重视解题反思 落实核心素养

[摘  要] 解题活动是数学学习过程中非常重要的环节，教师对学生反思能力的培养关系到学生能否通过解题对原有问题的理解更本原，进而掌握足够强的再创造能力;注重解题反思，在解决问题的过程中产生最大价值，是教师在课堂上需要关注的重点. 文章以高中数学课堂的几个即时生成性问题为例，对解题反思教学需要关注的几个要点进行了相关阐述.

[关键词] 核心素养;解题反思;解题活动

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出，学科核心素养是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力. 在教学过程中，教师必须与学生产生深度对话，学生不但要在课堂上正确理解知识点，还要在课后通过解题和反思对原有知识点获得更深层次的认知或拓展，两者并行发展，才能有效促进学生学科素养的全面和谐发展.

但在日常教学活动中，许多教师经常会自我感觉课堂效果良好，结果利用测评才发现学生对知识点的掌握情况比预想差了很多，学生在解题中采用的方法很多都是生搬硬套的，解出来的过程甚至有死记硬背的痕迹，大量的反复练习也只能起到事倍功半的效果，容易让学生丧失数学学习乐趣. 这种低效的教学行为通常存在以下几个特征：首先是教师不重视课堂问题解决思路的生成，在有限时间内为追求课程进度而忽略了“解题中应有的思考弯路和笨拙手段”，快速进入“标准答案”的规则算法;其次是教师想当然地设计解答过程，把自身对问题的反复思考、精心提炼直接灌输给学生，即未能按照学生的真实认知过程考虑，未理会学生的实际认知困惑;还有就是师生的解题思维缺乏连贯性，没有认清例题的价值，无法挖掘隐藏在知识背后的深刻思想等. 上述教学行为既不利于学生积累解题经验，又阻碍其解题反思意识的形成.

解题是数学学习过程中非常重要的环节，而解题反思能力，是指师生完成解题后，针对自己的错误理解或遇到的有代表性的问题进行反思的能力. 具体表现在反思解题过程、对其中涉及的知识更深入地认知、对数学思想方法进行归纳总结、对不同的解题思路进行比较并优化、改进解题过程等，数学家波利亚说道：“如果你希望从自己的努力中取得最大的收获，就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征.”注重解题反思，在解决问题的过程中产生最大价值，是教师在课堂上需要关注的重点. 本文以高中数学课堂的几个即时生成性问题为例，对解题反思教学所需要关注的几个要点进行相关阐述.

反思问题背景，探究一般性质

数学解题过程，是一个从简单到烦琐且逐步过渡的过程，困住学生的很多问题涉及的知识点通常较多，综合性较强，造成他们不能在有限的时间内挑选合适的思路去处理问题. 在解题反思的过程中，反思能力应该逐渐从特殊的结论朝着一般化规律进行发展与提升，这样才能有效提高学生的数学理性思维能力，真正帮助学生用数学头脑思考问题.

本题容易出现的问题是，大部分学生缺乏图像的直观认识，只考虑到P为切点的情况，因此只得到了其中的一条切线（方程为y=3x-11），导致答案不完整. 事实上，本题还有一种情况，如图1所示，当P不是切点时，仍然存在一条直线满足题意. 针对此题，一般的处理办法是先求出切线的一般形式，再代入已知点的坐标进行计算，过程如下：

例1包含了P是否为切点这两种情况，相对而言，P不是切点的情况下的计算量很大，且求出来的切点Q也是独立存在的，看不出P与Q有什么关联. 课堂上，教师可以引导学生去思考：相切是相交的一种极限状态，我们能否先探究相交时，三个交点坐标之间的关系？这个探究思路与一元二次结构是完全一致的：

反思解题困惑，拓展认知边界

在解题过程中，面对一个新的问题，我们会从不同角度来面对它，有些学生习惯代数计算，也有学生喜欢从几何角度切入思考，这是思维发散性的一种体现，任何课堂上始终会有不同的思维方式并行，如果最终各种处理方式得到的结果不一致，就会让部分学生产生即时性困惑，但教师在课堂上如果能即时抓住学生的这种生成性问题进而反思探究，相信对學生思维品质的提升会有很大的帮助.

