突出图形探究 强化代数推理

彭海燕　李维

摘 要：自2018年高考数学强化内容改革以来，平面解析几何问题逐渐回归到几何问题解析化途径的探索研究与选择中. 其中，解析化是实现用代数方法解决几何问题的关键环节. 在具体的解析化过程中，解题要能够从数量与数量关系、图形与图形关系角度出发，挖掘数量与图形及其关系的内涵特征，将几何问题坐标化，并最终转化为代数式，通过代数推理与运算得到代数结论，解决几何问题.

关键词：解析化;消参减元;数量与数量关系;图形与图形关系

一、试题特点分析

2022年高考数学全国卷的平面解析几何解答题共有4道（全国甲卷文、理科同题，全国乙卷文、理科同题），研究的圆锥曲线涵盖了椭圆 （全国乙卷）、双曲线（全国新高考Ⅰ、Ⅱ卷）和抛物线（全国甲卷）.

这4道试题的第（1）小题都考查了圆锥曲线的标准方程，体现了基础性. 其中，全国新高考Ⅰ卷第21题 第（1）小题虽然还需要做进一步的工作，但从近几年的试题特点来看，经典结论的运用体现了基础性;全国新高考Ⅰ卷第21题第（2）小题和全国甲卷 （文、理科） 第20题第（2）小题都与三角函数恒等变换结合，体现了综合性;全国新高考Ⅱ卷第21题给出三个条件，要求学生选取两个作为已知条件，证明另外一个成立，属于结构不良问题设计，有效增强了试题的开放性，考查了学生的创新思维能力，体现了创新性. 4道试题，较好地体现了高考对平面解析几何问题解析化的要求和代数推理的要求.

2022年高考平面解析几何的客观题既有对直线与圆的方程的要求，也有对曲线中几何图形特征的挖掘，特别是两套全国新高考卷中的平面解析几何多选题，4个选项的设计既涵盖了几何图形的探究，又强化了代数运算的基础性要求. 解析几何是培养学生直观想象、逻辑推理和数学运算素养的重要载体，高考试题反映了对上述素养的重视.

2022年高考中的平面解析几何试题聚焦解析几何本质，即更加强化用代数方法研究几何问题，更加强化代数运算的严谨性和条理性. 此外，延续了2020年以来的做法，在问题设置和解答中更加凸显解析几何中的经典背景 （如定点定向、极点极线、垂径定理）在问题解决中的价值. 限于篇幅，文章重点对2022年高考平面解析几何解答题从图形与图形关系、数量与数量关系角度进行解题分析.

二、优秀试题分析

三、复习备考建议

根据《普通高中数学课程标准 （2017年版2020年修订）》，学习解析几何旨在培养和发展学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养. 高考平面解析几何试题命题的深入，要求师生在日常解题教学中要更加重视“四基”的落实和“四能”的培养. 例如，在讲评2022年全国乙卷理科第20题时，要注意引导学生提炼解题过程中运用的方程思想、特殊与一般思想，教会学生分析问题和解决问题.

通过对2022年高考平面解析几何试题的分析可以看到，几何问题解析化是有方向可循的，即当面对一个几何问题时，要明确这是一个什么样的几何问题，是将这个几何问题视作整体挖掘它的几何特征，还是看成两个图形去探索它们之间的关系，抑或是从数量或数量关系角度进行挖掘，接着研究和探索这个几何問题需要用到哪些代数条件，再把几何问题代数化（有时候这个代数化过程不是很直观，需要把几何问题转化为另一个等价的几何问题后再进行代数化）. 这些探索与研究的过程是需要时间与实践的. 也正因为如此，在复习备考中要强化自主探究，要能够从多角度思考，深入挖掘图形的几何特征，掌握研究解析几何问题的一般方法和思维方式. 具体而言要做到以下几点.

1. 重视图形探究

例2中涉及两条直线的倾斜角的差的正切，这其实是到角公式. 学生必须明晰概念 （斜率是倾斜角的正切值），掌握从图形与图形关系和数量与数量关系的角度把握几何问题解析化的基本途径，熟练运用向量、三角等工具.

2. 强化代数运算综观2022年高考平面解析几何试题，可以感受到全国卷的4道平面解析几何试题的运算量比以往要大，参变量更多，如何“消参减元”是关键. 教学中，一定要让学生关注代数的本质——结构特征，多想多算，培养学生的耐心和严谨细致的习惯，以及坚忍不拔的意志品质.

3. 重视经典问题

高考从不回避经典，中点弦、焦点弦长、垂径定理、极点极线等问题在高考中的考查不断创新. 教学中，一定要重视对这些经典问题的积累和研究，让学生掌握解决这类经典问题的通性、通法.

4. 重视回归教材

平面解析几何的复习要回归教材，在新高考强调教考衔接的情况下，更要将教材中的研究路径和研究的一般思维方法落地、落细. 从对上述高考平面解析几何试题的分析来看，只要吃透了教材训练系统的精神实质，对教材中的例题、习题进行深入研究，挖掘其内在的联系并拓展其研究空间，对于高考试题的本质还是容易把握的.

四、典型模拟题

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准 （2017年版2020年修订）[M]. 北 京：人民教育出版社，2020.

[2] 教育部考试中心制定. 中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3] 彭海燕. 突出核心 回归本质：从2017年高考题谈课标全国卷对解析几何的考查[J]. 中学数学研究 （华南师范大学版），2017（9）：34-39.

[4] 彭海燕. 几何问题“解析化”途径的探索[J].中学数学教学参考（上旬），2021（7）：65-68.

[5] 彭海燕. 高考数学全国卷解密[M]. 杭州：浙江大学出版社，2019.

[6]彭海燕，程生根，钱耀周. 高考数学全国卷真题精编[M]. 杭州：浙江大学出版社，2022.