八卦与数学

吴文俊

前4个为阳卦，后4个为阴卦.《系辞下》说：“阳卦奇，阴卦偶.”从算式中也可以看出这一点.在古代，九和五各有非同寻常的含义，所以45也就成了神数.洛书中一至九的和不也是45吗！每卦三爻的顺序是从下向上，震、巽为长男、女（看第一爻），坎、离为中男、女（看第二爻），艮、兑为少男、女（看第三爻），加上乾、坤为老父、母，显然这是一个大家庭了！

八卦有方位，它是中国古代的坐标系，而且人们将其沿用了几千年.《说卦》称：“震，东方也;……巽，东南也;……离也者南方之卦也;……乾，西北之卦也;……坎者水也，正北方之卦也;……艮，东北之卦也.”原文只说兑卦为“正秋也”，对于坤卦，却未作详细的介绍，或许是作者将其遗漏了.补全的八卦方位如图所示.东西南北的位置和现行西方地图的规定恰恰相反.通常我们见到的八卦图如下图所示（图中的数字和虚线是临时标上的）.我们知道，组合数学十分重视数字配置的均衡性，在一定约束条件下达到下图中的这种均衡状态，往往需要较高的技巧.八卦图同洛书数一样，其巧妙的配置方法令人赞叹.

若将八卦看作由8类元素组成的集合，任取其中2个元素从下到上排列起来，有8²=64种有重排列，這便得到六十四卦——即所谓“重卦”.从阴阳两爻的2类中任取6个元素，可得到有重排列2⁶=64种.《说卦》称：“八卦相错.”错即重迭，即是“重卦”的由来.重卦的总数为360，与周天度数相合，但我们尚不清楚二者之间的关系.

在历史上，八卦和六十四卦的排列顺序有所变化，本文只能选择其中一种来讨论.按照宋儒邵雍（1011～1077）的六十四卦序，可以将六十四卦与德国数学家莱布尼兹创立的二进制数字建立一一对应的关系：

上表中卦象的右边是二进制数，与卦名左边的十进制数相等.在上表中，每一卦的六爻都是按照从下到上的顺序排列的.

清朝初期，在北京的白晋（J.Bouvet，1656～1730）神父给莱布尼兹寄去一部《易经》.在保存于德国汉诺威图书馆中两人讨论《易经》的信件里和莱氏的著作中，莱布尼认为，二进制顺序早已被应用在古代的《易经》中，古代的中国人在发明二进制计算方面有优先权.这一看法被广为传播，并产生了很大影响.

在国外也有人认为六爻不具有数字意义，这是不了解九六之说的缘故.当然，九六之说亦不能证明卦爻本身具有二进制含义.

将上表中数列的首尾对应项相加，按十进制算，其和为63;按二进制算，其和为111111;按九六之说算，其和为90.六十四卦共32对，乘以90得2880.若取4为因数，则乾卦有54×4=216种，坤卦有36×4=144种，两者之和为360，而2880×4=11520，所以《系辞传》说：“乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，当期之日.二篇之策，万有一千五百二十，当万物之数也.”

依上表中卦序排成8×8方阵，阴阳卦与奇偶数都交错、且相对地出现在方阵中，每卦反排（颠倒）后都恰有一卦与之相等，有的关于中心为对称，有的均衡地交错对应.种种微妙关系，给六十四卦添上了一层神秘色彩.

依上表中的卦序，将0～31卦沿右半圆从下向上逆时针方向排列满，再将32～63卦沿左半圆从下向上顺时针方向排满，就得到了圆形的六十四卦方位图.古人的这种排法，使得32对卦都处在关于圆心相对的位置.他们将上述方阵置于一个圆中，用以象征“天圆地方”.