列入选择性必修课程的函数主题. 本节课的目标为：探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系[3]. 从知识体系来看，等比数列的前n项和公式是继等差数列章节后的重要内容，是等差数列的前n项和与等比数列的通项公式的自然延续，也是之前所学函数的延续. 本节课所运用的数列求和的方法（错位相减法）是一种重要的数学思想方法. 其推导过程渗透着由特殊到一般、类比、归纳等思想方法，是发展学生数学核心素养的关键内容;从等差数列求和到等比数列求和、从倒序求和法到错位相减法之间的类同和类异，是学生获得基本活动经验的来源. 因此，本节课的教学重点为等比数列的前n项和公式的推导和运用. 学生已经学过等差数列的前n项和公式，对于数列求和有了一定的认识. 在等比数列及其通项公式的教学中，学生已经发现等差数列与等比数列之间存在的异同，能够自然进行知识类比、迁移，但想要将已有的等差数列求和经验迁移到等比数列，学生难以通过运算形式的类比而进行. 因此，等比数列的前n项和公式的推导是本节课的教学难点.

基于以上分析，拟定“等比数列前n项和公式的推导”的教学目标如下：掌握等比数列前n项和公式;理解数列求和的本质;能够推导等比数列前n项和公式;在类比等差数列研究等比数列的过程中，能够逻辑连贯、有条理地进行分析、类比、迁移，从而发展数学抽象素养和逻辑推理素养.

2. 创设情境，引入课题

引例：小张向小李借钱，小李提了一个条件. 这个条件是：在30天内，小李第1天借给小张1万元、第2天借給小张2万元，以后每天借给小张的钱都比前一天多1万;同时，小张在借钱的第1天要还小李1分，第2天还小李2分，以后每天还的钱是前一天的2倍，30天后互不赊欠. （提示：还的钱先按单位“分”计算，最后结果再换算成单位“万元”）

师：你认为小张会不会亏呢？引例中小张一共借了多少钱？小张一共需要归还多少钱？借钱总数与还钱总数谁大？

生：小张借钱总数为1+2+…+30==465（万元），小张还钱总数为1+2+22+…+229（分），结果没算出来.

师：我们发现小张借钱总数的计算是一个求等差数列前n项和的问题，运用等差数列前n和公式便可得到结果，小张还钱总数按天排列正好成等比数列，由于次数太高且没有等比数列前n和公式可以应用，现在未能运算出结果. 那么等比数列的前n项和公式会是怎样的呢？我们一起来研究. （板书课题并提出问题）

问题1：已知等比数列{a}，已知a，q，a，等比數列前n项和为S，试推导S.

评析：将生活中的借钱问题作为情境引发学生思考，且加等差数列的前n项和与等比数列的前n项和于其中，引导学生初步类比等差数列的前n项和公式，自然引出本节课的主线，让学生在将生活问题转化为数学问题的过程中发现新的求和问题，贴近学生的最近发展区，培养学生的数学抽象素养.

3. 类比旧知，提炼步骤

师：数列求和就是用相对简单的形式来表征加法求和的结果. 等差数列的前n项和公式可以用基本量a，a，n或a，d，n来表示，那么等比数列的前n项和公式可能会用到什么基本量来表示呢？

生1：可能会用a，a，n，q来表示.

师：在等差数列的前n项和公式的推导过程中，我们用的是倒序相加法，那么用倒序相加法来推导等比数列的前n项和公式是否同样适用呢？

生2：不适用. 从配对来看，等差数列中每对的和都是相等的，而等比数列中每对的和并不相等.

师：是的，回顾等差数列的前n项和公式的推导过程，我们先将原等式倒序得到第二个等式，然后将对应项配对求和，最后整理得到公式. 那么等差数列求和这三步的本质是什么呢？

生3：适当计算消去中间项，只剩下a+a. 将n个不同数之和转化为相同数之和.

