千淘万漉，沙尽见金

裘秀琴 张良江

［摘  要］ 在中考复习中，基于提升学生的数学关键能力，针对一类问题进行微专题教学研究，问题设计应遵循从简单到复杂、从特殊到一般的路径进行，在变化探究中抽象出问题的本质，使学生习得探究一类问题的一般方法和思维路径，发展学生的思维等数学关键能力，落实学科核心素养.

［关键词］ 数学再发现；微专题；一线三等角；构造；化斜为直

引言

《义务教育数学课程标准（2021年征求意见稿）》（以下简称《新课标》）明确提出了关于数学核心素养的相关要求，在初中学段，数学核心素养的内涵及构成主要有：①会用数学的眼光观察现实世界；②会用数学的思维思考现实世界；③会用数学的语言表达现实世界. 在初中数学教学中，应努力促使学生“能够探究自然现象或现实情境所蕴含的数学规律，经历数学‘再发现的过程，发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，逐步养成讲道理、有条理的思维习惯和理性精神”. 与此同时，中共中央办公厅、国务院办公厅关于“双减”的意见中，强调要大力提升教育教学质量，确保学生在校内学足学好. 这就指示教师应着力提高课堂效益，所以提高初中数学中考复习课的效益尤其迫切. 笔者认为，在中考数学复习中就某些相似、相近、相关的问题进行微专题的整合与设计，是提高复习课效益的重要抓手. 微专题的整合与设计应基于一类问题，遵循从简单到复杂、从特殊到一般的路径进行，基于不同的知识背景展开研究，在变化探究中善于提取出问题的本质. 同时，教师要注重引导学生对问题条件进行整合分析、合情猜想，合理建构并及时归纳总结，习得探究问题的一般方法和思维路径. 学生在数学新情境下的进一步探索，其实就是“再发现”的过程. 笔者试以“一线三垂直”型基本图形的微专题复习设计为例，结合多年教学实践进行详细解析.

教学案例呈现与分析

1. 关注母题，重视基本图形

浙教版八年级上册第2章“2.8 直角三角形全等的判定”书本习题第2题第一次出现了“一线三垂直”型基本图形.

已知：如图1所示，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC. 求证：△ABP≌△PDC.

教材是课程标准主要的外显形式，是实施课堂教学主要的素材来源. 教师要善于从教材中挖掘体现思想、探究性的材料，帮助学生积累基本图形，感悟数学思想. 教师引导学生从书本习题中抽象“一线三垂直”型基本图形（如图1所示），并探究其相关变式，认识到其建模本质是过直角顶点引一条直线，分别过两锐角顶点向该直线引垂线段，即可构造出“一线三垂直”型基本图形，得到一对全等三角形（如图2所示）；通过进一步探究，将条件一般化，使学生再认识“一线三垂直”型基本图形只是特殊情况，它的实质是由“一线三等角”构造形状相同的三角形（全等或相似，相似为一般情形，全等为特殊情形）（如图3所示）.

2. 自然联想，构建基本图形

例1 如图4所示，已知点A（-4，4），一个以A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于E，F，连接EF. 当△AEF是直角三角形时，点E的坐标是________.

教学分析 由于没有明确E，F谁为直角顶点，故需要进行分类讨论. 不论E，F谁为直角顶点，学生不难发现本题已具备“一线三垂直”型中的“一垂直”，故要向坐标轴作垂线，构造其余两垂直线，得到一对全等三角形，利用全等三角形的对应边相等来解决问题. ①当∠AEF=90°时，如图5所示，△ADE≌△EOF（或如图6所示，△ADE≌△ECF），得到点E的坐标为（4，0）；②当∠AFE=90°时，得到点E的坐标为（8，0）. 例1从简单的图形入手，让学生初步感受到，在坐标系的背景下，构造“一线三垂直”型基本图形，可化斜线段为水平或竖直的线段来解决问题，培养学生在简单的背景下识别、构造基本图形的能力，发展学生的几何直观能力，为进一步处理复杂图形问题做好准备.

3. 变换背景，去迷雾探本质

（1）函数背景下的探究.

例2 如图7所示，抛物线y=x2-6x+8与x轴相交于A，B两点，过点B的直线与抛物线相交于点C（C在x轴上方），过A，B，C三点的☉M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为________.

教学分析 相较例1而言，例2增加了圆和抛物线这样的背景，情境相对复杂，需要利用抛物线的轴对称性得到AF=FB=1，利用圆的半径相等得到∠MCB=∠MBC=45°，从而得到∠CMB=90°，这样就出现了“一线三垂直”中的“一垂直”. 学生自然会联想到构造另外的“两垂直”，得到△EMC≌△FBM，可得EM=FB=1，EC=FM. 令EC=FM=a，于是点C的坐标为（3+a，a+1），利用点C在抛物线y=x2-6x+8上，得方程（3+a）2-6（3+a）+8=1+a，解得a=2，a=-1（不符合题意，舍去）. 故点C的坐标为（5，3）.

