从一道几何最值问题看研究性学习

王广辉

摘  要：数学研究性学习的典型特征是“变”，即通过改变数学问题对学生的思维方式和学习方式进行训练。因此，在平时的教学中，教师应该引导学生以研究者的身份，对于典型的数学问题从不同的角度拓展出诸多新的问题，举一反三，开拓学生的思维，从而实现高效学习。

关键词：研究性學习;最值问题;拓展思维

良好的数学思维方式和学习习惯是学好数学的核心因素。因此，教师在教学中要让学生以研究数学的态度来学习数学。对于典型的数学问题，在初步解决的基础上，教师应该引导学生主动寻找一些相关的问题，并尝试解决，这样对于学生的高效学习大有裨益的。下面对一道典型的几何最值问题进行深入剖析，引导学生了解并掌握研究性学习数学的方法和技巧。

一、典例精析

题目  如图1，已知菱形ABCD的边长为4，∠A =[60°，] 点P是对角线BD上的一个动点。如果点M，N分别是边AB，AD的中点，求PM + PN的最小值。

解析：此题源自人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第85页问题1。我们不难找到解决方案，即作出点M关于直线BD的对称点M′（如图2）。连接M′N，线段M′N的长即为所求。由平行四边形的性质可知，M′N = AB = 4。所以PM + PN的最小值为4。

波利亚曾经形象地指出，好问题同采蘑菇有些相像，它们都能成堆地生长，找到一个后，你应当在周围再找找，很可能附近就有好几个。因此，我们应该引导学生在上述问题解决的基础上进行思维发散，尝试以此为基础去解决更有挑战性的问题。

二、问题初探

变式1：如果图1中的点M是边AB的中点，点N是边AD上的动点，试求PM + PN的最小值。

解析：遵循惯性思维，我们自然会想到作出点M关于BD的对称点M′，但由于点N是动点，再连接M′N是无意义的。此时应该作M′N⊥AD于点N，垂线段M′N的长即为所求，即[23。]

【小结与归纳】从表面上看，由源问题过渡到变式1似乎是“旧瓶装新酒”，但与源问题不同，变式1主要考查的是几何性质“垂线段最短”。接下来，我们进一步拓展思维，思考如下问题：如果将变式1中的条件“点M是边AB的中点”改为“点M是边AB上的动点”（即点P，M，N均为动点）呢？此时动点问题依次由“一动两定（点）”过渡到“两动一定（点）”，最终过渡到“三动（点）”，问题的难度层层递进。

三、拓展研究

变式2：如图3，如果[AP=15，] 点M，N分别是边AB，AD上的两个动点，求△PMN周长的最小值。

解析：如图4，分别作出点P关于AB，AD的对称点P1，P2。连接P1P2，分别交AB，AD于点M，N，则△PMN的周长的最小值即为线段P1P2的长度。连接AP1，AP2。在△AP1P2中，AP1 = AP2 = AP，∠P1AP2 = 2∠DAB = 120°，容易求出线段P1P2的长为[35，] 即△PMN的周长的最小值为[35。]

【小结与归纳】以上问题把“将军饮马”问题分三类设计，问题层层递进，引导学生探究，使学生的认知在类比与转化中不断走向深入。

四、深度探究

变式3：如图5，如果点M是边AB的中点，点N是边AD上一个动点。将△AMN沿MN所在直线翻折，得到△A′MN。连接A′C，求线段A′C的最小值。

解析：如图6，由折叠可知A′M = AM = BM，因此点A′在以点M为圆心，半径为2的半圆上。由三角形的三边关系可知，A′C > MC - MA′。所以当点M，A′，C三点在同一条线上时，线段A′C的长度最短。作CE⊥MB交MB的延长线于点E。在Rt△BCE中，∠CBE = 60°，BC = 4，则BE = 2，[CE=23。] 所以在Rt△CEM中，[CM=27。] 因为A′M = 2，所以A′C的长度的最小值为[27-2。]

【小结与归纳】在变式3中，求最值所涉及的知识点主要是三角形三条边之间的关系，即“三角形两边之和大于第三边”。

五、结束语

我们看到，以上问题以菱形为载体，从不同的角度派生出诸多新的问题，设计精巧，从不同层面对学生的能力进行考查，一步步拓展学生思维。

通过数学问题的变式，拓展学生的思维，引导学生知道应该怎样进行创造性地思考。在教学中，教师要经常引导学生以研究者的身份对数学问题进行探索性地改变与思考。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]G.波利亚. 怎样解题[M]. 阎育苏，译. 北京：科学出版社，1982.