师：同样是求和，同学们能否将等差数列的前n项和公式的推导步骤运用到今天的等比数列的前n项和公式的推导中来呢？（教师板书三个步骤：①将原等式变换出第二个等式;②两个等式经过适当运算消去中间项;③通过整理得到求和公式）

评析：一方面，“数学方法的教学重在类异[1]”，引导学生回顾等差数列求和公式的推导过程，并让学生思考能否类比等差数列的倒序相加法来解决等比数列求和的问题，旨在让学生经历类比思维过程. 另一方面，在学生已经掌握了等差数列求和方法（倒序相加法）的基础上，利用问题推动教学进程，让学生逐步从“形式模仿”走向“本质理解”，也就是认识到倒序相加法的局限性，并总结数列求和的本质就是根据通项结构特征结合运算律消项，从而为学生推导等比数列的前n项和公式提供清晰的方法指导. 由类比思想引领教学进程，让学生在理解数学知识与体悟数学思想方法中发展数学核心素养.

4. 类比尝试，形成公式

师：面对复杂问题，我们不妨从简单的特殊情况入手. 比如前面提到的S=1+2+22+…+229. 求等差数列的前n项和的方法就是消去中间项，回到等比数列来，请同学们思考S=1+2+22+…+229中各项之间的关系，如何类比等差数列求和呢？

生4：在式子S=1+2+22+…+229的左右两边同乘2就会发现，中间项可以通过原式与变换后的第二个等式相减而消掉. 推导过程为

S=1+2+22+…+229，

2S=2+22+23+…+230，

S=230-1.

师：为什么会想到在等式的左右两边同乘2呢？乘其他的数可不可以呢？

生4：乘2后能够对两式进行消项，乘2的倍数也是可以的，但是没有乘2方便.

师：乘2与等比数列本身有什么关系呢？

生5：2正好是等比数列的公比.

师：很好. 我们按照刚提炼出的步骤，得到了上述特殊的等比数列求和公式的推导过程. 具体的过程为：先在S=1+2+22+…+229的左右两边同乘公比2得到2S=2+22+23+…+230，然后利用错位相减法消去它们的中间项，最后整理得到S=230-1. 同学们能否将上述的特殊情形类比推广到问题1中一般的等比数列求和？类比刚才的方法，用字母代替数将特殊情形推广到一般情形，消去中间项，试写出等比数列的前n项和公式.

生6：将首项1写作a，项数30写作n，末项a写作a，公比2写作q，则等比数列的前n项和公式的推导过程为

S=a+a+a+…+a+a①，

qS=aq+aq+aq…+aq+anq=a+a+…+a+anq②，

由①-②，得（1-q）S=a-anq，得S=.

师：在用字母代替数进行推导的过程中，我们需要注意哪些细节呢？请同学们讨论并加以完善.

生7：q≠1时，1-q才能用作分母.

师：是的. 若q=1，等比数列{a}将发生怎样的变化？我们又该如何求S呢？

生8：q=1时，等比数列{a}就变成了常数数列，S=na.

师：很好. 因为公比q有等于1或不等于1这两种情况，所以等比数列的前n项和公式应该写成分段函数的形式，即

S=

na，q=1，

，q≠1.

因此，计算等比数列的前n项和时，当公比q为参数时，一定要分类讨论. 同时，在推导过程中，第二个等式与原等式的大多数中间项正好是错位分布的，因此我们将推导等比数列的前n项和公式的这个方法称为错位相减法. 它的原理是：根据等比数列的结构特征，利用等式左右两边同乘q得到与原等式有相同项的第二个等式，达到两式相减消项的目的，最后得出公式.

师：等差数列的前n项和公式有两个，等比数列的前n项和公式是否也有两个？如果有，那会是怎样的呢？

生9：可以将a用aqn-1来表示，得到用基本量a，n，q表示的新公式，即

S=

na，q=1，

=，q≠1.

还可以将等比数列的每一项都用首项和公比来表示，即

S=a+a+a+…+a+a=a+aq+aq2+…+aqn-2+aqn-1①，

qS=aq+aq2+…+aqn-1+aqn②，

由①-②，得（1-q）S=a-aqn，得S==，所以

S=

na，q=1，

，q≠1.

评析：从特殊到一般的探究活动，可以避免特殊数据对问题本质的干扰，便于一般的等比数列的前n项和公式的推导. 在学生类比尝试的同时，通过适当追问引发学生反思. 学生经历思维从酝酿、发现、形成到实施、反思、优化的完整过程能够促使学生合乎逻辑地进行思考[5]，进而提高思维的严谨性、深刻性、灵活性与创新性水平，发展学生的逻辑推理素养.

