求异面直线之间距离的四个技巧

叶青雷

异面直线是既不平行也不相交的两条直线.这组直线的空间位置关系较为特殊，我们往往很难直接求得异面直线之间的距离，需采用一些方法和技巧，如平移法、向量法、等体积法、构造函数法等，才能使问题获解.下面结合实例，谈一谈求异面直线之间距离的四个技巧.

一、平移法

求异面直线之间的距离，要首先把握异面直线之间距离的定义和两直线之间的位置关系.异面直线之间的距离是指这两直线之间的公垂线的长，而公垂线必须同时垂直于两条异面直线.可采用平移法，通过平移其中的一条直线a，使其与另一条直线b相交，这样便构造出一个平面，过直线a上的一点作这个平面的垂线，该线即为两条异面直线的公垂线，求得公垂线的长即可求得两条异面直线之间的距离.

例1.如图1所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求异面直线A₁D和AC之间的距离.

解：连接BD₁、BD、AD₁，设BD与AC的交点为M，AN与A₁D的交点为F，

根据三垂线定理可知：BD₁⊥A₁D，BD₁⊥AC，

因为N为DD₁的中点，

由三角形中位线的性质可知BD₁∥MN，MN∥EF，

即BD₁∥EF，

可知EF即为异面直线A₁D和AC的公垂线，

又因为N为DD₁的中点，且AA₁∥DN，

采用平移法解题，需仔细观察立体几何图形中的点、线、面之间的位置关系，尤其要关注线和面之间的垂直、平行关系，通过平移直线将原本看起来毫无联系的两条异面直线关联起来，再利用平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式、三角形中位线的性质等来求公垂线的长.

二、向量法

对于易于建立空间直角坐标系的立体几何问题，可采用向量法来求解.在求异面直线之间的距离时，可分别求得两条直线的方向向量a、b并设出两条异面的公垂线，然后根据向量之间的垂直关系建立方程组，通过解方程求得公垂线的方向向量，最后求其模长，即可求得异面直线之间的距离.

例2.如图2所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，其对角线为AC′，点M、N分别为棱BB′和B′C′的中点，MN的中点为P，求异面直线DP与AC′之间的距离.

解：如图2所示，以D′为原点，D′C′为x轴、D′A′为y轴、D′D为z轴建立空间直角坐标系，

设DP与AC′的公垂线为QR，分别与DP、AC′相交于点Q、R，

相较于常规方法，向量法更加简单.在运用向量法解题时，同学们需熟记一些向量的运算法则，如向量的加法、减法，向量的数量积公式、模的公式.

三、等体积法

等体积法一般适用于求解三棱锥问题，是指转换三棱锥的底面和高，根据同一个三棱锥或两个三棱锥的体积相等建立关系式，求得问题的答案.在求异面直线之间的距离时，可将异面直线置于三棱锥中，采用等体积法求三棱锥的高，进而求得两条异面的公垂线的长.在解题时，同学们要善于寻找体积相等的三棱锥，或易于计算体积的三棱锥的底面和高，建立等价关系式.

例3.如图3所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为BC的中点，求直线ED₁与直线CC₁之间的距离.

解：如图4所示，过点E作EE₁∥CC₁，连接D₁E₁.

已知点E为BC的中点，则点E₁为B₁C₁的中点，

所以B₁E₁=E₁C₁.

则CC₁∥平面D₁EE₁，

则异面直线ED₁与CC₁之间的距离即为直线CC₁到平面D₁EE₁的距离，也就是点C₁到平面D₁EE₁的距离.

设点C₁到平面D₁EE₁的距离为a，

因为CC₁⊥A₁B₁C₁D₁，EE₁⊥A₁B₁C₁D₁，

運用该等体积法求异面直线之间的距离，可省去找公垂线的麻烦，且简化了运算的过程.

四、函数构造法

我们知道，公垂线是两条异面直线之间的最小距离.若很容易找到异面之间的公垂线，但无法快速求得公垂线的长，或无法找到公垂线，可根据勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式等求得公垂线的表达式，或两异面直线上任意两点之间的距离的表达式，然后将其构造成函数模型，通过研究函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得异面直线之间的距离.

例4.如图5所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，A₁B和D₁B₁为正方形ABA₁B₁和正方形A₁B₁C₁D₁的对角线，求异面直线A₁B和D₁B₁之间的距离.

解：在A₁B上任取一点M，作MP⊥A₁B₁于点P，作NP⊥A₁B₁于点P，与D₁B₁交于点N.

根据三垂线定理可知MN⊥D₁B₁.

由于平面ABA₁B₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以PN⊥PM，

在Rt△PMN中，

通过添加辅助线，构造出垂直于D₁B₁的平面PNM，只要在平面PNM中找到一条直线垂直于A₁B，那么该直线即是异面直线A₁B和D₁B₁的公垂线. 在Rt△PMN中，根据勾股定理建立关于x的关系式，求得公垂线的表达式，然后将其看作关于x的函数式，通过分析函数的单调性求得函数的最小值，即可解题.

可见，求异面直线之间的距离，关键是根据几何图形的特点和性质，以及点、线、面的位置关系找到异面直线的公垂线，并求得其长度.同学们可根据题目的条件，灵活选用上述四种方法.