例2的目的是让学生进一步感受到，利用“一線三垂直”“化斜为直”处理线段长度问题，培养学生在相对复杂的背景中识图、构图的能力，以及综合分析问题和解决问题的能力.

例3 将正方形ABCD绕点O旋转一定的角度，使得正方形的两个顶点A，B恰好落在函数y=的图像上，求正方形的面积.

教学分析 例3在反比例函数的背景下，结合了旋转变换，学生需要一定的直观想象能力，构造当正方形的两个顶点恰好落在反比例函数图像上的情形. 当A，B两点落在反比例函数图像上时（如图10所示），∠BAO=∠ABE=90°，出现了“一线三垂直”中的“一垂直”，得到△AOG≌△BAH，可得BH=AG，AH=OG. 令BH=a，AH=b，则点A的坐标为（b，a），利用矩形对边相等得到FH=OG=b，得到点B的坐标为（b-a，a+b）. 因为点A，B在反比例函数y=的图像上，可得方程组ab=4，

（a+b）（b-a）=4，解得a2

=-2+2，

b2

=2+2，故S=a2+b2=4. 同时，解决本题需要学生具备较强的运算能力和利用整体思想处理复杂代数问题的意识，从而充分体验数形结合思想.

例4 如图11所示，点A是反比例函数y=（x>0）的图像上一点，点B的坐标为（0，3），点C在x轴正半轴上，且△ABC是等边三角形，则点A的坐标为________.

教学分析 例4没有现成的直角，基本图形缺失，不易形成思路. 学生可能会尝试过点A向坐标轴作垂线，试图表示点A的坐标，但由于未知量过多，而且这些量之间也没有必然的联系，更没有发挥等边三角形的功能，故这条路径比较艰难.

虽然思路受挫，但通过前面3个例题的铺垫，学生逐渐认识到利用“一线三垂直”型基本图形可以“化斜为直”，构造相似三角形或全等三角形解决问题. 从整体的角度来看，从等边三角形容易联想到构造直角三角形. 故尝试过B作BE⊥BC交CA的延长线于点E，过E作EF⊥y轴于F（如图12所示），构造以点B为直角顶点的“一线三垂直”，得到△OCB∽△FBE. 顶角为30°的直角三角形的两条直角边BE∶BC=∶1，则EF=9；令OC=t，则BF=t，则OF=3+t. 所以点E的坐标为（9，3+t）. 由A是斜边CE的中点，得点A的坐标为，，将其代入反比例函数解析式可解.

（2）特殊四边形背景下的探究.

例5 如图13所示，在Rt△ABC中，AB=BC=3，D是BC边上任意一点，分别作D关于AB，AC的对称点E，F，作平行四边形AEGF，FG交BC于点H，则BH的最小值为________.

教学分析 首先，学生要明白这些点是怎么运动的. 例5中的动点是点D，BD的变化会引起BH随之变化. 故不妨设BD=x，目标是要建立BH关于x的函数关系式. 学生仔细观察图形结构，从联系的角度想到弦图，补全图形（如图14所示）. 由对称性得D，B，E三点共线，且DB=BE=x，利用三角形全等的性质以及矩形对边相等可得EN=MG=CM=x，CF=3-x；再由△FCH∽△FMG，得到方程=，于是CH=，BH=3-CH=3-=x2-x+3，求得BH的最小值为.

在例5中，学生不仅能清晰地识别题图的结构特征，而且进一步认识到了“一线三垂直”的本质是构造相似三角形或全等三角形，再由相似或全等的性质借助方程或函数解决几何求值或几何最值问题. 数学建模能力得以彰显与提升，促进了高阶思维的发展.

例6 Rt△BEF和Rt△DFG是一副三角板，且BE=DG，按图15的方式恰好放置在矩形ABCD内，点E，G分别在边AD，BC上，点B，D恰好与矩形的顶点重合，则的值为（  ）

A.B.

C. D.

教学分析 设计驱动性问题启发学生思考，自然联想，构造基本图形，利用两块三角板的边之间的比例关系，结合三角形全等和相似的性质解决问题.