5. 运用公式，巩固新知

师：使用等差数列的前n项和公式时，在a，a，n，d，S中“知三求二”;观察等比数列的前n项和公式可以发现：在等比数列中，若q≠1，则在a，a，n，q，S中同样能“知三求二”.

例1 合理运用公式，求解下列问题：

（1）求等比数列3，6，12，…，192的和;

（2）已知等比数列{a}中的a=-1，a=64，求q与S.

例2 求S=1+q+q2+…+qn-1+qn.

评析：一般来说，学生只有在运用公式的过程中，才能真正理解和掌握它. 通过例1的练习，可以帮助学生熟悉等比数列的前n项和公式，体悟等比数列的前n项和公式中五个量之间的关系. 例2需要对参数q进行分类讨论，可以帮助学生进一步明确等比数列的前n项和公式的适用条件，深化对等比数列求和公式的理解.

[?]关于在类比中发展学生数学核心素养的几点思考

数学核心素养落地的一个重要方式就是开展类比教学. 类比教学，旨在厘清数学内部的逻辑体系进行类比，它能引导学生在类同、类异以及类推的过程中学会“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”，促进学生在新旧知识之间建立非人为的实质性联系，进而形成数学认知结构，实现认知迁移，发展数学核心素养.

1. “四个理解”是开展类比教学的首要前提

“四个理解”即章建跃先生提出的“理解数学、理解学生、理解教学、理解技术”[6]. 教师只有在“四个理解”的基础上，类比教学才能开展得顺利而高效，更能进一步顺利发展学生的核心素养.

2. 合适的教学情境是开展类比教学的情感基础

合适的教学情境能够激发学生的兴趣，调动相关的知识块进行思考，产生积极的心理状态参与教学活动，提升教学效率. 合适的教学情境的设置应该依据数学内容的本质和学生的认知特点. 教学中，将北师大版教材中的贷款问题转化为小张借钱是否会亏的情境，旨在营造和谐、积极的学习气氛，使得问题更加鲜活，激发学生的学习兴趣，并为进一步教学建立积极的心理状态.

3. 合理的问题设计是开展类比教学的关键动力

问题是思维活动的起点，是数学探索的牵引力. 思维起源于对事物的质疑、困惑，教师要善于在抓住学生新旧知识的交汇点的基础上提出启发性问题，激发学生的学习兴趣，诱使学生主动去发现问题、提出问题、分析问题与解决问题，进而推动学生去尝试、活动、体验、表达，提升数学核心素养.

4. 严密的数学教育结构是开展类比教学的重要保障

数学教育结构是指“教与学对应”和“教与数学对应”的双逻辑结构[7]. 只有借助严密的数学教育结构，才能将数学知识的学术形态转变为易于接受的教育形态. 教学中，可以通过设计前后连贯的探究活动，让学生经历由旧知到新知的过程，理解数学概念，感悟其中的数学思想方法，從而形成数学认知结构. 例如，借助推导等差数列的前n项和公式累积的经验开展类比教学，让学生经历从等差数列求和到等比数列求和的“类同”、从等差数列各项间的关系到等比数列的“类异”、从倒序相加法到错位相减法的“类推”等由旧知到新知的思维过程，又一次感受“研究对象变化，而思想方法不变，研究方法不变”的数列求和过程，感悟其中蕴含的类比思想等数学思想方法，进而丰富学生的数学体验，拓展学生的数学思维图式，帮助学生养成连贯地、有理有据地思考问题的习惯，发展数学核心素养.

参考文献：

[1]  史宁中. 试论数学推理过程的逻辑性——兼论什么是有逻辑的推理[J].数学教育学报，2016，25（04）：1-16+46.

[2]  吴乐乐，裴昌根，柏杨. 类比视角下发展数学核心素养的教学策略探究[J]. 中小学教师培训，2021（01）：35-39.

[3]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4]  李尚志. 核心素养渗透数学课程教学[J]. 数学通报，2018，57（01）：1-6+14.

[5]  李昌官. 让学生学会合乎逻辑地思考——以“等比数列前n项和公式的推导”教学为例[J]. 教育研究与评论（中学教育教学），2018（08）：58-61.

[6]  章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续1）——《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J].中学数学教学参考，2019（19）：6-11.

[7]  涂荣豹. 论数学教育研究的规范性[J]. 数学教育学报，2003，12（04）：2-5.