高中教学综合训练（四）

赵红琴

一、選择题

A. {2，3}    B.{-1，1}    C.{1，2，3}    D.?

4.已知等比数列{a_n}的各项均为正数，若log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₈=8，则a₄a₅=（    ）.

A.1    B.2    C.4    D.8

6.中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器.下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形，如图1），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）（    ）.

A.2000    B.2800

C.3000    D.6000

A.P₁=P₂=P₃B.P₃>P₂>P₁

C.P₁>P₂>P₃D.P₂>P₁>P₃

A.3    B.4    C.5    D.6

A.1695    B.1696    C.1697    D.1698

11.△ABC中，所有内角都不是钝角，有以下命题：①sin2A=sin2B?A=B;②sin2A>sin2B?Acos2B?A

A.1    B.2    C.3    D.4

12.如图2所示，将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等，若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（）.

A.33    B.56

C.64    D.78

二、填空题

13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1;如果它是偶数，则对它除以2;如此循环，最终都能够得到1.图3 为研究角谷定理的一个程序框图，若输入n的值为6，则输出i的值为________.

15.若（3+ax）（1+x）⁴展开式中x的系数为13，则展开式中各项系数和为________（用数字作答）.

三、解答题

（1）求证：BC⊥平面A₁EF;

（1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率;

（i）求X的分布列：

（ii）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？

20.已知函数f（x）=cosx+ax²-1

（2）若f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围.

四、选做题

选修4-4：坐标系与参数方程

（1）求曲线C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程;

选修4-5：不等式选讲

（1）解不等式f（x）≥6;

参考答案与解析

一、选择题

1-12    ABDCD    BCADA    CB

二、填空题

三、解答题

又因为BE是直角三角形ABC的斜边AC的中线，

所以A₁B²=A₁E²+BE²，

所以△A₁EB是直角三角形，所以A₁E⊥BE，

所以A₁E⊥平面ABC，所以A₁E⊥BC，

又因为BC⊥AB，A₁F∥AB，

所以BC⊥A₁F，所以BC⊥平面A₁EF.

（2）由（1）知BC⊥平面A₁EF，所以平面ABC⊥平面A₁EF，又由A₁E⊥AC，所以A₁E平面ABC，

以B为坐标原点，以射线BC为x轴，以射线BA为y轴，过B向上作平面ABC的垂线为z轴建立空间直角坐标系，则A₁E∥z轴，

由（1）知BC⊥平面A₁B₁E，

∴T_n=1×4⁰+2×4¹+3×4²+…+n×4^n-1，

4T_n=1×4¹+2×4²+3×4³+…+n×4ⁿ，

即S²-4S+3=0，解得S=1或S=3.

对任意的n∈N^*，，均存在m∈N^*，

又a₁为正整数，

∴满足条件的所有整数a₁的值构成的集合为

∴数列{c_n}不是等差数列，舍去.

综上，满足条件的所有整数a₁的值构成的集合为

（2）（i）由已知X的取值可为1，2，3，4，5，6，7.

∴X的分布列为

∴ξ的可能取值为0，5，10，15，

∴小明同学能盈利.

所以f（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x），

故f（x）为偶函数.

当x≥0时，f，（x）=-sinx+x，

記g（x）=f′（x）=-sinx+x，所以g′（x）=-cosx+1.

因为g′（x）≥0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，

即f′（x）在[0，+∞）上单调递增，故f′（x）≥f′（0）=0，

所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（0）=0，

因为f（x）为偶函数，所以当x∈R时，f（x）≥0.

（2）①当a=0时，f（x）=cosx-1，

令cosx-1=0，解得x=2kπ（k∈Z），

所以函数f（x）有无数个零点，不符合题意;

②当a<0时，f（x）=cosx+ac²-1≤ax²≤0，当且仅当x=0时等号成立，故a<0符合题意;

③因为f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数，

又因为f（0）=0，故x=0是f（x）的零点.

当a>0时，f′（x）=-sinx+2ax，

记g（x）=f′（x）=-sinx+2ax，则g′（x）=-cosx+2a.

故g（x）在（0，+∞）单调递增，

故当x>0时，g（x）>g（0）=0即f′（x）>0，

故f（x）在（0，+∞）单调递增，故f（x）>f（0）=0

所以f（x）在（0，+∞）没有零点.

因为f（x）是偶函数，所以f（x）在R上有且只有一个零点.

即x∈（0，x₁）时，f′（x）<0，故f（x）在（0，x₁）单调递减，f（x₁）

又f（2π）=cos2π+a（2π）²-1=4aπ²>0，

所以f（x₁）f（2π）<0，

由零点存在性定理知f（x）在（x₁，2π）上有零点，又因为x=0是f（x）的零点，

四、选做题

选修4-4：坐标系与参数方程

21.【解析】（1）曲线C₁的直角坐标方程为x²+（y-6）²=2.

得x²+y²+9y²=10，

选修4-5：不等式选讲

22.【解析】（1）不等式f（x）≥6，

即2≥6，无解;

当且仅当（2x-7）（2x-5）≤0时取等号，∴m=2.

∴2k²≥1，即k²m≥1.