问题1：两块三角板按图15的方式放置，你会联想到构造什么基本图形？

问题2：这两块三角板的边之间有怎样的数量关系？

问题3：45°和30°的三角板的边之间有怎样的数量关系？

在驱动性问题的推动下，学生的思维自然成长，解法自然生成. 从条件来看，过点作FP⊥BC，交BC，AD于点P，H，出现了两处“一线三垂直”型基本图形，一是△DFH≌△FGP，二是△HFE∽△AEB. 为了方便计算，建议学生按照顶角为30°的直角三角形直角边的比值关系设置未知数. 不妨设FH=，DH=3，则AE=3，AB=（3x+1），利用两个三角形的边的数量关系BE=DG可列出方程32+3（x+1）2=6+6x2，可得x=+1，从而得=.

（3）去芜存精，感悟通性通法.

例7 【基础巩固】

（1）如图17①，∠ABC=∠ACD=∠CED=α，求证：△ABC∽△CED.

【尝试应用】

（2）如图17②，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别是边AD，AB上的点，将菱形ABCD沿EF翻折，点A恰好落在对角线DB上的点P处. 若PB=2PD，求的值.

【拓展提高】

（3）如图17③，在矩形ABCD中，点P是AD边上的一点，连接PB，PC，若PA=2，PD=4，∠BPC=120°，求AB的长.

教学分析 （1）（2）两问从特殊的“一线三垂直”到一般化的“一线三等角”，结合相似三角形对应边成比例，不难解决问题. 第（3）问没有现成的“一线三等角”可用，但由于受前面问题的启发，学生将前面例题中习得的方法进行了迁移，尝试构造“一线三等角”，利用相似三角形的性质解决线段长度问题. 即在AD上取点E，F，如图17④所示，使∠ABE=∠DCF=30°，则∠BEP=∠BPC=∠PFC=120°，得到△BEP∽△PFC，所以=. 设AB=CD=m，则=，解得m=-或--（舍去），所以AB=-. 例7从特殊的“一线三垂直”到一般化的“一线三等角”，让学生充分经历观察、猜想、发现、推理和计算，感悟从特殊到一般的数学研究方法，归纳解决问题的通性通法，提炼一般的思维路径.

感悟與思考

1. 立足基本图形，合理灵活建构

教师要引导学生关注课本基本图形的提炼，熟练掌握图形的特征，加强图形建构教学，精心设计典型例题，帮助学生积累图形建构的基本策略与经验. 学生认识与理解基本图形，其思维是从具体到抽象的；而能够辨识和应用基本图形，其思维是从抽象到具体的. 有些题目给出的图形比较复杂，或者由于基本图形缺失（或隐藏）部分元素，往往具有一定的迷惑性，教师要教会学生从四个角度思考辅助线的添加方法：整体的角度、联系的角度、条件有效利用的角度、补充完整图形的角度. 比如在正方形中补全图形联想到弦图，由等边三角形联想到直角三角形，等等. 本节微专题在圆、三角形、正方形、矩形等不同的几何图形及函数背景下，既关注相等的角度这个“数”，又构造“一线三等角”这个“形”，然后结合三角形全等或相似的性质，利用边的数量关系，在这样的“数形结合”的过程中解决问题.

2. 关联不同背景，善于联想迁移

在当前的“双减”背景下，“题海战术”更无立足之地，大量重复地“刷题”，不仅会扼杀学生对数学学习和探究的兴趣，而且只要题目稍加变换，学生就会束手无策. 本节微专题，站在学生思维能力发展的角度，在反比例函数、二次函数、圆、四边形和三角形等不同的背景下，设计类型一致、由浅入深的一系列问题，解决每个问题学生都要联系背景下的相关知识. 如函数的背景下既要善于利用函数图像的直观性，又要适时利用“数”与“形”的有机结合. 在特殊四边形的背景下，识别或构造“一线三等角”型基本图形，利用全等三角形或相似三角形边和角的关系解决问题，使学生学会有序思考、理性探究，思维发展拾阶而上，使问题解决自然流畅.

3. 积累活动经验，提升关键能力

课堂是教学的主阵地，解题是数学教与学的重要载体. 数学解题就是寻找问题的答案，亦即寻找条件与题目结论之间的数学联系，它表现为沟通条件与结论的一系列演算或推理，本质是探索和发现. 本节微专题设置的例题由易到难、层层深入、步步推进，提升学生识图和构图的能力，积累活动经验. 通过本节微专题的学习，我们不仅要让学生会做一道题、一类题，而且使其碰到一个新的问题时，会运用类比、转化等方法来分析问题，自己搭建台阶，寻找突破口. 也就是说，教师教会学生解决当下的数学问题，目的是创造条件让学生在经历数学活动的过程中优化思维方式、发展思维能力，最终提升数学能力，使学科核心素养落实有真正的着力点.