反思解题过程，领悟解法技巧

在一些问题解答的过程中，因为各种原因并没有详细阐述相关思路的生成方式，而缺乏该环节会导致解法突兀和碎片化，导致学生不能顺畅理解. 课堂上教师可以引导学生分析解法背后隐含的规律，将缺失的思考环节补齐，让学生真正理解解题思路.

例3 如图5所示，一座小岛A到海岸线上最近的P点的距离是2 km，从P点沿海岸正东12 km处有一个城镇B.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h，步行的平均速度为5 km/h，时间t（单位：h）表示此人从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸C处到P点的距离. 当x取何值时，此人从小岛到城镇花费的时间最少？

参考答案会让学生的头脑产生一个很大的疑问：答案中的u，v的换元设置无疑起到了最大的作用，但这两个结构在本题中并没有实际的几何意义，引入它们的主要作用就是为了解决时间t的最小值问题，但为什么能想到这样的换元方式？经过反思，可以引导学生进行如下探究：

通过上述分析，学生便能领悟参考答案背后隐藏的奥妙，遇到类似的结构求最值时，都可以采用同样的换元方式. 经历了上述的反思探究过程，学生对解答方法的理解更加深刻，最终达到“做一题，会一类”的目标.

反思解题方法，培养知识迁移能力

教师在教学过程中，要让学生学习的同时获得自主认知和自主思考的能力，对于问题除了有思路会做外，还要思考是否存在更好的方法来处理，即通过过程的繁杂来反思解题过程是否科学合理，通过优美的结论再去反思解题过程是否走了弯路，能否转化到另一个简洁的方向，等等，真正将解决问题的核心“钥匙”交还给学生，让学生自主思考并掌握解题方法和技巧，从而有效提高学生的解题能力.

例4 如图6所示，已知斜率为2且不过原点的直线和圆x2+y2=1相交于A，B两点，以x轴非负半轴为始边，OA为终边的角为α，OB为终边的角为β，证明：sin（α+β）是定值.

从题干中几个关键的字眼进行分析，考虑到x2+y2=1为单位圆，梳理了点的横、纵坐标以及角度的正、余弦之间的对应关系后，自然就会利用解析几何的常规手法求解. 证明过程如下：

完成上述检验式的证明过程后，学生的头脑中同样会冒出一个疑问：为什么直线（斜率一定）在平行移动、两个交点在变化的情况下所产生的结果却是一个定值呢？这个优美的结论最初又是怎么被发现的？

通过反思可以发现，动直线的斜率确定着直线的“方向”，利用圆的垂径定理可知另一条与其垂直的直线的“方向”也就被确定了，于是就有如下思考：

当然，即使α，β均不在区间（0，2π）内，即均相差2π的整数倍时，射线OM的终边位置仍然不会发生改变，结论也不会变.通过对问题的再回顾和反思，将原问题转化成了一个三角求值问题. 另外，继续探究和反思可以发现，本题中的cos（α+β），tan（α+β）也是定值，这样学生对这类问题也就有了更深层次的理解.

通过对上述几个即时性生成问题的反思探究，不难看出解题反思是数学学习过程不可缺少的环节. 学生通过反思可以明确自身是否掌握了相关知识点，并借此深化理解所学的数学知识;借助反思可以在解题过程中结合自身对知识的掌握程度探寻全新的解题思路，达到化繁为简的目的. 教师在解题教学中，一定要不断进行总结和反思，结合问题优化解题教学，激发学生创造思维的能力，还应积极引导学生进行解题反思，提升学生的解题能力和数学核心素养，提高学科教学效率和教学质量.

作者简介：朱清波（1978—），中学高级教师，从事高中数学教育工作.