数学解题教学：用一般思路引领具体操作

张昆，王颖超

摘要：以一道有一定难度的数列不等式高考题为例，说明：在数学解题教学中，教师应通过适当的铺垫，启发学生把握问题的本质特征，萌生具有一般性（概括性）的解题思路（基本想法），引领具体的解题操作。从解题疑难的角度看，就是要以一般的解题思路引领具体的解题操作为主导，辩证处理“思路性疑难”与“操作性疑难”的关系，帮助学生实现突破。

关键词：解题教学;问题本质;解题思路;数列不等式问题

众所周知，解题教学是数学教学的一个重要板块，然而有效的数学解题教学并不是一件可以轻松做到的事情。尤其是对一些有一定难度的题目，教师常常也需要经过一番思考与探索（甚至借助灵感顿悟），才能获得正确乃至“优美”的解题思路。更重要的是，教师还要考虑如何在相对有限的教学时间内，引导学生自己领悟解题思路，而不是直接告知（否则，学生就会出现“懂而不会”的现象）。对此，我们认为，教师应通过适当的铺垫，启发学生把握问题的本质特征，萌生具有一般性（概括性）的解题思路（基本想法），引领具体的解题操作。下面，从一道有一定难度的数列不等式高考题的解题教学出发，谈谈我们的认识。

一、一道数列不等式高考题的解题教学

（一）试题解法的思考与探索

2019年高考数学浙江卷第20题如下：

设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4，a4=S3。数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列。

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式;

（2）记cn=an2bn，n∈N*，证明：c1+c2+…+cn-1+cn<2n，n∈N*。

本题第（1）问比较简单，用基本量法可以求出an=2（n-1），结合等差数列的前n项和公式，用方程方法可以求出bn=n（n+1）。

第（2）问属于高考常见（常作为压轴题或倒数第二题的最后一问）的数列不等式问题。对于该问，在第（1）问的基础上，求出cn=2（n-1）2n（n+1）=n-1n（n+1）很容易，但是证明c1+c2+…+cn-1+cn<2n（记为不等式①）有一定的难度。

在思考与探索的过程中，基于“由数列通项求前n项和的累加法（Sn=a1+a2+…+an）和由数列前n项和求通项的逐差法（an=Sn-Sn-1）是互逆的过程，因而，求数列前n项和的根本方法是裂项相消[Sn=S1+（S2-S1）+…+（Sn-Sn-1）]，即由逐差的结果倒推逐差的过程”（更本质地看，数列是特殊的函数，累加就是积分求原函数，逐差就是微分求导函数）的认识，我们得到了让不等号两边对等（符合对称美的观念），即把左边合起来变成一项或把右边拆开来变成n项的证明思路。进而，采用逐差法把右边拆开来变成n项，完成证明。

这是一种基于对数列求和本质的认识的解题思路，可以用来引领很多同类问题的解决。比如2014年高考数学全国Ⅱ理科卷第21题：

已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1。

（1）证明数列an+12是等比数列，并求数列{an}的通项公式;

（2）证明1a1+1a2+1a3+…+1an<32。

该题第（2）问也可通过让两边对等的思路，把右边的常数32拆成等比数列13n-1的前n项和来解决——其实，32等于该数列前n项和的极限，不过，这里证明的是不等式，所以可以适当放缩。

（二）解題教学的设计与实施

很多学生的数学理解不够深入，解题经验不够丰富（反思提炼自然不足），因此，探索此类问题的解决时，可能很难萌生让两边对等这样的思路。特别是，不等式①相对复杂，学生在探索其证明时，会受到较多因素的影响，产生思维的“浩荡洪流”，而看不到问题的本质（抓不住主要矛盾），也就萌生不了上述解题思路。

因此，在教学中，教师让学生先证明一个相对简单的不等式（作为铺垫）：122+132+142+…+1（n-1）2+1n2

因此，教师引导学生观察所给不等式的结构特征，从数列求和的本质上思考，萌生合适的解题思路，寻找构造裂项式子的认识来源。对此，两位学生先后表达的想法如下：

生根据所给不等式的结构特征，我发现，不等号的左边是某一数列的前n-1项和，而右边只有唯一的一项。我觉得，不等号两边的代数式应该具有对等的形式。因此，如果能够将不等号左边这个数列的前n-1项和计算出来，并将计算结果与不等号右边的n-1n进行大小比较，就能解决问题了。但十分可惜的是，我想不到怎样将不等号左边这个数列的前n-1项和计算出来。

