“包含除”在理解分数意义上的作用

陈小惠

小学数学教材中“分数”的定义为：把一个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。这个整体叫做单位“1”。提到“平均分”，自然是离不开除法，学生在二年级学习《除法意义》时已经知道平均分有等分除和包含除两种，也能理解一个除法算式可以表示两种意义。如：

（等分除）12个竹笋，平均放在4个盘子里，每盘几个？

（包含除）12个竹笋，每4个放一盘，能放几盘？

虽然都是用除法算式12÷4=3来表示，但所代表的意义却是不同的。

到了分数，同样也是有等分除和包含除两种情形，只不过推广到不是整数的结果。

（等分除）先知道分几份，求每份所分的结果大小。如：一块月饼平均分成4块 , 每块有多大？答案是块。

（包含除）先知道部分的大小，求这部分占整体的多少。如：一盒饼干12块，取出3块，问取出部分占整盒饼干的多大一部分？由于12包含了4个3（12÷3=4），所以3块饼干恰好是12块饼干平均分成4份之后的1份，也就是占整盒饼干的。

通过对比分析可知，等分除的问题是从整体到部分，问的是部分的大小。包含除的问题则是从部分到整体，即已知部分的大小，问整体含有几个这样的部分，即部分在整体里“占多少 ”。这两种平均分的情形同样重要不可偏废，如果一提到平均分就只想到等分除的模型，就会限制人们对分数的理解。然而学生和教师往往偏爱“等分除”，而把包含除给忽略了。我们来看下面这道题：

判断正误：下图是一个三角形，两腰均为三等分（如图1），因为不是平均分，所以阴影部分不能用分数表示。

这道题考查学生对分数意义本质的理解，学生答题情况如下：三年级正确率1.1%（测试人数87，正确1），四年级正确率8.6%（测试人数93，正确8），五年级正确率55.6%（测试人数81，正确45），六年级正确率67.4%（测试人数95，正确64）。

从数据可以看出，这道题的正确率并不高，尤其是三年级的学生，是什么原因影响了学生的判断？笔者对部分学生和教师进行了访谈，发现三年级学生主要受“平均分就是等分除”的观念以及教材课后一道练习题的影响：

判断正误：下图中的涂色部分能用表示吗？（图2）

在这道题里涂色部分是不能用表示的，学生受到这道题的负迁移影响很大。

阴影部分能不能用来表示，学生出错的原因主要是只考虑了平均分的第一种情形，即把一个三角形等分成3份，每份就是这个三角形的。而图1的分法却不是学生眼里的平均分，学生自然认为这样的表示方法是错误的。事实上这里是平均分的第二种情形，即知道这部分的大小，求该部分在整体中占多少，也就是问整个图形里包含几个这样的部分。必须以这个部分作为标准，对图形进行分割。通过新的分割可以得到这个部分占整个图形的。所以图1中的阴影部分可以用来表示。如图3：

这种方法同样适用在任意三角形中，如图4：

通过以上分析，如果只停留在“平均分为几份”的“等分除”模型会固定学生的思维，不利于学生全面理解分数的意义，也不利于学生灵活应用分数解决实际问题。事实上，“包含除”在分数的学习上具有重要的意义。

1. 揭示分数与除法的关系，体现分数的本质

从数产生的历史来看，在度量和平均分时出现不能正好得到整数结果的情况，就需要将整数进行扩展，分数就在这种需要中应运而生。也就是，分数的来源在于自然数除法的推广。五年级下册（人教版）：

该情境提出的问题是：“剩余绳长不足一节，怎么记”。即以一节绳子作为单位长度進行测量，剩余一段不足一节的绳子的长度如何用分数表示？如果按照“等分除”的方法，必须预先知道要把这一节绳子平均分成几份，再看剩余的那段绳子占其中几份，才能写出这个分数。但是在测量前是无法预先知道要把这一节绳子平均分成几份的，因而这是“包含除”的问题，即要知道“剩余的绳子是几分之几节”就要看一节绳子里包含几个剩余绳子的长度。如果3个“剩余部分”正好是一节绳子的长度，剩余部分的长度就可以用表示。但实际上，这样度量很多时候不容易得到最后的结果。如果用包含除不能得到整数的结果，例如，一节绳子长度为15厘米，剩下的绳子长度为7厘米，怎么表示？ 其实，“剩余绳子的长度是几分之几节”也就是求“剩余绳子的长度占一节绳子长度的几分之几”，这就转化成了求“一个数是另一个数的几分之几”的问题。根据除法的意义，可以用“7÷15”计算，根据分数与除法的关系，得到，即剩余绳子的长度是节。张奠宙先生认为，通过大量的包含除的实例，可以帮助学生建立这样的数学模型：如果一节绳子长n厘米，剩余长度长m厘米，那么，剩余长度是这节绳子长度的。

2. 揭示分数除法颠倒相乘的计算算理

分数除法是依据颠倒相乘的规则进行的，学生在计算方面没有困难，但对于理解这样计算的原理却不大容易。分数除以整数用等分除可以很快理解，如：÷2，即把平均分成2份，也就是求的是多少，所以÷2=×=。但对于分数除以分数的情形如果用等分除就不大适合，但却可以很方便地使用包含除。

如：分数除整数3÷，总不能说把3块饼平均分给个人吧，但可以问3里面包含几个。只要画图（图5）一看就知道，1里面包含3个，所以3里面包含9个，即3÷=3×3=9。

又如：分数除分数÷，即求里有几个。如图6 ，左面的图通过数轴上的点，说明里有2个，即÷=2。右图的数轴则说明了2里包含了4个，即×4=2。所以÷=×4=2。

3. 理解比和比例

为了便于学生理解，分数的学习是从部分——整体之间的关系出发的，从表面上看，是表示“这样的一份或几份”，从数学本质上看，表示的是“部分和整体的比”。即，“比”的定义则将分数进行了扩展，使分数不再局限于部分和整体之间的比，而是“一部分和另一部分的比”。另一部分可以是整体也可以是部分，也就是说，可以把一部分当作新的整体。比如，半个苹果是一个苹果的，个苹果是半个苹果的。一个苹果可以看成整体，半个苹果也可以看成整体。也就是说，“比 ”的概念是把一个部分作为新的整体来看，研究彼此之间的“包含除”关系，如图7。

把白色这一部分图形当作整体看，白色部分图形的大小包含了4个黑色部分图形的大小，从包含除的角度看，可以得出黑色部分图形的大小是白色部分的。即二者的面积之比是1；4，比值为。但这种包含除与“比”的关系，并非自然而然地获得，大部分学生看到的分数是和，需要在平时的教学中大力培养。

从上文的分析对比中，我们可以看到等分除的模型告诉学生分数是什么，而包含除的模型则需要学生探索如何用分数表示。这两种平均分的方法在分数的认识和应用中是“一体两翼”的关系，同样重要，不可偏废。