对比计算联系揭示竖式本质

刘勇华 杨琳

《义务教育数学课程标准（2022年版）》将数的认识和数的运算整合在一起，有助于学生从整体上理解数与运算的一致性——计数单位是建构数的基础，所有运算都可以还原成计数单位的运算。教师抓住“计数单位”这个统领性概念展开教学，能引领学生整体把握知识，理解知识之间的关联，实现算理贯通、算法统整。

一、调查笔算整数除法的学习基础

人教版小学数学教材中，整数除法竖式计算教学内容编排如下：二年级下册有表内除法、有余数的除法，三年级下册有除数是一位数的除法，四年级上册有除数是两位数的除法等。其他版本数学教材中整数除法相关内容也大致分布在二至四年级。为了了解学生对除法运算本质的理解程度，找准学生认知的起点和难点，在教学《两位数除以一位数的笔算除法》前，教师对三年级3个班的学生做了前测。

前测卷包含五道大题。第一大题考查学生对除法意义的掌握情况，设置了3道基础练习——给出三幅图片，让学生通过画一画、圈一圈、填一填、看图写算式等形式回顾除法的意义。第二大题给出题目背景“把14根棒棒糖平均分给4个小朋友”，以及相应的情境图和不完整的除法竖式，以填空形式考查学生对竖式中每个数的含义的理解。第三大题是画图表明“60÷3=20”的含义，考查学生对除法意义的理解程度。第四大题是说说怎样计算“42÷2”，可以用算式表示，也可以用文字说明。第五大题给出4道竖式计算题，包括“9÷2、25÷4”两道仅需一步计算的有余数的除法，以及“48÷4、72÷3”两道需要两步计算的两位数除以一位数的除法。

分析前测结果，教师发现第一大题的正确率为100%，说明学生对除法的意义掌握得很好。第二大题的正确率为98%，说明学生对除法竖式各部分的含义掌握得比较好。对于第三大题，学生一边倒地把“60÷3=20”理解成“把60（有的理解为60个一，有的理解为6个十）平均分成3份”，仅有一名学生用包含除来理解，即理解为“60里面包含多少个3”。从整体上看，对于除法表达平均分的过程和结果，学生是比较清楚的。第四大题作答情况反映出学生基本掌握了口算方法，一部分学生可以直接看出答案。第五大题的前两道题，学生基本没有问题;后两道题，没有学生能写出标准的竖式。

从前测来看，学生对除法竖式的计算有认知基础，基本掌握了两位数除以一位数的口算方法，对除法竖式计算的基本步骤“先商—再乘—最后减”比较清楚。但是，学生对于竖式计算的实质——用除数去除被除数每一个数位上的数，也就是对于依次平均分被除数所包含的计数单位的个数理解不深入。基于此，教师将平均分作为教学基础，将均分计数单位的个数作为教学主线，以促进学生对整数除法算理一致性的理解。

二、强调笔算整数除法算理的一致性

学生学习《两位数除以一位数的笔算除法》的关键是在掌握除法意义的基础上，理解两位数除以一位数的计算需要两步完成，先除被除数的十位，再除被除数的个位;明确对应的算理——先平均分几个十，再平均分几个一，也就是逐步均分计数单位的个数。这一点在整数除法笔算中具有一致性。教学时，教师要抓住学生知识的生长点，引导学生经历一位数除两位数竖式形成的过程，发现竖式记录的就是算的过程，从而贯通算理与算法。

1.分析问题，口算解决问题

课堂上，教师先引导学生回顾已经掌握的问题：三年级有2个班，要植树42棵，平均每个班植树多少棵？怎么列式呢？学生回答：“42÷2=？”教师追问：“为什么用除法计算？”学生回答：“把42棵树苗平均分给两个班，就是将42平均分成两份。”然后，教师要求学生口算后把口算过程写下来，并说一说自己是怎样算的。学生回答：“先用40除以2得到20，再用2除以2得到1，最后用20加1得到21。”

除法竖式记录的是两次平均分的过程，因为有位值，不同数位上的数代表的数的大小不同，所以列竖式计算不需要将两次平均分的结果加起来这一步。对比看，竖式计算与口算具有一致性。

2.动手操作，摆小棒解决问题

此环节，教师引导学生用摆小棒计算：如果用手中的小棒代替小树苗，你能把42根小棒平均分成两份吗？分完后跟同桌说一说你是怎么分的。学生操作并交流后，教师让学生在展台上演示、讲解分的过程。一名学生说：“我拿出4捆加2根小棒，先将4捆小棒平均分成2份，每份是2捆小棒，也就是2个十;再将2根小棒平均分成2份，每份是1个一。这样，把42根小棒平均分成2份，每份就得到2个十和1个一，也就是21根小棒。”接着，教师提问：“平均分4捆小棒和2根小棒，对应平均分的计数单位及其个数是多少？”学生回答：“4个十和2个一。”教师引导：“把4个十和2个一平均分成2份，你们分了几次？”学生回答：“两次，第一次是平均分4个十，每份得到2个十，第二次是平均分2个一，每份得到1个一。”学生在操作中明确了42根小棒表示4个十和2个一，将42根小棒平均分成2份，需要先分4个十，再分2个一，得到2个十和1个一，即每份分得21根。这个环节揭示了竖式计算与摆小棒计算具有一致性。

3.对比算法，统整算法与算理

教师先引导学生尝试用竖式将两次平均分的计算过程表示出来。然后，教师出示了3份典型作业（如下图），让这几名学生分别说一说自己的想法。

第一名学生说：“我是直接商21，再用21×2得出分掉了42，最后减，发现没有剩余。”第二名学生说：“我是先用一个除法竖式表示分十位上的4，它是4个十，每份分得2个十;再用一个除法竖式表示分个位上的2，它是2个一，每份分得1个一;最后用一个加法竖式将20和1加起来，这样每份就是21。”第三名学生说：“我是先除十位上的4，得出2个十，就在十位上写2;再除2个一，得出1个一，就在个位上写1。这样，商就是21了。”最后，教师提问：“这几个竖式有没有表示出两次平均分的计算过程？哪种方法更简洁？”通过对比，学生发现方法③既表达了两次平均分计数单位个数的过程，又比较简洁。

这样教学，学生自主建构竖式，体会到本节课所学的两位数除以一位数的竖式笔算是分两步计算的，即两次平均分计数单位的个数，感悟到除法竖式的完整、简洁。

三、注重整数除法笔算教学的整体性

在“最优”豎式得到学生认可后，教师要引导学生将竖式和口算、摆小棒计算进行关联、对比，让学生充分体会竖式计算的步骤就是表达口算和摆小棒计算的过程，是将现实生活中的平均分计算符号化的过程，以培养学生的数学核心素养。

为沟通口算、摆小棒计算和竖式计算之间的关联，教师借助课件演示分两步平均分42根小棒的过程，同步呈现每一步对应的竖式书写过程，并提问：这三种计算有什么相同点吗？通过分析，学生明确了笔算除法就是把口算、摆小棒计算的过程用竖式形式写下来，三者本质上是一样的，都在依次均分计数单位的个数。将竖式的建构建立在理解除法意义之上的做法，让学生深入理解了除法竖式中每个数的含义，实现了整数除法算法与算理的贯通。

（作者单位：咸宁市实验小学）