生我也觉得，不等号两边的代数式应该具有对等的形式。我进一步的想法是：既然不等号左边这个数列的前n-1项和无法经由具体运算转化为一个简单的式子，那么可否将不等号右边这个简单的式子转化为某个数列前n-1项和的形式？经过实践发现，这是可以办到的。所给不等式左边为∑nk=21k2，n≥2，则右边可设为∑nk=2ak，n≥2。由∑nk=2ak=n-1n，n≥2，可得an=∑nk=2ak-∑n-1k=2ak =n-1n-n-2n-1=1（n-1）n，n≥3。而a2=∑2k=2ak=2-12=12，故an=1（n-1）n，n≥2。因此，∑nk=2ak=∑nk=21（k-1）k，n≥2。因此，只需要证∑nk=21k2<∑nk=21（k-1）k，n≥2。脱去不等号两边的连加号，只需要证1k2<1（k-1）k，k≥2。而该不等式显然成立。

生（恍然大悟）原来左边各项为了裂项而放缩得到的式子1（n-1）n，就是右边转化为某个数列各项和的形式而得到的通项。

这里，因为要证的不等式较简单，在教师的引导下，学生基于对称美的观念，萌生了使两边对等的解题思路。由此，经过一番受挫（受“求简”思维定式的消极影响）调整，明确了将不等式右边的一项转化为某个数列前n-1项和的形式的解题思路，引发了一系列合理的解题操作，最终解决了问题。

证明了这个相对简单的不等式，学生的认知结构中就有了“合适的根据地”。在此基础上，教师引导学生通过比较发现所给不等式结构特征的相似性，从而自然地将使两边对等的解题思路迁移到不等式①的证明中，促进解题思路的定型。对此，两位学生先后表达的想法如下：

生受到前一个不等式证明思路的启发，我想将不等式①中不等号右边的2n转化为某个数列前n项和的形式。设∑nk=1ak=2n，可得an=2（n-n-1）=2n+n-1，n≥2。而a1=∑1k=1ak=21=2，故an=2n+n-1，即∑nk=1ak=∑nk=12k+k-1。因此，只需要证∑nk=1k-1k（k+1）<∑nk=12k+k-1。脱去不等号两边的连加号，只需要证k-1k（k+1）<2k+k-1。可惜，我没有证出来。

生两边平方，只需要证k-1k（k+1）<42k-1+2k（k-1）。去分母并化简，只需要证2k2-3k+1+2kk（k-1）-2k（k-1）<4k（k+1）。又因为2kk（k-1）<2k2，-2k（k-1）<-2（k-1），所以2k2-3k+1+2k·k（k-1）-2k（k-1）<2k2-3k+1+ 2k2-2k+2=4k2-5k+3，所以只需要证4k2-5k+3<4k（k+1）。化简，只需要证3<9k。而这显然成立。

二、从解题疑难的角度反思数学解题教学

从解题疑难的角度反思，上述数学解题教学案例能给我们这样的启示：解决稍微复杂一些的数学问题时，存在两种不同性质的疑难。其一，把握问题的本质特征，萌生合适的解题思路的疑难，可以称为“思路性疑难”或“观念性疑难”;其二，在合适的解题思路的引领下，形成利用具体的数学知识、方法进行的解题操作，有时尽管解题思路是合适的，但在具体的解题操作过程中還是会产生困难，可以称为“操作性疑难”或“技术性疑难”。必须突破这两种不同性质的疑难，才能解决问题。

在“思路性疑难”与“操作性疑难”的关系中，“思路性疑难”处于矛盾的主要方面，决定了“操作性疑难”突破的可行性与难易程度;与此同时，“操作性疑难”反作用于“思路性疑难”，因为“操作性疑难”能否突破可以用来判断“思路性疑难”是否真正突破了。如果能突破，那么问题已经得到解决;如果不能突破，那么需要检视问题所给的信息特征，重新萌生更为合适的解题思路。因此，在数学解题教学中，教师要以一般的解题思路引领具体的解题操作为主导，辩证处理“思路性疑难”与“操作性疑难”的关系，帮助学生实现突破。

一方面，要特别注意帮助学生突破“思路性疑难”，因为“思路性疑难”是学生创造性地解决数学问题的起始处。数学创新的紧要之处就是一般思路的创新。有了新的一般思路所形成的操作指令，才能在具体操作活动中产生可以促使学生萌发新的操作行为的方法。而具有个性化特点的操作方法定型后，可以外化为数学学习共同体都可以使用的方法。这是“思路性疑难”决定“操作性疑难”的具体体现之一。教师一定不能直接提供解题思路，让学生严格执行。这会抑制学生的创造力，使其今后的解题之路走不长远。

另一方面，“操作性疑难”可以通过所谓的“记问之学”（《幼学琼林·文事》）加以突破。换言之，学生可以通过反复训练来获得相应的操作技能与技巧，从而应对具体的“操作性疑难”。例如，在证明不等式①的教学中，教师引导学生获得解题思路，帮助学生实现解题目标后，可以再经由4—5个具有相似不等式结构的例子，对学生进行强化训练。